结构力学第五 李廉锟

tan dy ; tan1(tan )
dx
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
M 3 4kN.m
第三章 静定梁与静定刚架 P=3kN
q=1kN/m m=6kN.m
q
1 A1
7 7
4m
23 45
23 4 B 2m
5C
3m
6 6D
A
FA
2
2 M2 Fs2
FA=2.5kN
2.5
⊕
Fs图
○－
(kN)
2.5m
4
M图
(kN.m)
⊕2 3.125
FC =6.5kN
3 ⊕
m2 0;
M 2 FA 4 4q 2 0
例 用叠加法画图示梁的弯矩图。
P=4kN 8kN.m q=2kN/m
A1
1
FA 2m
23 23
2mC
4
4B
解：将梁分为AC ，BC
4m FB 两段。先求支座反力。
mB 0;
M图
FA 8 P 6 m 4q 2 0 FA 6kN
Fy 0;
FA FB P 4q 0
FB 6kN
B
mB 0; FA 6 m1 4q 2 0
4m
FB
FA 6kN
Fy 0; FA FB 4q 0
FB 18kN
第三章 静定梁与静定刚架
m=12kN.m q=6kN/m
1 A1
23 5 23 5
4 4B
AC：
A
MC
左
Fs2 6kN
2m C
FA=6kN 6kN
Fs图 ⊕
Fra Baidu bibliotek
4m
FB=18kN FA
P=3kN
1 A1
4m FA=2.5kN
2.5 ⊕
Fs图
(kN)
23 45
6
23 4 B 2m
5C
3m
6D
FC =6.5kN
3 ⊕
○－
M1 M 6 0,
M 4 M 5 9kN.m,
q m3Fs3
A
3 M3
3.5
FA
M图
(kN.m)
9
4
○－
m3 0;
M 3 FA 4 4q 2 m 0
工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第三章 静定梁与静定刚架
FS图： (FS =0) (FS =0)
(变号)
M图：
(M极值)
第三章 静定梁与静定刚架
简易法作内力图：
利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值
基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。
校核：
20
26.2 5
25 M (KN.m)
20
13.75 Q (KN)
（3）作剪力图
Y 26.25 33.75 10 4 20 0
（2）作弯矩图 选择A、C、D、B、E为控制截
面，计算出其弯矩值。
选择A、C、D、B、E为控制截面，计算出其剪力值。
第三章 静定梁与静定刚架
*斜梁的内力计算
计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于斜 梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的 法向、切向投影。
FBy 36 kN
M B 0 FAy 12 2010 15 4 6 32 0
FAy 44 kN
第三章 静定梁与静定刚架
(2) 分别求截面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ和Ⅳ-Ⅳ的内力。
可以判定所有截面的轴力均为零, 取截面Ⅰ-Ⅰ以左为 隔离体。
20 kN
AC
FSⅠ MⅠ
取截面Ⅱ-Ⅱ以左为隔离体
45 4 D5
6B 6
2m 2m 2m
FA=5kN
FB=7kN
P3
5kN
A
3 M3
⊕ Fs图
1kN
○－
FA
Fs3
Fy 0; FA P Fs3 0
M图 ⊕
7kN
Fs 1kN
m3 0; M 3 FA 2 0
10kN.m
M 3 10kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
P=6kN q=3kN/m
——连直线 控制截面间有荷载(q、F)
——连虚线，
——再叠加标准M0图
第三章 静定梁与静定刚架
5．绘制内力图的一般步骤
（1）求反力（悬臂梁可不求） （2）分段
——外力不连续点：q端点，F、M作用点 （3）定点
——求控制截面内力值（全部荷载） （4）连线
——按微分关系 连直线
曲线：连虚线，叠加简支梁M0图
F=6kN q=3kN/m 解：取整体
1
A1
23 2 C3
45 4 D5
6B 6
mA 0; FB 6 F 2 2q 5 0
2m
FA
2m 2m
FB 7kN
FB
Fy
0;
FA
FB
F
4q
0
Fs图
FA 5kN
M图
第三章 静定梁与静定刚架
P=6kN q=3kN/m
1 A1
23 2 C3
第三章 静定梁与静定刚架
例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0
4m VA=26.25kN
30KN.m
20KN
C
D
B
E
2m
2m
32.5 2.5
3m VB=33.75KN 60
（1）计算支座反力
X 0: MA 0 : MB 0 :
HA 0
VB 33.75kN VA 26.25kN
1 A1
23 2 C3
45 4 D5
6B 6
2m 2m 2m
FA=5kN
FB=7kN
P
4
5kN
A
4 M4
⊕ Fs 图
1kN
FA
Fs 4
○－
m4 0; M4 FA 4 P 2 0
7kN
M图 ⊕
M 4 8kN.m
10kN.m 8kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的内力图。
q=1kN/m m=6kN.m
3.5
M2
2kN.m q
9
7
A
7 M7
○－
FA
Fs7
m7 0;
M 7 FA 2.5 2.5q 1.25 0
M 7 3.125 kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
4．区段叠加法作弯矩图 直杆段弯矩图――分段叠加法，简化绘制工作
（1） 两个标准M0图 （a）简支梁作用均布荷载q （b）简支梁作用(a－b/中点)集中力F *（c）简支梁作用(中点)集中力偶m *（d）悬臂梁－q *（e）悬臂梁－F
K
n
(a)
F2 B FB
内力符号规定 ：
F1
FAX A
FAY
M
K
FN
FS
(b)
第三章 静定梁与静定刚架
（2）M、FS、FN图正负号规定 ①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤
维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯 矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
②剪力FS：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正， 反之为负。
超静定结构是有多余约束的几何不变体系,其反力和 任意一截面的内力不能由静力平衡条件唯一确定。
滚轴支座
F xA
计算简图
Fy
A
C
D
B
F yA
F yC
FyD FyB
第三章 静定梁与静定刚架 求解静定结构的方法
取隔离体、列平衡方程。
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁
梁：受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力；其 轴线通常为直线（有时也为曲线）。
第三章 静定梁与静定刚架
【例3-1】 1.反力 2.控制截面 C-A-(D)-E-F-
GL-GR-B 3.FS－连线 4.M－连线
直线 曲线 （极值）
第三章 静定梁与静定刚架
滚小球作FS图 力推小球同向走，力尽小球平行走 集中力偶中间铰，方向不变无影响 反推小球回到零，上正下负剪力图
第三章 静定梁与静定刚架
44 kN
15 kN/m
20 kN AC D
44 kN
FSⅡ MⅡ
取截面Ⅲ-Ⅲ以左为隔离体
20 kN
AC
44 kN
D
15 kN/m E
FSⅢ MⅢ
第三章 静定梁与静定刚架
3.内力与外力间的微分关系及内力图形状判断
dFs q( x) dx
dM dx
FS
d 2M d 2x
q( x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
第三章 静定梁与静定刚架
例 用叠加法画图示梁的弯矩图。
P=4kN 8kN.m q=2kN/m
A1
23
1
23
4
4B
M1 M4 0
2m 2mC 4m
M 2 16kN.m
FA=6kN M图
FB=6kN
M 3 8kN.m
8kN.m ⊕⊕
1 ql2 1 2 42 4kN.m 88
4kN.m 16kN.m 4kN.m 1 Pl 1 4 4 4kN.m 44
第三章 静定梁与静定刚架
（2）区段叠加法作M 简支梁（如图） 叠加原理 叠加法——
杆端弯矩图 叠加上简支梁上 对应（q或p）的 标准M0图。 叠加—— 指纵坐标叠加， 而不是图形简单拼合
第三章 静定梁与静定刚架
任意直杆段——适用 叠加法作M图 （1）求控制截面值
外力不连续点 （F,M作用点，
q的起点，终点等） （考虑全部荷载） （2）分段画弯矩图 控制截面间无荷载
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
q
B
（1）求支座反力： 解：
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
VA
校核：
Y
qj 6
qj 6
ql 3
0
第三章 静定梁与静定刚架
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
第三章 静定梁与静定刚架 静定结构定义
在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意 一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。
F F F xA
F yA
F yB
（a）静定梁
Fx M Fy
（b）静定刚架
第三章 静定梁与静定刚架
静定结构的基本特征
几何特征： 几何不变且无多余联系。 静力特征： 未知力的数目=独立平衡方程式的数目。
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
ql2/3
ql2sinα/3 C
HAsinα α
ql2cosα/3
NC
D
MC
QC
HA VAsinα
VA VAcosα
第三章 静定梁与静定刚架
（4）绘制斜梁内力图如下：
第三章 静定梁与静定刚架
*曲梁的内力计算
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一 阶导数，进而确定倾角：
③轴力FN ：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆 轴的任意一侧，但必须标注正负号。
M
M
FS
FS
FN
FN
M
M
FS
F
F
S
F
第三章 静定梁与静定刚架
求所示简支梁任一截面的内力。
解 (1)求出支座反力。
由整体平衡： Fx 0
FAx 0
M A 0 20 2 15 4 6 32 FBy 12 0
F=3kN 解：取整体，
A
1 1
23 45
6
mA 0;
4m
23 4 B 2m
5C
3m
6D FC 6 m F 9 6q 3 0
FA
FC
FC 6.5kN
Fs图
(kN)
Fy 0;
FA FC F 6q 0 FA 2.5kN
M图
(kN.m)
第三章 静定梁与静定刚架
q=1kN/m m=6kN.m
3m
A
○－ CB：FA
Fs2 M A 0
MC左 12kN.m
MC
Fs4
Fs3
右
Fs3 12kN
M图 12kN.m ⊕
18kN
Fs4 18kN
MB
q MC右 24kN.m MB 0
24kN.m 27kN.m
5
M5 5 Fs5
M 5 27kN.m
FB
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的剪力图和弯矩图。
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的内力图。
A FA=qa
qa B
qa
m=3/2qa2 q
C
DE
F
a
a
a
a
2a
FE=2qa
G
H
a
q
第三章 静定梁与静定刚架
画图示梁的剪力图和弯矩图。
m=12kN.m q=6kN/m 解：取整体
A 2m C
FA
单跨静定梁
从支承情况不同又分为：
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
第三章 静定梁与静定刚架
1. 反力 以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支 梁、外伸梁） 三个支座反力 整体隔离体——平衡方程求解
第三章 静定梁与静定刚架
2. 内力 (1)截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力
F1
FAX
A
FAY
m
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其 凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力 偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
第三章 静定梁与静定刚架
• 荷载： q = 0， q = c， F作用点，集中力偶M， 铰处
P=3kN
1 A1
23 45
6
4m
23 4 B 2m
5C
3m
6D
FA=2.5kN
2.5
⊕ Fs 图
(kN)
FC =6.5kN
3 ⊕
○－
3.5
Fs1 2.5kN, Fs2 Fs3 1.5kN, Fs4 3.5kN, Fs5 Fs6 3kN,
M图
(kN.m)
第三章 静定梁与静定刚架
q=1kN/m m=6kN.m