计算方法简明教程习题解析(同名48868)

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第一章 绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*

x 的相对误差为*****

r

e x x e

x x δ-=

==

而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n

x 的相对误差。

解：设()n

f x x =，则函数的条件数为'()

|

|()

p

xf x C

f x =

又1

'()n f x nx

-=,

1

||n p x nx C n

n

-⋅∴==

又

((*))(*)

r p r x n C x εε≈⋅

且(*)r

e x 为2

((*))0.02n r x n

ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*

1

1.1021

x

=,*2

0.031

x

=,

*3385.6

x =,

*456.430x =,*57 1.0.

x =⨯

解：*

1

1.1021

x

=是五位有效数字；

*20.031x =是二位有效数字； *3385.6

x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.

x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)

***124

x x x ++,(2)

***123

x x x ,(3)

**

24

/x x .

其中*

*

**1

2

3

4

,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：

*4

1*

3

2*

1

3*

3

4*

1

51()1021()1021()1021()1021()102

x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯

***

124***1244333

(1)()()()()

111

1010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯

***

123*********123231132143

(2)()

()()()

111

1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈

**

24****

24422

*

4

33

5

(3)(/)

()()

11

0.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x εεε---+≈

⨯⨯+⨯⨯=

⨯=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？

解：球体体积为3

43

V R π= 则何种函数的条件数为

23'43

43

p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)

r p r r V C R R εεε∴≈=

又

(*)1

r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为

1

(*)10.33

3

r

R ε=⨯≈ 6．设0

28

Y

=，按递推公式1n

n Y

Y -= （n=1,2,…）

计算到100Y

27.982

≈（5位有效数字），试问

计算100

Y 将有多大误差？

解：

1n n Y Y -=

10099Y Y ∴=

9998Y Y =

9897Y Y =……

10Y Y =

依次代入后，有100

0100Y Y =-

即100

0Y

Y =， 27.982

≈, 100

027.982

Y

Y ∴=-

*

3

10001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=⨯

100

Y ∴的误差限为3

1102

-⨯。 7．求方程2

5610

x x -+=的两个根，使它至少具有4

27.982

=）。 解：2

5610

x x -+=，

故方程的根应为1,2

28x

=故

1282827.98255.982

x =≈+=

1

x ∴具有5位有效数字

211

280.017863

2827.98255.982

x =-=≈

=≈+

2

x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求12

1

1N N

dx x ++⎰？

解 12

1

arctan(1)arctan 1N N

dx N N x

+=+-+⎰

设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=

1

22

11arctan(tan())

tan tan arctan

1tan tan 1arctan

1(1)1

arctan 1

N N dx x N N

N N

N N αβ

αβαβ

αβ++=-=--=++-=++=++⎰