09贪婪策略

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30ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14 f:5 e:9
d:16
算法伪代码描述
• • • • • • • • • • HUFFMAN(C) 1 n ← |C | 2Q←C 3 for i ← 1 to n - 1 4 do 分配新的节点z 5 left[z] ← x ← DEQUEUE(Q) 6 right[z] ← y ←DEQUEUE(Q) 7 f [z] ← f [x] + f [y] 8 ENQUEUE(Q, z) 9 return DEQUEUE(Q) 返回树的根
1第 i 个 活 动 在 此 最 大 相 容 活 动 组 中 x i 0 否 则
• i=1, 2, …, n
最优子结构
• 定义集合 • Sij = {ak S : fi ≤ sk < fk≤sj} ,为表示整个问题，添 加两个假想的活动a0和an+1并约定f0 = 0及sn+1 = ∞。于是S = S0 n+1，而i和j的取值范围为0≤i，j ≤n + 1。显然只要i j，就有Sij = 。假定Sij的 一个解包含活动ak，每一个都构成Sij中的活动 的子集。设Aij是Sij的一个最优解，akAij。利用 ak产生两个子问题: Sik和Skj，则Aij中Sik的解Aik和 Skj的解Akj必对于: Sik和Skj也是最优的。
算法伪代码描述
• • • • • • • • RECURSIVE-ACTIVITY-SELECTOR (s, f, i, j) 1m←i+1 2 while m < j 且 sm < fi 求Sij中的第一个活动 3 do xm←0 4 m←m+1 5 if m < j 6 then xm←1 7 RECURSIVE-ACTIVITY-SELECTOR (s, f, m, j)
算法的运行时间
• 假定所有的活动已按完成时间排好序，则 调用RECURSIVE- ACTIVITY- SELECTOR (s, f, 0, n+1)的运行时间是Θ(n)。这是因为在所有的 递归调用中，每个活动仅在第2行的while循 环中被检测一次。特殊地，对i < k，ak活动 是在最后一次调用中被检测的。
第9章 贪婪策略
9.1 活动选择问题
• 假定有n个需要使用同一个这样的资源的活动，每次只能有一个活动 使用该资源。每一个活动有一个开始时间 si，一个完成时间 fi，其中0 si < fi < ∞。如果区间[si , fi)和[sj , fj)不相交，活动ai和aj是相容的（即 如果si fj 或 sj fi，ai和aj相容）。活动选择问题是选取一个由相容活 动构成的最大集合。 • 输入：按完成时间排好序的活动开始时间数组s，完成时间数组 f。 • 输出：表示一个最大的相容活动组的向量{x1, x2, …, xn}，其中
•
字符c对应的叶子在编码树T中的深度dT(c)与其频数积的和cCdT(c) f(c)，称为T 的代价，记为B(T)。B(T)恰表示信息的存储量。
• 确定字符频数的字符集C的不同编码树T表 示不同的前缀码编码方案，其代价也不同 ，我们的目标是寻求代价最小的编码树对 应的前缀码，称为最优编码。C的最优编码 树必是一棵满2-叉树。 • 输入：字符集C及频数f (c)，cC。 • 输出：以C中字符为叶子的满二叉树T，使 ( ) f( cd ) T( c ) 得代价 BT 最小。
算法的运行时间
• 第2行创建最小优先队列Q耗时Θ(n)，第5、 6两行从优先队列Q中卸载队首各耗时Θ(lgn) ，第8行中将新的树插入到队列中耗时 Θ(lgn)，第3～8行的for循环重复Θ(n)次，所 以过程HUFFMAN的总耗时为Θ(n lgn)。
9.3 最小生成树
• 设G=<V, E>是一个无向连通图，n个顶点用 前n个正整数编号，即V={1, 2, …, n}。G具有 权函数w: ER。目标是找到G的一棵生成树 T ，使得其权w(T)——树中每条边的权之和 ——最小。本问题的形式化为： • 输入：图G=<V, E>及权函数w: ER。 • 输出：G的一棵生成树T，使得w(T )最小。
贪婪选择性
• 定理9-1 • 考虑任一非空子问题Sij，并设am为Sij中最早完 成的一个活动： • fm = min {fk : ak Sij}。 • 则 • （1）活动am包含在Sij的一个最大相容活动子 集合中。 • （2）子问题Sim是空的，所以选择am将使得Smj 成为仅有的非空子问题。
(a)
f:5
e:9
c:12
b:13
d:16
a:45
(b)
c:12
b:13 f:5
14 e:9
d:16
a:45
(c) f:5
14 e:9
d:16 c:12
25 b:13
a:45
(d) c:12
25 b:13
30
a:45
14 f:5 e:9
d:16
(e)
a:45
55
(f)
100
25 c:12 b:13
c C
最优子结构
• 设T为字符集C的一棵最优前缀码树，T 的两 个孩子分别为T1和T2。设C1和C2分别是T1和 T2中叶子所对应的字符集。显然，C1C2＝ Ｃ，C1C2＝。则T1和T2分别为C1和C2的最 优前缀码树。
贪婪选择性
• 定理9-2 • 设C为一个字母表，其中的每一个字符c C具有频数f [c]。 设x和y是C中的两个频数最小的字符。则 • （1）存在C的一棵最优前缀码树T，在此编码树中x和y是 兄弟叶子。 • （2）设C ' 是在C中移除字符x、 y并加入新的字符z的字母 表，所以C ' = C - {x, y} {z}；定义C ' 中的 f 除了f [z] = f [x] + f [y]外，其余的和在C中的一样。设T ' 为任一棵表示C ' 的 一个最优前缀码的树。则在树T '中将叶子z替换为以x为左 孩子，y为右孩子的一个内点得到的树T为表示字母表C的 一个最优前缀码的树。
9.2 Huffman编码
• 对组成信息的字符集合C={c1, c2, …, cn}进行2-进制编码，设各字符在信息中出 现的频数为{f1, f2, …, fn}。若任何一个字符的编码不是另一字符编码的前缀，称 该编码方案为前缀码。前缀码对应一棵编码树T：n个字符对应n片叶子，从根 起到达一片叶子的路径对应该片叶子字符的编码向左的树枝对应0，向右的树 枝对应1。