第五讲显式差分和隐式差分
显式算法与隐式算法的区别
显式算法与隐式算法的区别-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1显式算法与隐式算法的区别所谓显式和隐式，是指求解方法的不同，即数学上的出发点不一样。
并不是说显式只能求动力学问题，隐式只能求静力学问题，只是求解策略不通。
显式求解是对时间进行差分，不存在迭代和收敛问题，最小时间步取决于最小单元的尺寸。
过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长，但总能给出一个计算结果。
解题费用非常昂贵。
因此在建模划分网格时要非常注意。
隐式求解和时间无关，采用的是牛顿迭代法（线性问题就直接求解线性代数方程组），因此存在一个迭代收敛问题，不收敛就的不到结果。
两者求解问题所耗时间的长短理论上无法比较。
实际应用中一般感觉来说显式耗时多些。
由于两者解题的出发点，所以一般来说显式用于求解和时间相关的动力学问题。
隐式用来求解和时间无关的静力学问题。
但也不是绝对的。
比如，用隐式求解时，为了克服迭代不收敛，改用显式算，但是要多给点时间，这样虽然克服了不收敛的问题，但是求解的时间费用也是相当客观的。
另外，隐式也可以求解动力学问题。
这是ansys里面的两种求解方法。
大多数非线性动力学问题一般多是采用显式求解方法，特别是在求解大型结构的瞬时高度非线性问题时，显示求解方法有明显的优越性。
下面先简要对比一下隐式求解法和显示求解法。
动态问题涉及到时间域的数值积分方法问题。
在80年代中期以前，人们基本上采用纽曼法进行时间域的积分。
根据纽曼法，位移、速度和加速度有着如下关系：u(i+1)=u(i)+△t*v(i)[(1—2p)a(i)+2p*a(i+1)] (1)v(i+1)=V(i)+△t[(1-2q)a(i)+2qa(i+1)] (2)上面式子中 u(i+1),u(i)分别为当前时刻和前一时刻的位移，v(i+1)和V(i)为当前时刻和前一时刻的速度，a(i+1)和a(i)为当前时刻和前一时刻的加速度，p和q为两个待定参数，△t为当前时刻与前一时刻的时问差，符号 * 为乘号。
隐式求解与显式求解.
大多数非线性动力学问题一般多是采用显式求解方法，特别是在求解大型结构的瞬时高度非线性问题时，显示求解方法有明显的优越性。
下面先简要对比一下隐式求解法和显示求解法。
动态问题涉及到时间域的数值积分方法问题。
在80年代中期以前，人们基本上采用纽曼法进行时间域的积分。
根据纽曼法，位移、速度和加速度有着如下关系：u(i+1)=u(i)+△t*v(i)[(1—2p)a(i)+2p*a(i+1)] (1)v(i+1)=V(i)+△t[(1-2q)a(i)+2qa(i+1)] (2)上面式子中 u(i+1),u(i)分别为当前时刻和前一时刻的位移，v(i+1)和V(i)为当前时刻和前一时刻的速度，a(i+1)和a(i)为当前时刻和前一时刻的加速度，p和q为两个待定参数，△t为当前时刻与前一时刻的时问差，符号 * 为乘号。
由式(1)和式(2)可知，在纽曼法中任一时刻的位移、速度、加速度都相互关联，这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解，这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。
这就是通常所说的隐式求解法。
隐式求解法可能遇到两个问题。
一是迭代过程不一定收敛，二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。
隐式求解法最大的优点是它具有无条件稳定性，即时间步长可以任意大。
如果采用中心差分法来进行动态问题的时域积分，则有如下位移、速度和加速度关系式：u(i+1)=2u(i)-u(i-1)+a(i)(△t)^2 (3)v (i+1)=[u (i+1)-u (i-1)]／2(△t) (4)式中u(i-1)，为i -1时刻的位移。
由式(3)可以看出，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。
另外，只要将运动过程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化，前一时刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。
显式求解法的优点是它既没有收敛性问题，也不需要求解联立方程组，其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。
显式方法与隐式方法
显式⽅法与隐式⽅法简介所谓显式和隐式，是指求解⽅法的不同，即数学上的出发点不⼀样。
并不是说显式只能求动⼒学问题，隐式只能求静⼒学问题，只是求解策略不通。
显式求解是对时间进⾏差分，不存在迭代和收敛问题，最⼩时间步取决于最⼩单元的尺⼨。
过多和过⼩的时间步往往导致求解时间⾮常漫长，但总能给出⼀个计算结果。
解题费⽤⾮常昂贵。
因此在建模划分⽹格时要⾮常注意。
隐式求解和时间⽆关，采⽤的是⽜顿迭代法（线性问题就直接求解线性代数⽅程组），因此存在⼀个迭代收敛问题，不收敛就的不到结果。
两者求解问题所耗时间的长短理论上⽆法⽐较。
实际应⽤中⼀般感觉来说显式耗时多些。
由于两者解题的出发点，所以⼀般来说显式⽤于求解和时间相关的动⼒学问题。
隐式⽤来求解和时间⽆关的静⼒学问题。
但也不是绝对的。
⽐如，⽤隐式求解时，为了克服迭代不收敛，改⽤显式算，但是要多给点时间，这样虽然克服了不收敛的问题，但是求解的时间费⽤也是相当客观的。
另外，隐式也可以求解动⼒学问题。
显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式⼀个是⽤显式⽅程表⽰，⼀个是⽤影视⽅程来表⽰。
⽐如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后⼀次迭代可以由前⼀次直接求解，这就是显⽰⽅程，如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n) 不能⽤⽅程显⽰表⽰，及数学上的隐函数，⼀般很难直接求解，多⽤迭代试算法间接求解。
有限元在求解动⼒学问题中直接积分法中的中⼼差分积分就是显⽰求解，⽽Newmark积分法则为隐式积分。
隐式积分求解有限元问题假设现在⼀个物体已经被离散成有点个单元。
显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式⼀个是⽤显式⽅程表⽰，⼀个是⽤影视⽅程来表⽰。
⽐如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后⼀次迭代可以由前⼀次直接求解，这就是显⽰⽅程，如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n) 不能⽤⽅程显⽰表⽰，及数学上的隐函数，⼀般很难直接求解，多⽤迭代试算法间接求解。
隐式差分方程课件
r
(1
)(U
n m1
U
n m1
)
r
(U
n1 m1
U
n1 m1
)
[1
2r(1
)]U
n m
,0
1（2.46）
这是一个六点差分格式（如图2.7所示），称为加权六点差分格式。
m-1,n+1
m,n+1
m+1,n+1
图2.7：
m-1,n
m,n
m+1,n
1
显然，当 0时，加权六点格式为古典显示格式；
1 2
k 2 Dx4
)u
n 1 m
u
n m
式中左边如果仅保留二阶导数项，且以
格式
(1
k h2
2 x
)U
n1 m
U
n m
1 h2
2 x
替代 Dx2
，则得差分
或者
rU
n1 m1
(1
2r
)U
n1 m
rU
n1 m1
U
n m
（2.41）
格式用图2.5表示，其截断误差阶为 (k2 h2) ,与古典差分格式相同。
2umn1 h2
u n1 m1
un m1
2umn h2
un m1
]
代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。
基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网
第二章显式隐式格式
收敛性convergence
设差分方程的解为 Fi n
微分方程的解为
n i n
F ( xi , t n )
Fi F ( xi , t n )
如果பைடு நூலகம்
.
t 0, x 0
时， in 0
则称：差分方程的解
Fi n
收敛到 F ( xi , t n )
差分算子收敛到微分算子叫相容， 而收敛是指
CFL判据
对于迎风差分格式 0 1 称为线性稳定性判据,又称CFL判据 (Courant, Friedrichs和Lewyt)， 中文常说成库朗判据。 CFL condition is a necessary condition for stability, but not sufficient.
An initial- and boundaryvalue problem
In order to do so, the meteorological variables need to be prescribed at this initial time, which are called initial conditions. Mathematically, this corresponds to solve an initial-value problem. Due to practical limitations, such as computing power, numerical methods, etc., we are forced to make the numerical integration for predicting weather systems in a finite area. In order to do so, it is necessary to specify the meteorological variables at the boundaries, which include upper, lower, and lateral boundaries, of the domain of interest. Mathematically, this corresponds to solve a boundary-value problem. Thus, mathematically, numerical weather prediction is equivalent to solving an initial- and boundary- value problem.
显式求解方法和隐式求解方法对比
采用有限元方法开展结构的动力学分析最终归结为求解离散后的常微分方程组tR KU U C U M =++ 。
在时域内求解该方程最常用的方法是直接积分法，而又根据求解过程中是否需要迭代求解线性方程组，将直接积分法分为隐式积分方法和显式积分方法两类。
隐式积分法认为ｔ＋Δｔ时刻系统的状态不仅与ｔ时刻状态有关，且与ｔ＋Δｔ时刻某些量有关。
因此隐式算法是根据t n 及t n-1...时刻体系的物理量值建立关于以t n+1时刻物理量为未知量的线性方程组，通过求解方程组确定t n+1时刻的物理量（常用的方法有线性加速度法、常平均加速度法、Newmark 方法、Wilson-θ法、Houbolt 方法等）。
而显式积分法认为ｔ＋Δｔ时刻系统的状态仅与ｔ时刻状态有关可，因此可由t n 及t n-1...时刻体系的物理量值直接外推t n+1时刻物理量值（如中心差分法），不需要求解线性方程组，实现了时间离散的解耦。
两种算法的比较 ：（1）隐式算法隐式算法基于虚功原理，要迭代计算。
隐式算法在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的线性方程组，这一过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。
理论上在这个算法中的增量步可以很大，但是实际运算中上要受到接触以及摩擦等条件的限制。
随着单元数目的增加，计算时间几乎呈平方次增加。
由于需要矩阵求逆以及精确积分，对内存要求很高。
隐式算法的不利方面就是收敛问题不容易解决，且在开始起皱失稳时，在分叉点处刚度矩阵出现奇异。
（2）显式算法显示算法基于动力学方程，无需迭代，包括动态显式和静态显式算法。
动态显式算法采用动力学方程的中心差分格式，不用直接求解切线刚度，不需要进行平衡迭代，计算速度快，也不存在收敛控制问题。
该算法需要的内存也比隐式算法要少。
数值计算过程可以很容易地进行并行计算，程序编制也相对简单。
它也有一些不利方面。
显式算法要求质量矩阵为对角矩阵，而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥, 因而往往采用减缩积分方法，容易激发沙漏模式，影响应力和应变的计算精度。
显式和隐式积分格局[整理版]
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显式和隐式积分格式隐式算法和显式算法是两个比较范的概念，无论是静力学问题，还是动力学问题，都可以应用这两种方法。
所谓显式和隐式，是指求解方法的不同，即数学上的出发点不一样。
并不是说显式只能求动力学问题，隐式只能求静力学问题，只是求解策略不同。
显式求解是对时间进行差分，不存在迭代和收敛问题，最小时间步取决于最小单元的尺寸。
过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长，但总能给出一个计算结果。
解题费用非常昂贵。
因此在建模划分网格时要非常注意。
隐式求解和时间无关，采用的是牛顿迭代法（线性问题就直接求解线性代数方程组），因此存在一个迭代收敛问题，不收敛就得不到结果。
两者求解问题所耗时间的长短理论上无法比较。
实际应用中一般感觉来说显式耗时多些。
由于两者解题的出发点，所以一般来说显式用于求解和时间相关的动力学问题。
隐式用来求解和时间无关的静力学问题。
但也不是绝对的。
比如，用隐式求解时，为了克服迭代不收敛，改用显式算，但是要多给点时间，这样虽然克服了不收敛的问题，但是求解的时间费用也是相当客观的。
另外，隐式也可以求解动力学问题。
隐式算法能提供更有力的整体逼近，达到收敛需反复的迭代，因而代价比价大；显式方法不需要迭代，因而代价较小。
隐式算法适于结构的瞬态响应等问题；显式算法适于冲击、爆炸等问题。
隐式算法稳定性是无条件的，以K求逆为代价换得了比显式算法可以采用大得多的时间步长；显式算法是条件稳定，其积分的结果依赖时间步的大小，步长变大往往会造成结果不收敛，所以要注意时间步的大小，还要保证计算结果与真实结论的偏差要小。
隐式与显示最重要的区别在于是否对于整体刚度矩阵求逆，而这一过程也就决定了两者对于模型的要求，由于隐式算法要求逆，所以计算时要求整体刚度阵不能奇异，而显示就没有这一问题啦。
而对于动力学问题来将，从数学上看它属于微分方程中初边值问题，如果采用显示求解，很容易发生总纲奇异的问题，所以很多时候求解动力学问题都采用explicit来做。
复习第三章求解导热问题的有限差分法
n Tm Tw
（n＝0，1，2，…）
⑥式
12
第一节 差分格式 将④，⑤，⑥式联立，得完整差分格式：
n n n Ti n1 f Ti ( 1 2 f ) T f T 1 i i 1
⑦式
（n＝1，2，…；i＝2，3，…，m－1）
Ti 0 T0 (i 2,3,...,m 1)
内容 （1）显式差分格式 1、差分格式 （2）完整隐式差分格式 （3）六点差分格式 （1）内节点法 （2）外节点法
2、直接差分法
1
第一节 差分格式 一 . 概述 1. 差分格式 实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法 中它们也必须差分化。 因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而 且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组 成的代数方程组。又称为差分格式。 2. 非稳态导热方程的完整的差分格式（步骤）
二. 显式差分格式
Ti n1 Ti n t
a
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
( x ) 2
即显式差分方程。 ④式 由②式离散得：Ti 0
T0 (i 2,3,, m 1) ⑤式
11
第一节 差分格式 注意边界节点在初始时刻的温度值应由边界条件来提供。 由③式所示的边界条件在离散区域内表示为给定边 界节点在时刻t＝0，1，2，…的温度值，即：
t ( ) 2
(T
n 1 i 1
2Ti
n1
n 1
T
n1 i 1
n 1 i 1
)
t 令f ( 2 ，则： )
Ti Ti
n
f (T
n1 i 1
2Ti
T
)
显式算法与隐式算法的区别
显式算法与隐式算法得区别1、显式算法最大优点就是有较好得稳定性。
动态显式算法采用动力学方程得一些差分格式(如广泛使用得中心差分法、线性加速度法、Newmark法与wilson法等),不用直接求解切线刚度,不需要进行平衡迭代,计算速度快,时间步长只要取得足够小,一般不存在收敛性问题。
因此需要得内存也比隐式算法要少。
并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算,程序编制也相对简单。
但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵,而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥。
因而往往采用减缩积分方法,容易激发沙漏模式,影响应力与应变得计算精度。
静态显式法基于率形式得平衡方程组与Euler向前差分法,不需要迭代求解。
由于平衡方程式仅在率形式上得到满足,所以得出得结果会慢慢偏离正确值。
为了减少相关误差,必须每步使用很小得增量。
2、隐式算法隐式算法中,在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解,并且每次迭代都需要求解大型得线性方程组,这以过程需要占用相当数量得计算资源、磁盘空间与内存。
该算法中得增量步可以比较大,至少可以比显式算法大得多,但就是实际运算中上要受到迭代次数及非线性程度得限制,需要取一个合理值。
3、求解时间t使用显式方法,计算成本消耗与单元数量成正比,并且大致与最小单元得尺寸成反比;应用隐式方法,经验表明对于许多问题得计算成本大致与自由度数目得平方成正比;因此如果网格就是相对均匀得,随着模型尺寸得增长,显式方法表明比隐式方法更加节省计算成本。
所谓显式与隐式,就是指求解方法得不同,即数学上得出发点不一样。
并不就是说显式只能求动力学问题,隐式只能求静力学问题,只就是求解策略不通。
显式求解就是对时间进行差分,不存在迭代与收敛问题,最小时间步取决于最小单元得尺寸。
过多与过小得时间步往往导致求解时间非常漫长,但总能给出一个计算结果。
解题费用非常昂贵。
因此在建模划分网格时要非常注意。
隐式求解与时间无关,采用得就是牛顿迭代法(线性问题就直接求解线性代数方程组),因此存在一个迭代收敛问题,不收敛就得不到结果。
隐式差分方程课件
代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。
基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网 格结点可获得另一精度较高的差分格式，如在 2 D 前式（2.42）中仅保留直到 x 的项，即有
(1
由式(2.19.3),可令 则可得 代入上式，则有如下差分格式：
1 1 2 n 1 2 n kDx )um (1 kDx )um 2 2 1 2 1 2 n 2 n Dx um 2 x (1 x )um h 12 1 2 1 2 1 2 Dx 2 x (1 x ) h 12
n 1 n (1 r x2 )U m [1 (1 )r x2 ]U m
n 1 n n n 1 n 1 n ( 1 2 r ) U r ( 1 )( U U ) r ( U U ) [ 1 2 r ( 1 )] U m m 1 m 1 m 1 m 1 m ,0 1 （2.46） 或者
（2.45） 它称为Douglas差分格式，具有截断误差阶 (k 2 h4 )。
1 1 2 n 1 1 1 2 n [1 (r ) x ]U m [1 (r ) x ]U m 2 6 2 6
例2.1 解初边值问题
u 2u t x 2 u t 0 sin x u (0, t ) u ( , t ) 0
表2.2
显式算法与隐式算法的区别
显式算法与隐式算法的区别-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1显式算法与隐式算法的区别1、显式算法最大优点是有较好的稳定性。
动态显式算法采用动力学方程的一些差分格式（如广泛使用的中心差分法、线性加速度法、Newmark法和wilson法等），不用直接求解切线刚度，不需要进行平衡迭代，计算速度快，时间步长只要取的足够小，一般不存在收敛性问题。
因此需要的内存也比隐式算法要少。
并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算，程序编制也相对简单。
但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵，而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥。
因而往往采用减缩积分方法，容易激发沙漏模式，影响应力和应变的计算精度。
静态显式法基于率形式的平衡方程组与Euler向前差分法，不需要迭代求解。
由于平衡方程式仅在率形式上得到满足，所以得出的结果会慢慢偏离正确值。
为了减少相关误差，必须每步使用很小的增量。
2、隐式算法隐式算法中，在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的线性方程组，这以过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。
该算法中的增量步可以比较大，至少可以比显式算法大得多，但是实际运算中上要受到迭代次数及非线性程度的限制，需要取一个合理值。
3、求解时间t使用显式方法，计算成本消耗与单元数量成正比，并且大致与最小单元的尺寸成反比；应用隐式方法，经验表明对于许多问题的计算成本大致与自由度数目的平方成正比；因此如果网格是相对均匀的，随着模型尺寸的增长，显式方法表明比隐式方法更加节省计算成本。
所谓显式和隐式，是指求解方法的不同，即数学上的出发点不一样。
并不是说显式只能求动力学问题，隐式只能求静力学问题，只是求解策略不通。
显式求解是对时间进行差分，不存在迭代和收敛问题，最小时间步取决于最小单元的尺寸。
过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长，但总能给出一个计算结果。
解题费用非常昂贵。
差分方法稳定性介绍
03
多尺度问题的求解
多尺度问题广泛存在于科学和工程领 域，对差分方法的稳定性提出更高要 求。未来研究中，将更加注重多尺度 问题的求解方法和技术研究。
THANKS
感谢观看
差分方法稳定性介绍
• 引言 • 差分方法的基本原理 • 差分方法的稳定性分析 • 差分方法的误差分析 • 提高差分方法稳定性的措施 • 差分方法稳定性的应用案例 • 总结与展望
01
引言
差分方法的概念
差分方法
差分方法是一种数值计算方法，用于求解微分方程的近似解。它通过构造差分 格式来逼近微分方程的导数，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
差分方法的稳定性分析
稳定性定义
数值稳定性
差分方法在数值计算过程中，对于初 始条件和边界条件的小扰动，解的变 化能够保持有界，即不会因计算步数 的增加而无限放大。
渐近稳定性
当计算步数趋于无穷时，差分方法的 解能够收敛到真实解，即误差能够逐 渐减小并趋于零。
稳定性判据
要点一
Lax-Richtmyer稳定性判据
对于线性偏微分方程，如果差分格式能够保持离散能量不 增长，则该格式是稳定的。该判据提供了判断差分格式稳 定性的一个充分条件。
要点二
Courant-Friedrichs-Lewy （CFL…
对于显式差分格式，为了保证计算的稳定性，时间步长与 空间步长之间需要满足一定的关系，即CFL条件。该条件 给出了时间步长的上限。
边界条件的处理
Dirichlet边界条件
直接给出边界上的函数值，处理简单。
Neumann边界条件
给出边界上的法向导数值，需要通过差分 近似进行处理。
Robin边界条件
周期边界条件
第五讲：有限差分法原理
海洋数值模拟 第五讲
显式差分/隐式差分
• 显式差分：向前差分用于方程的处理可以得到新时间步上的值及由X（
n+1)=Q[X(n)]来得到新值，其中X(n)为T时刻的值，X（n+1)为T+1时刻的值，也 就是说显式差分完全可以有已知或已算出的值来计算出下一个时间步的值。
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
• 隐式差分：隐式差分要获得新时间步的值不仅要已知或已算出的值还要用到
新时间步的值，及X（n+1)=Q[X(n)，X（n+1)]，可以看出这样的方程来求解新 时间步就用到迭代，像这样的求解新时间步时同时用到旧值和新值的差分 就是隐式差分方法。
由于隐式差分是无条件稳定的，所以隐式算法不存在稳定性问题。
传热学名词解释及简答题
1. 热传导：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热能传递。
2. 传热系数：在数值上等于冷、热流体间温差厶t=1 C、传热面积A=1m2时的热流量的值，它表征传热过程的强烈程度。
3. 传热过程：热量从壁一侧的高温流体通过壁传给另一侧的低温流体的过程。
4. 温度场：指各个时刻物体内各点温度组成的集合，又称温度分布。
一般的，物体的温度场是时间和空间的函数。
5. 等温面：同一瞬间，温度场中所有温度相同的点所组成的面。
6. 等温线：在任何一个二维截面上，等温面表现为等温线。
7. 温度梯度：在温度场中某点处沿等温面的法向的最大方向导数，t -8. 热流量：单位时间内通过某一给定面积的热量。
记为9. 热流密度：通过单位面积的热流量。
记为q。
10. 热对流：由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。
11. 表面传热系数：单位面积上，流体与壁面之间在单位温差下及单位时间内所能传递的能量。
12. 对流传热：流体流过一个物体表面时流体与物体表面间的热量传递过程。
13. 自然对流：由于流体冷、热各部分的密度不同而引起流体的流动。
14. 强制对流：流体的流动是由于水泵、风机或者其他压差作用所造成。
15. 沸腾传热（凝结传热）：液体在热表面上沸腾（及蒸汽在冷表面上凝结）的对流传热。
16. 入口段和充分发展段：流体从进入管口开始，需经历一段距离，管断面流速分布和流动状态才能达到定型，这一段距离通称进口段。
之后，流态定型，流动达到充分发展，称为流动充分发展段。
17. 自模化现象：自然对流紊流的表面传热系数与定型尺寸无关的现象。
18. 辐射：物体通过电磁波来传递能量的方式。
19. 热辐射：物体会因各种原因发出辐射能，其中因热的原因而发出辐射能的现象称~。
20. 辐射传热：辐射与吸收过程的综合结果就造成了以辐射的方式进行的物体间的热量传递。
差分方程方法分析
差分方程方法分析差分方程方法的基本思想是将连续的问题转化为离散的问题，通过逐个计算离散点上的函数值来近似连续系统的演化过程。
它主要用于描述离散时间系统的时间演化，例如金融市场的价格变化、人口增长模型、物理系统的离散化等。
差分方程方法的主要步骤包括建立差分方程模型、选择合适的数值计算方法以及求解差分方程。
其中，建立差分方程模型是差分方程方法的第一步。
它涉及将连续系统的演化过程离散化为一个递推的差分方程，通过将时间或空间分割为若干个离散点，然后在离散点上计算系统的演化。
选择合适的数值计算方法是差分方程方法的关键。
常见的数值计算方法包括显式差分法、隐式差分法、Crank-Nicolson方法等。
显式差分法是一种计算简单但稳定性较差的方法，它根据已知的离散点上的数值计算出下一个离散点的数值；隐式差分法是一种计算复杂但稳定性较好的方法，它通过利用离散点上的数值，同时求解下一个点的数值和当前点的数值；Crank-Nicolson方法则是显式差分法和隐式差分法的结合，既考虑了计算简单性，又考虑了稳定性。
求解差分方程是差分方程方法的最后一步。
求解差分方程的方式取决于具体的问题和数值计算方法。
通常采用迭代法，从已知初始条件开始，依次计算离散点上的数值直到演化结束。
求解过程中需要注意稳定性和收敛性的问题，避免结果的发散或振荡现象。
总之，差分方程方法是一种常见的数学分析方法，适用于解决离散时间或空间系统的演化和变化问题。
它通过离散化连续系统，将其演化过程转化为离散点上的数值计算问题，并通过选择合适的数值计算方法和求解差分方程来得到问题的近似解析。
它在应用领域广泛，为解决实际问题提供了有效的数值计算手段。
隐式求解与显式求解.
隐式求解与显式求解.大多数非线性动力学问题一般多是采用显式求解方法，特别是在求解大型结构的瞬时高度非线性问题时，显示求解方法有明显的优越性。
下面先简要对比一下隐式求解法和显示求解法。
动态问题涉及到时间域的数值积分方法问题。
在80年代中期以前，人们基本上采用纽曼法进行时间域的积分。
根据纽曼法，位移、速度和加速度有着如下关系：u(i+1)=u(i)+△t*v(i)[(1—2p)a(i)+2p*a(i+1)] (1)v(i+1)=V(i)+△t[(1-2q)a(i)+2qa(i+1)] (2)上面式子中 u(i+1),u(i)分别为当前时刻和前一时刻的位移，v(i+1)和V(i)为当前时刻和前一时刻的速度，a(i+1)和a(i)为当前时刻和前一时刻的加速度，p和q为两个待定参数，△t为当前时刻与前一时刻的时问差，符号 * 为乘号。
由式(1)和式(2)可知，在纽曼法中任一时刻的位移、速度、加速度都相互关联，这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解，这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。
这就是通常所说的隐式求解法。
隐式求解法可能遇到两个问题。
一是迭代过程不一定收敛，二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。
隐式求解法最大的优点是它具有无条件稳定性，即时间步长可以任意大。
如果采用中心差分法来进行动态问题的时域积分，则有如下位移、速度和加速度关系式：u(i+1)=2u(i)-u(i-1)+a(i)(△t)^2 (3)v (i+1)=[u (i+1)-u (i-1)]／2(△t) (4)式中u(i-1)，为i -1时刻的位移。
由式(3)可以看出，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。
另外，只要将运动过程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化，前一时刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。
显式求解法的优点是它既没有收敛性问题，也不需要求解联立方程组，其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。
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a(121,106)=-0.25; a(135,134)=-0.25; a(135,120)=-0.25; a(15,14)=-0.25; a(15,30)=-0.25; for i=2:14
a(i,i-1)=-0.25; a(i,i+1)=-0.25; a(i,i+15)=-0.25; end for i=122:134 a(i,i-1)=-0.25; a(i,i+1)=-0.25; a(i,i-15)=-0.25; end for i=1:7 for j=2:14; a(15*i+j,15*i+j-1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+15)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j-15)=-0.25; end end
Cui, 2013
Cui, 2013
Cui, 2013
Cui, 2013
总结：
1、有限差分方法给出的数值解的精度取决于所用的差分形式（向 前、向后、中心）。
2、偏微分方程的显式有限差分格式通常是有条件稳定的，为了保 证得到精确的数值解，最关键的是需要根据稳定性条件选取正确的 空间和时间步长。
j (i-1,j)
j-1 (i-1,j-1)
3 h2 0 (hi3,j) h1 h44 (i,j)
(i+1,j+1)
1 (i+1,j) (i+1,j-1)
i-1
i i+1
U=0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 U=0
U (i 1, j) U (i 1, j) U (i, j 1) U (i, j 1) 4U (i, j) 0
边界节点：
A矩阵非零系数减少， 同时引入第一类边界，
方程右端项B向量出现 非零元素。
AX B
组建A和B矩阵，求解线性方程组得到X
A A(135,135)
X X (135,1)
B B(135,1)
%Matlab 2D clear; clc; figure('color','w');
a=zeros(135,135); for i=1:135
j+1 (i-1,j+1) (i,j+1) 2
j (i-1,j)
j-1 (i-1,j-1)
3
h2 0
(hi3,j)
h1
h44
(i,j)
(i+1,j+1)
1 (i+1,j) (i+1,j-1)
局部节点编号 总体节点编号
i-1
i i+1
U (i 1, j) U (i 1, j) U (i, j 1) U (i, j 1) 4U (i, j) 0
subplot(1,2,1),mesh(s) axis([0,17,0,11,0,100]) subplot(1,2,2),contour(s,32)
11
10
100
9
80
8
60
7
40
6
20
5
4 0
10
3
15
5
2 10
5 00
1
5
10
15
2.5 应用实例
南加州一次未来大地震的强地面运动的数值模拟
盆地效应
• 2.时间步长和空间步长的选择受限制。通常要求时间步长 足够小。
Lax等价定理（Lax equivalence theorem）：如果逼近一个给定问题的差 分格式是相容的，那么该差分格式的收敛性与稳定性互为充分必要条件。
相容性是比较容易满足的。在此基础上，如果满足了稳定性条件，差分格式的 收敛性就自动满足。
2.5 有限差分法实例
U=100
U=0
2U 0
j+1 (i-1,j+1) (i,j+1) 2
第五讲显式差分和隐式差分
回顾
1. 有限差分法的相容性、稳定性和收敛性
相容性：针对差分格式而言，在时间步长和空间步长趋近于零的情况下， 如果差分格式的截断误差（差分格式与原有偏微分方程之差）的模趋近于零， 则该差分格式与原偏微分方程是相容的，或称该差分方程与原偏微分方程 具有相容性。
稳定性（stability）：如果偏微分方程的严格解析解有界，差分格式给出的 解也有界，称该差分格式是稳定的；如果差分格式给出的解是无界的，则 称该差分格式是不稳定的。
稳定性反映了差分格式在计算中控制误差传递的能力
收敛性（convergence）：如果当时间和空间步长趋于零时，FDE解趋于PDE
解，称该差分格式是收敛的。
如果
lim (U
h 0, t 0
m i, j
,k
um i, j
,k
)
0
则称该差分格式是收敛的。
收敛性描述的是当差分网格无限细化时，差分方程的解是否具有无限逼 近偏微分方程的解的能力
b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135
c(i,1)=25;end d=b*c; s=zeros(11,17); for i=2:16
s(11,i)=100; end for i=1:9 for j=1:15; s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end
内部节点：
for j=2:n-1 for i=2:m-1;
a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i+1)=1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i-1)=1; a((j-1)*m+i,j*m+i)=1; a((j-1)*m+i,(j-2)*m+i)=1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i)=-4; end end
a(i,i)=1; end; for i=1:7
a(15*i+1,15*i+2)=-0.25; a(15*i+1,15*i+16)=-0.25; a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25; a(15*i+15,15*i+30)=-0.25; a(15*i+15,15*i)=-0.25; End a(1,2)=-0.25; a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;
显式与隐式差分格式
主讲人：胡才博 中国科学院大学地球科学学院 中国科学院计算地球动力学重点实验室
显式和隐式：求解问题与时间相关
• 显式差分格式（explicit difference scheme） 差分方法中可逐层逐点分别求解的格式。
• 特点
Y (t t) F (Y (t))
• 1. 不联立解方程；