本科毕业设计--求解热传导方程的高精度隐式差分格式

新疆大学毕业论文(设计)题目:求解热传导方程的高精度隐式差分格式所属院系：数学与系统科学学院专业：信息与计算科学声明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。

声明人（签名）：年月日亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。

指导教师（签名）：年月日新疆大学毕业论文（设计）任务书班级：信计07-2 姓名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式专题：毕业设计论文（设计）来源：教师自拟要求完成的内容：学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为()24τ+数值格式，O h讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。

发题日期：2012 年12月25日完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位：数学学院地点：数学学院论文页数：19页；图纸张数：4指导教师：开依沙尔老师教研室主任院长（系主任）摘要本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算.关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式ABSTRACTThis paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equationKeywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme目录引言 (1)预备知识 (2)1.扩散方程的经典差分格式 (3)1.1 显式差分格 (3)1.1.1 显式的截断误差................ . (4)1.1.2 显式差分格式的稳定性 (4)1.2 隐式差分格式 (5)1.2.1 隐式差分格式的截断误差 (5)1.2.2 隐式差分格式的稳定性 (6)1.3 Crank-Nicolson格式 (6)1.3.1 Crank-Nicolson差分格式的截断误差 (7)1.3.2 Crank-Nicolson差分格式的稳定性 (8)2.高精度格式的构造 (9)2.1梯形方法 (9)2.2本文格式的构造 (10)2.3 稳定性分析 (11)3.数值实验 (13)结论 (17)致谢 (18)参考文献 (19)引言热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程．自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述．由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值【1】．求解该问题的数值方法主要有 差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。

目前求解该问题的主要的差分格式有显式格式，隐式格式，Crank-Nicolson 格式等[1,2,4]。

虽然显式格式计算简单，但是稳定性有所限制，一般隐式格式和Crank-Nicolson 格式分别为一阶和二阶精度的绝对稳定的隐式格式，还显得误差阶不够高， 得到的结果也往往不能令人满意, 考虑到这些不足文[7]中半离散方法构造()22O h τ+格式结果Crank-Nicolson 格式进行比较，在文[10]待定参数法构造精度()36O h τ+的显式格式但是稳定性条件比较苛刻，它文的稳定性条件为216a r h τ=≤，本文热传导方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为()24O h τ+的绝对稳定的隐式差分格式，并讨论了稳定性，数值值结果与经典Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明,该方法是有效求解扩散方程的数值计算.本文分为三大部分，第一部分简单介绍热传导方程的经典差分格式，第二部分主要介绍热传导方程的高精度格式的构造和稳定性，第三部分给出具体的数值算例，结果与Crank-Nicolson 格式，准确值进行比较，最后给出结论。

预备知识利用下面的各种数值微分公式得到不同的差分格式()()()()()()()()()()()()()()()()()()1112111122112,,,,2,,,,,,2,2,,nj n j n j nj n j n jn j n j n j nj n j n j n j n j n jj n j n j n u x t u x t u O t u x t u x t u O t u x t u x t u O h hx u x t u x t u O h h x u x t u x t u O h hx u x t u x t u x t u h ττττ++-+-+-+--∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎣⎦-∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎣⎦-∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎣⎦-∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎣⎦-∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎣⎦-+∂=∂()22njO h x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦截断误差：一般说来，微分方程的解不会精确地满足差分方程。

将差分方程中的各个项同时用微分方程的解在相应点的值代入，利用泰勒展开，就会得到一个误差项，这个误差项就是截断误差。

相容性：若时间步长τ以及空间步长h 同时趋于0，截断误差0→n j R ，就说差分格式与微分方程是相容的。

一个差分格式与一个微分方程相容，则表明当0,→h τ时，差分算子与微分算子对任一光滑函数的作用是相同的，所以可用相容的差分格式近似相应的微分方程，而截断误差则是对这一近似程度的一个度量。

收敛性：考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解。

如果当时间步长τ以及空间步长h 趋于0时，0),(→-=n j n j n j u t x u e ，我们称差分格式是收敛的，即时间步长τ以及空间步长h 趋于0时，差分格式的解逼近于微分方程的解。

稳定性：差分格式的计算是逐层计算的，计算第1+n 层上的1+n j u 时，要用到第n 层上计算出来的结果。

计算n j u 时的舍入误差，必然会影响到1+n j u 的值，从而就要分析这种误差传播的情况。

因此，一个有实用价值的数值方法应该具有能够控制这种误差影响的性能，这就是数值方法的稳定性。

精度：如果一个差分格式的截断误差)(p q h O E +=τ，就说差分格式对时间t 是q 阶精度的，对空间x 是p 阶精度的。

Lax 等价定理]5[：给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分 式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件。

定理1（von Neumann 条件） 微分方程的差分格式稳定的必要条件是当0ττ≤，T n ≤τ,对所有R k ∈有ττλM k G j +≤1)),(( ， p j ,,2,1 =其中),(k G τ为增长因子（或增长矩阵），)),((k G j τλ表示),(k G τ的特征值，M 为常数。

定理2 如果差分格式的增长矩阵),(k G τ是正规矩阵，则 von Neumann 条件是差分格式稳定的必要且充分条件。

推论2.1 当),(k G τ为实对称矩阵，酉矩阵，Hermite 矩阵时，von Neumann 条件是差分格式稳定的充分必要条件。

推论2.2 当1=p 时，即),(k G τ只有一个元素，则von Neumann 条件是差分格式稳定的充要条件。

定理3 如果存在常数0,τK 使得ττK k G +≤1),(， 00ττ≤<， 则差分格式是稳定的。

1. 热传导方程的经典差分格式 考虑一维热传导方程的初边界问题：220,,0(,0)(),(,)(),0(,)(),u ua xb t t x u x f x a x bu a t t t u b t t t αϕφ⎧∂∂-=<<>⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩1.1显式差分格式我们可以对u t ∂∂用向前差分()()()1,,n j n j n j u x t u x t u O t ττ+-∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎣⎦ 22ux ∂∂用二阶差商 ()()()()211222,2,,nj n j n j n ju x t u x t u x t u O h h x +--+⎡⎤∂=+⎢⎥∂⎣⎦ 得到差分格式为111220n n n n nj jj j j u u u u u h ατ++-----= (1.1.1)1.1.1显式差分格式的截断误差证：（用taylor 展开）(,)nj j n u u x t = 122112(,)(,)[][],(01)2!n n n jj n j j u u u u x t t u x t t tθττθ++∂∂=+∆=++≤≤∂∂)10(][!4][!3][!2][),(),()10(][!4][!3][!2][),(),(344433322212444333222132≤≤∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-=∆-=≤≤∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∆+=+-++θθθθnj n j n j n j n j n j nj n j n j n j n j n j xu h x u h x u h x u h t x u t x x u u xu h x u h x u h x u h t x u t x x u u把上述代入差分格式中，得截断误差为：1232224242244(,)[][]{[][][]}22424n nn n n njj j j j j u u u h u h u k x t t t x x xθθθτα+++∂∂∂∂∂=+-++∂∂∂∂∂)1,0().(}}][]{[24][2{}][]{[32,12444422222321≤≤+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=+++θθθταταθθθh o x u x u h t u x u t u nj n j n j n j n j 从上述可知，截断误差为2(,)()n jk x t o h τ=+，它对空间方向为一阶截断误差而对时间方向为二阶截断误差。