本科毕业设计--求解热传导方程的高精度隐式差分格式

新疆大学毕业论文(设计)

题目:求解热传导方程的高精度隐式差分格式所属院系：数学与系统科学学院

专业：信息与计算科学

声明

本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。

声明人（签名）：

年月日

亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。

指导教师（签名）：

年月日

新疆大学

毕业论文（设计）任务书

班级：信计07-2 姓名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式

专题：毕业设计

论文（设计）来源：教师自拟

要求完成的内容：学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分

格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧

致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构

造热传导方程的精度为()

24

τ+数值格式，

O h

讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。发题日期：2012 年12月25日完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位：数学学院地点：数学学院论文页数：19页；图纸张数：4

指导教师：开依沙尔老师

教研室主任

院长（系主任）

摘要

本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算.

关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式

ABSTRACT

This paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equation

Keywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme

目录

引言 (1)

预备知识 (2)

1.扩散方程的经典差分格式 (3)

1.1 显式差分格 (3)

1.1.1 显式的截断误差................ . (4)

1.1.2 显式差分格式的稳定性 (4)

1.2 隐式差分格式 (5)

1.2.1 隐式差分格式的截断误差 (5)

1.2.2 隐式差分格式的稳定性 (6)

1.3 Crank-Nicolson格式 (6)

1.3.1 Crank-Nicolson差分格式的截断误差 (7)

1.3.2 Crank-Nicolson差分格式的稳定性 (8)

2.高精度格式的构造 (9)

2.1梯形方法 (9)

2.2本文格式的构造 (10)

2.3 稳定性分析 (11)

3.数值实验 (13)

结论 (17)

致谢 (18)

参考文献 (19)

引言

热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程．自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述．由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值【1】．

求解该问题的数值方法主要有 差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。目前求解该问题的主要的差分格式有显式格式，隐式格式，Crank-Nicolson 格式等[1,2,4]。 虽然显式格式计算简单，但是稳定性有所限制，一般隐式格式和Crank-Nicolson 格式分别为一阶和二阶精度的绝对稳定的隐式格式，还显得误差阶不够高， 得到的结果也往往不能令人满意, 考虑到这些不足文[7]中半离散方法构造()22O h τ+格式结果Crank-Nicolson 格式进行比较，在文[10]待定参数法构造精度()36O h τ+的显式格式但是稳定性条件比较苛刻，它文的稳定性条件为21

6

a r h τ=

≤，本文热传导方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为()24O h τ+的绝对稳定的隐式差分格式，并讨论了稳定性，数值值结果与经典Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明,该方法是有效求解扩散方程的数值计算.

本文分为三大部分，第一部分简单介绍热传导方程的经典差分格式，第二部分主要介绍热传导方程的高精度格式的构造和稳定性，第三部分给出具体的数值算例，结果与Crank-Nicolson 格式，准确值进行比较，最后给出结论。