分类讨论思想复习

在矩形ABCD中：①当QAAB
AP =BC
时，△QAP∽△ABC，则
（2）在△QAC中，S=
1 2
QA·DC=12 （
6－t)·12=36－６ｔ
在△APC中，S= 1 AP·BC=1 ·２ｔ·６＝６ｔ
2
2
D
QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)
Q
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，
四边形QAPC的面积始终保持不变。
A
P
（3）根据题意，可分为两种情况来研究
1
又∠QPO=∠OCP+∠C2 OP，(180－x)=x+30,
解得x=40, 即∠OCP=40度
（2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在
线202段0/9/O21B上。
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（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=180－ｘ，
∴∠OPQ=
12（180－x)=
中考专题复习之二
分类讨论思想
余金耀
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浙202江0/9/21省衢州华茂外.国语学校 余金耀2
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
A
B
C
A
65° 65° 50°
BA C
110°
35°
35°
B
80°
20°
80°
50° 50°
A 2020/9/21
BA
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B
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3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C
在O上，且∠AOC=30度，点P是直线AB上的一个动点（与点O
不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么
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分类讨论思想
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨 论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧， 做到举一反三，触类旁通。
分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、 有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系 和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类， 如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几 何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶 角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
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分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结 果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。 分类后，对每个类进行研究，使问题在各种 不同的情况下，分别得到各种结论，这就是 讨论。
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一.与概念有关的分类
1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
-5=-3k+b
-5=6k+b
-2=6k+b
-2=-3k+b
解析式为
Y=
1 3
x-4,
或 y=-
1 3
x-3
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值
1 x. 2
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴180－x=x+30,
B
O
解得x=100 即∠OCP=100度
Q C AP
（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,
∴∠QPO=
1 2
∠OQC=
1 2
x,
又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+
位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的
度数。
C
B
A
OP
解：∵OQ=OC，Q OQ=OP
∴∠OQC=∠OCQ，
∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x度 , 则有：
（1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x,
1
1
∴∠QPO2 =（180－∠OQ2 P）=（180－x)
与交点坐标。
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交13 点为（- ，0）；
当a不为0时,为二次函数y=ax12+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0.
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解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ ，0）
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二.图形位置的分类
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如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个?
始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒
表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积； D
C
Q
提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、
A
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
P
B
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解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）
x12 ,
得到x=20 即∠OCP=20度
Q P
B
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C
O
A
Hale Waihona Puke Baidu16
4。在半径为1的圆O中，弦AB、AC3 的长2 分别是 ，
则∠BAC的度数是
。
C B
A
5。△ABC是半径为2cm的圆的
A
C
内接三角3 形，
若BC=2 cm,则角A的度数
是
。
B
C
B
C
6。在Ｒｔ△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4。若以AＣ为圆心，
Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
A
A
B
C
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B
C
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B
C
A
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7..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个？
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三.与相似三角形有关的分类
8。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边
从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开
Ｄ
Ｈ
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150°
Ｏ
ＣＥ
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Ｆa
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在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 110°
B
20°
50° C
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（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110°
C
20°
20°
B
20°
50° C
A
B 2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
C
C
20° 20°