2018上海高考数学试题

2018上海高考数学试题
一、填空题(第1~6题每题4分，第7~12题每题5分) 1.行列式
5
214的值为________.
2.双曲线14
22
=-y x 的渐近线方程为___________.
3.在()7
1x +的二项展开式中，2
x 项的系数为__________（结果用数值表示）
4.设常数R a ∈，函数()()a x x f +=2log ，若函数()x f 的反函数的图像经过点()1,3，则_______=a .
5.已知复数z 满足()i z i 711-=+(i 是虚数单位)，则______=z
6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若03=a ，1476=+a a ，则________7=S .
7.已知⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
---∈3,2,1,21,21,1,2a ，若幂函数()a x x f =为奇函数，且在()+∞,0上递减，则_____=a .
8.在平面直角坐标系中，已知点()0,1-A 、()0,2B ，F E 、是y 2=，则BF AE ⋅的最小值为_________.
9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________(结果用最简分数表示)
10.设等比数列{}n a 的通项公式为()
*-∈=N n q
a n n 1
，前n 项和为n S ，若21
lim 1
=+∞→n n n a S ，则_____=q .
11.已知常数0>a ，函数()ax x f x x +=22的图像经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛51,56,q Q p P 、，若pq q
p 362
=+，则_____=a .
12.已知常数2121y y x x 、、、满足：21
,1,121212
2222121=+=+=+y y x x y x y x ，则2111-+y x +2
122-+y x 的
最大值为___________
二、选择题(每题5分)
13.设P 是椭圆13
52
2=+y x 上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) .A 22 .B 32 .C 52 .D 24
14.已知R a ∈，则“1>a ”是“
11
<a
”的 ( ) .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件
15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马个数是 ( ) .A 4 .B 8 .C 12 .D 16
16.设D 是含数1的有限实数集，()x f 是定义在D 上的函数，若()x f 的图像绕原点逆时针旋转6
π
后与原图像重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是 ( )
.A 3 .B
23 .C 3
3 .D 0
17.(本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分) 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. (1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
(2)设OB OA PO 、,4=是底面半径，且
90=∠AOB ，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成角的大小.
18.设常数R a ∈，函数()x x a x f 2
cos 22sin +=.
(1)若()x f 为偶函数，求a 的值； (2)若134+=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，求方程()21-=x f 在区间[]ππ,-上的解.
19.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中()1000%<<x x 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间
为：()⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-+≤<=10030901800
230030x x x x x f (单位：分钟) 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()x g 的表达式，讨论()x g 的单调性，并说明其实际意义.
20.设常数2>t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2F ，直线t x l =:，曲线x y 8:2
=Γ(t x ≤≤0，
0≥y )，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，Q P 、分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.
(1)用t 表示点B 到点F 的距离；
(2)设3=t ，2=FQ ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；
(3)设8=t ，是否存在以FQ FP 、为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.
21.给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*
∈N n ，都有1≤-n n a b ，则称{}n b 与{}n a “接近”.
(1)设{}n a 是首项为1，公比为2
1的等比数列，*
+∈+=N n a b n n ,11，判断数列{}n b 是否与{}n a “接近”，并说明理由；
(2)设数列{}n a 前四项为：8,4,2,14321====a a a a ，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合
{}4,3,2,1,|===i b x x M i ，求M 中元素的个数m ；
(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在12b b -，23b b -， ，
200201b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.
参考答案：
1.18；
2.2
x y ±=； 3.21，2127227=⇒C x C ；4.7，()()()731log 311321
=⇒=+⇒=⇒=-a a f f ； 5.5，5171171=+-=⇒+-=
i
i z i i
z ；6.14，147221443474==⇒=⇒=⇒=+a S a d d d ；7.1-； 8.3-【解析】()(),2,,0,0=-n m n F m E 、mn BF AE +-=⋅2，1202
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-≤-⇒<n m mn mn ，
3-≥⋅BF AE
9.【解析】5+3+1，5+2+2，5
1235==
C P 10.【解析】()321
112111lim lim 1
=⇒=--⇒=--=∞→+∞→q q q q q a S n n n n n n .
11.【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+512256
22aq
ap q q
p p 取倒数化简得：⇒=⇒==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=⋅+--36362626122
2a pq pq a aq ap q p q p
6=a ；
12.【解析】设()()AOB AOB y x B y x A ∆⇒=
∠21
cos ,,,,2211是等边三角形，211
1-+y x +2
122-+y x 为AB 中点H 到直线01=-+y x 的2倍，如图，
2
1
11-+y x +
2
1
22-+y x ()232+=+≤OH OP
13.C ；14.A ；15.D 【解析】以1AA 为底面矩形的一边，则矩形的另一条与1AA 平行的棱为邻棱或间棱，则以1AA 为底面矩形的一边更有4种：11111111,,,A AEE A ACC A AFF A ABB ；每一种底面矩形必须选择与其平行的面上的四个顶点之一，如底面矩形选择11A ABB 则另一个顶点为,,,,11E E D D 所以共有1644=⨯种.
16..B 【解析】若()1f 3=，点A 绕原点逆时针旋转
6π得到点1A ，D 中含有⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+63
cos 2ππ
k ，会得到
()31±=f 不能构成函数，CD 道理同A ，
若()1f 23=，D 中含有⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⋅+6cos 27παk ，其中23tan =α，符合题意.
17.【解析】(1)322422=-=h ，ππ3
3
832431=⋅⋅=
V (2)取OA 中点C ，17tan 17,,,1,//=∠⇒=⊥⇒⊥=PMC PC PC MC POA MC MC OB MC ，
17arctan =∠PMC ，异面直线PM 与OB 所成角的大小为17arctan .
18.【解析】(1)若()x f 为偶函数，0=a ；
(2)134+=⎪⎭⎫
⎝⎛πf ()21162sin 2,3131-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⇒+=+⇒πx x f a a ；2262sin -
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πx ，⇒--=+⇒⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈+
47,45,4,4362613,61162ππππππππ
x x 2419,2413,245,2411ππππ--=x . 19.【解析】(1)由()4510040901800
240>>⇒>-+
⇒>x x
x x f ； (2)()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-≤<-=-+=10030,58101350
1300,10
14040%1%2x x x x x x x f x x g ，当()5.32,0∈x ，()x g 单调递减，
当()100,5.32∈x ，()x g 单调递增.当上班族S 超过32.5%的人自驾时，会造成交通拥堵，人均通勤时间增加.
20.(1)准线2-=x ，由抛物线定义，2+=t BF ； (2)()
3,3Q ，OQ 的中点坐标⇒-=⇒⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛323,
23PF k 直线()23:--=x y PF ，联立⇒=x y 82
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛334,32P ，637323321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∆AQP S . (3)设()()()1211211214163,0,6,280,8,,8y
y m m y y FQ FP m Q y y P -=⇒=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=⋅⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛， ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⇒=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-++-⇒=+12121121121448,8484163,628y y y E FE y y y y FE FQ FP ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⇒=⇒+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+554,52516484482
1212
121P y y y y .
21.【解析】(1)∴≤-=-⇒+==
-,12
1
1,121,211n n n n n n n a b b a 数列{}n b 是否与{}n a “接近”. (2)43212b b b b <<==，或4321,,,b b b b 均不相等，m 4,3= (3)2->d .。