行程问题(相遇-追及-火车)
第1讲相遇问题
我们学过简单的相遇问题，在解答时，我们要注意考虑两个物体出发的地点、方向、运动的过程以及运动结果的不同状况。方向不同，出发地点不同，时间不同，就会出现不同的运动结果。
相遇问题的基本数量关系式是：速度和×相遇时间=路程
解答相遇问题要认真分析数量关系，灵活运用数量关系式，在时间、速度、路程三者之间确定好以哪个量为主来考虑问题，对于较复杂的行程问题可以把问题转化成典型的相遇问题，必要时可画线段图帮助分析数量关系，正确解决问题。例1. 甲、乙两列火车同时从A、B两地相对出发，甲车每小时行80千米，乙车每小时行120千米，经过2小时两车相遇。A、B两地相距多少千米?
例2.甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，甲车从A地、乙车从B地同时出发，相向而行，相遇后3小时，甲车到达B地。求A、B两地的距离。
例3.甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行。甲、乙的速度分别是每小时走6千米与4千米。甲带了一条狗，狗每小时走10千米。狗与甲同时出发，碰到乙的时候立即掉转头往甲这边走，碰到甲时，又掉转头往乙那边走。这样往返来回走，直到甲、乙两人相遇为止。问这只狗一共是走了多少千米？
例4.甲、乙两人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米，两人相遇时距中点3千米。甲、乙两地相距多少千米?
例5. 姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米．妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇．这时妹妹走了几分钟？
练习
1、甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？
2、甲、乙两辆列车同时从两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行55千米，相遇时，甲车比乙车多行45千米，求两地相距多少千米?
3、小明回家，距家门300米，妹妹和狗一齐向他奔来，小明和妹妹的速度都是每分钟50米，小狗的速度是每分钟200米，小狗遇到小明后返回，这样以同样速度往返于小明和妹妹之间，当小明和妹妹相距10米，小狗一共跑了多少米?
华骑自行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？
5、兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180米处与妹妹相遇，他们家离学校有多远?
检测
1、两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇．两个车站之间的铁路长多少千米？
2、甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行．已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行32千米，相遇时甲车比乙车多行52千米．求甲乙两地相距多少千米？
3、王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米．如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去．这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？
华骑自行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？
5、甲、乙两人同时同地同向而行，甲骑自行车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米。甲行驶了120千米时，转身返回，与乙相遇时，两人各行了多少千米?
作业
1、甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇．甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？
2、甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。问：东、西两村相距多少千米?
3、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行．一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络．甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米．两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
4、甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？
5、甲、乙两辆汽车从相距240千米的两地同时相向出发。因遇雨，甲车速度比原来减少了15千米，乙车速度比原来减少10千米。出发后经过3小时相遇，己知甲车比乙车原来快15千米。甲、乙两车原来的速度各是多少?
第2讲追及问题
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过一些时间就能追上他。这就产生了“追及问题”。追及问题也是行程问题的一种，是指两个物体同时同向行走，前面的走得慢，后面的走得快，走得快的追上走得慢的。
追及问题的基本关系式：追及时间=追及路程÷速度差。在解题时，同学们要认真读题，明确运动过程，理解数量关系，把复杂问题转化成典型的追及问题，然后利用基本数量关京正确解答。
例1、解放战争的一次战役中，根据我侦察员报告，敌军在我南面6千米的某地正以每小时5．5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。问：从开始追击到全歼敌军，共用了多少时间?
例2、甲以每小时4千米的速度步行去乙地，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙的速度是每小时12千米，乙几小时可以追上甲？
例3、一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米，开始计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车出故障修车2小时。因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的？
例4、环形跑道周长400米，甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲速度是400米/分，乙速度是375米/分．多少分后甲乙再次相遇？
例5、甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙同在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相遇向而行。甲和乙相遇分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。
练习
1、甲以每小时4千米的速度步行去乙地，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙的速度是每小时12千米，乙几小时可以追上甲？
2、中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车由同一个车站开出。已知中巴车先开出，30分钟后小轿车沿着中巴车的路线开出，问小轿车经过多长时间能追上中巴车?
3、小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分200米的速度上班，正好准时到厂。有一天，他出发几分钟后，因遇熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米。小王是在离工厂多远处遇到熟人的？
4、爸爸和明明同时从同一地点出发，沿相同方向在环形跑道上跑步。爸爸每分钟跑150米，明明每分钟跑120米。如果跑道全长900米，至少经过几分钟爸爸从明明身后追上明明？
5、甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。甲、乙两人在B地，丙在A地与甲、乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又过了2分钟和甲相遇。求A、B两地的路程。
1、一架敌机侵犯我领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机扭转机头以每分15千米的速度逃跑，我机以每分22千米的速度追击，当我机追至敌机1千米时与敌机激战，只用了半分钟就将敌机击落，敌机从扭头逃跑到被击落共用了多少分?
2、学校离游泳馆1200米，小强和小华由学校到游泳馆，小强每分钟行100米，小华每分钟行80米，当小华走2分钟后，小强才出发，几分钟后小强追上小华？
3、一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时能到达。这辆汽车行驶一段时间后，因排队加油用去了15分钟。为了能在8小时内到达乙地，加油后每小时必须多行7.2千米。加油站离乙地多少千米？
4、一条环形跑道长400米，小明每分钟跑260米，小亮每分钟跑210米，两人同时同向出发，经过多少分钟两人相遇？
5、客车、货车、小轿车的速度分别是每小时60千米、50千米、70千米，客车货车在A地，小轿车在B地，三车同时出发，小轿车与客、货车相向而行，小轿车和客车相遇1小时后和货车相遇。求A、B两地间的距离。
1、甲乙两车从相距240千米的两地同时同向而行，甲车在前，每小时行驶67千米；乙车在后，每小时行驶82千米，乙车追上甲车需要几小时？
2、兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分跑120米；哥哥在后，每分跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟？
3、汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后到达乙地。汽车出发1小时后原路返回取东西，然后立即从甲地出发，为了能在原来时间内到达乙地，汽车必须以每小时多少千米的速度从甲地驶向乙地？
4、在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米。两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？
5、A、B两地相距1800米，甲、乙二人从A地出发，丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行，已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米和100米。当甲和乙相遇时，甲落后于乙几米？
第3讲火车过桥
在行程问题中所涉及的运动物体(人或者车)通常是不考虑它本身的长度。可是当考虑火车的行程问题时，一列火车有百米以上的长度，这时火车的长度是不能忽略不计的。
1．对于追及，请看图(1)、(2)：有两列火车A与B，A车的速度比B
车的速度快。图(1)表示A已经追上B，图(2)表示A已经超过B。从
“追上”到“超过”就是一个“追及”的过程。比较两个火车头，
“追上”时A落后B的车身长，“超过”时A领先A的车身长，也
就是从“追上”到“超过”，A的车头比B的车头多走的路程是：B的车身长+A的车身长。
2．对于“相遇”，请看图(3)、(4)：图(3)叫“相遇”，图
(4)叫“完全离开”。类似于前面的讨论。从“相遇”到“完全离
开”所需的时间是：(A的车身长+B的车身长)÷（A的车速+B的车
速)。
例1.一列火车长150米，每秒行20米。全车通过一座450米长的桥，需要多少时间?
例2.一座大桥长350米，一列火车以每秒20米的速度通过这座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用去24秒。求这列火车长多少米?
例3.某人沿着铁路边的便道步行，一列货车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，货车长105米，每小时的速度为28．8千米，求步行人每小时行多少千米?
例4. 一列快车的车身长160米，车速是每秒20米，一列慢车长120米，车速是每秒15米，两车在双轨轨道上相向行驶，从车头相遇到车尾相离要用多少秒?
例5.一列客车每分钟行1000米，一列货车每分钟行750米，货车比客车的车身长135米。两车在平行的轨道上同向行驶，当客车从后面超过货车，两车交叉的时间为1分30秒。求货车与客车的车身长各是多少米?
练习
1、一列火车长120米，每秒行20米。经过300米长的桥梁，需要用多少秒？
2、长130米的火车以每秒16米的速度穿越一条隧道。火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开)用了48秒。这个隧道长多少米?
3、小张以每秒3米的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长147米的火车，这列火车的行驶速度是每秒18米，问火车经过小张身旁的时间是多少秒?
4、在有上、下行的轨道上，两列火车相对开来，甲列车的车身长235米，每秒行驶
25米，乙列车的车身长215米，每秒行驶20米。求这两列火车从车头相遇到车昆离开需要多少秒钟?
5、现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车．快车每秒行18米，慢车每秒行10米．如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，求两列火车的车身长。
检测
1、长150米的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道。火车穿越隧道(进入隧道直至完全离开)要多少时间?
2、小芳站在铁路边，一列火车从她身边开过用了2分钟．已知这列火车长360米，以同样的速度通过一座大桥，用了6分钟，这座大桥长多少米？
3、某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒，客车长105米，每小时速度为28.8千米，求步行人每小时行多少千米？
4、两列火车，一列长120米，每秒行20米；另一列长160米，每秒行15米，两车相向而行，从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟？
5、慢车车身长125米，车速17米/秒；快车车身长140米，车速22米/秒．慢车在前面行驶，快车在后面追上到完全超过需要多少时间？
作业
1、一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，行驶的速度是每分钟400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟?
2、某小学三、四年级学生528人排成四路纵队去看电影，队伍行进的速度是每分钟25米，前后两人都相距1米。现在队伍要走过一座桥，整个队伍从上桥到离桥共需16分钟。这座桥长多少米?
3、一人以每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的客车对面开来，从他身边通过用了8秒钟，列车的速度是多少米/秒？
4、一列火车长700米，从路边的一棵大树旁通过用了1.75分钟。以同样的速度通过一座大桥，从车头上桥到车尾离开桥共用4分钟。这座大桥长多少米?
5、一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过310米的隧道；需要30秒。求这列火车的速度和车身的长度?
小学奥数—多次相遇和追及问题
3-1-4 多次相遇和追及问题 教学目标 1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题 知识精讲 板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复 =? 路程速度时间 杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 【例 1】甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙 300 3.5每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 4 【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【巩固】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米? 【例 2】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？
板块二、运用倍比关系解多次相遇问题 【例 3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好 是8千米，这时是几点几分？ 【例 4】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？ 【例 5】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆 形场地的周长． 【巩固】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【巩固】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。 乙
安徽省合肥市小学数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题
安徽省合肥市小学数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、 (共36题；共150分) 1. （5分） (2019六下·竞赛) 李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？ 2. （5分） (2019六下·竞赛) 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？ 3. （5分） (2019六下·竞赛) 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？ 4. （5分） (2019六下·竞赛) 如图所示，大圈是400米跑道，由到的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到点便沿直线跑。父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？ 5. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇．求东西两村的距离． 6. （5分） (2019六下·竞赛) 甲从A地出发前往B地，1小时后，乙也从A地出发前往B地，又过1小时，丙从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，乙和丙相遇在D地．已知乙和丙的速度相同，丙的速度是甲的2倍，C、D两地之间的距离是50千米．求乙出发1小时后距B地多少千米。
安徽省滁州市小学数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题
安徽省滁州市小学数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、 (共36题；共150分) 1. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地25千米处相遇．求、两地间的距离． 2. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 3. （5分） (2019六下·竞赛) 如图，、是一条道路的两端点，亮亮在点，明明在点，两人同时出发，相向而行．他们在离点米的点第一次相遇．亮亮到达点后返回点，明明到达点后返回点，两人在离点米的点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求、间的距离．要求写出关键的推理过程． 4. （5分） (2019六下·竞赛) 张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时? 5. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？ 6. （5分）(2020·广州) 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地68千米处相遇，两车各自到达对方车站后，立即返回原地，途中又在距地52千米处相遇，求两次相遇地点之间的距离。 7. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相
解析行程问题—“多次相遇”
解析行程问题—“多次相遇” 行程问题是行测数学运算中必考题型。同时也是相对较难解决的一种题型。而路程=速度×时间是行程问题中最基本公式。这个基本公式中暗含着的正反比关系也是考生在复习过程中需要重点注意的地方。正因如此，比例思想是我们解决行程问题的常用方法。其次，数形结合也是不可或缺的工具。即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间三者之间的关系，进而解题。 行程问题实际上还包含很多小的模块，比如：简单的相遇和追及、多次相遇问题、流水行船、时钟问题、牛吃草问题等等。在此，中公教育专家宋丽娜将对于比较难以掌握的多次相遇问题详细的阐述下其中蕴含的原理、公式及考题。 (1)最基本的多次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，在第一次相遇后没停，继续向前走到打对方终点后返回再次相遇，如此循环往返的过程是多次相遇问题。 基本模型如下：从出发开始到 等等依次类推到第n次相遇。 在此运动过程中，基本规律如下： (1)从出发开始，到第n次相遇：每一次相遇会比前一次夺走2个全程;即：路程和具有的特点是1：2：2：2：……，含义是第一次走1个全程，第二次开始都增加2个全程; (2)由于二者在运动过程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，若设第一次相遇的时间为t，则第一次到第二次所用时间为2t，依次类推，每次相遇所用的时间关系也为1：2;2：2……，含义是第一次相遇用时间t，第二次开始相遇时间都会增加2t的时间; (3)各自所走路程也满足这个关系。设第一次相遇甲走路程为S0，则从第二次相遇开始甲走的路程会增加2S0，即关系式仍为1：2：2：2……。
奥数行程多次相遇和追及问题
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 二、多次相遇与全程的关系 1.两地相向出发： 第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………，………………； 第N 次相遇，共走2N-1个全程； 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。 2.同地同向出发： 第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………，………………； 第N 次相遇，共走2N 个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键几个全程 多人相遇追及的解题关键路程差 知识框架 多次相遇与追及问题
三、解多次相遇问题的工具——柳卡 柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 例题精讲 【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？ 【巩固】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【例 3】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？ 【例 4】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？ 【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
多次相遇和追及问题详解
1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题 板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 【例 1】 （难度等级 ※）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每 秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000 ?=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了3.5300014003.54 ?=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点． 【巩固】 （难度等级 ※）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是 每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【解析】 17 【巩固】 （难度等级 ※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次知识精讲 教学目标 多次相遇和追及问题
相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程 是多少米? 【解析】176 二、运用倍比关系解多次相遇问题 【例2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的 时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？ 【解析】画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4 ＋8＝12（千米）. 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小 明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16 （千米）. 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。 【例3】（难度等级※※）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地 间的距离是多少千米？ 【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：
多人多次相遇与追及
多人多次相遇与追及
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
多人多次相遇与追及 教师:_＿＿_＿__＿__ 科目; ＿_＿＿__＿___ 学生：＿____＿__ 上课时间:＿＿＿__＿__ 【专题知识点概述】 本讲包含两个知识点,一是多次相遇追及问题，即两个对象在固定的长度上不断地往返运动,他们之间相遇追及问题;二是多人相遇追及问题,即在同一直线上，３个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 【授课批注】 多人多次是行程中重点,而画图是多人多次的重点，划出一个好的示意图，就等于问题 已经解决三分之二了,剩下的三分之一才是解题技巧。所以如何画图，如何画好图是行 程问题的关键，需要反复练习，熟能生巧，做题才能得心应手,发挥自如。 一、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发:第1次相遇，共走1个全程; 第2次相遇,共走3个全程; 第3次相遇,共走５个全程; 。。。。。。。。。。，。。。。。。。。。。。； 第N次相遇,共走2N-1个全程； 【授课批注】 除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米。 ２. 同地同向出发:第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇,共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程; 。。。。。。。。。。, 。。。。。。。。。。。； 第N次相遇，共走2N个全程; 二、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差 【重点难点解析】 1.多人多次相遇追及的画图 2.多次多次相遇追及的解题关键 【竞赛考点挖掘】 1.近两年来杯赛的热门考点 2.常常与数论结合出题 【习题精讲】 【例１】(难度级别※※） 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、Ｂ两地同时出发，相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地３千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离． 【例2】（难度级别※※) Ａ,B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间,都是到达一地之后立即返回,乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 【例３】（难度级别※※） 甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走６０米，乙每分钟走６7.5米，丙每分钟走７5米,甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
多次相遇和追及问题详解
多次相遇和追及问题 教学目标 1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题 知识精讲 板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 例1】（难度等级※）甲、乙两名同学在周长为300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10 倍，为300 10 3000米，因为甲的速度为每秒钟跑 3.5 米，乙的速度为每秒钟跑 4 米，所以这段时间内甲共行了 3.5 3000 3.5 1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200 米，可知甲还需行 3.5 4 300 200 100米才能回到出发点． 巩固】（难度等级※）甲乙两人在相距90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 3 米，乙的速度是每秒 2 米．如果他们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次？ 解析】17 巩固】（难度等级※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程 是多少米?
解析】176 、运用倍比关系解多次相遇问题 例2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8 千米，这时是几点几分？ 解析】画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8 ＝12（千米） 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12 ÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小 明骑8千米，爸爸可以骑行8 ×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16 （千米）. 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16 千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8 点32 分。 例3】（难度等级※※）甲、乙两车分别同时从A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地95 千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地25 千米处相遇．求A、B 两地间的距离是多少千米？ 解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）： A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个
典型多次相遇追击问题解析
典型多次相遇追击问题解析 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。A、B两地相距多远？ 【分析】我们同样还是画出示意图 37-2（图 37-2中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）： 设 AB两地的距离为“1”。由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时 通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了3个全程（AB+BM+BA+AM）； 第三次相遇时，它们一共行完了5个全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。 下面，我们只要找出与“40千米”相对应的分率（也就是MN占全程的几分之几）。 【解】
上午8点8分，小明骑自行车从家里出发， 8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。问这时是几点几分？ 【分析】先画出示意图图37-1如下（图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二次追上小明的地方）。从图37-1上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点到B点，行完（8-4=）4千米；爸爸先从A点到家，再从家到B 点，行完（8+4=）12千米。可见，爸爸的速度是小明的（12÷4=）3倍。从而，行完同样多的路程（比如从家到A点），小明所用的时间就是爸爸的3倍。 由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。这样可以算出，小明从家到A所用的时间为 8÷（3-1）×3=12（分） 【解】8÷（3-1）×3×X2=24（分） 2点整以后，经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直？ 【分析】分针的速度比时针快，2点整时，分针在时针后面2格，要使分针与时针第一次垂直，分针应在时针前面3（=12÷4）格。也就是说，这段时间内分针应比时针多走5格。而分针每小时走12格，时针每小时走1格。 后，时针才能与分针第一次垂直。 每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。 时针与分针第三次垂直，分针应比时针多跑（5+12=）17格。所以要经
河北省衡水市数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题
河北省衡水市数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、 (共36题；共150分) 1. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？ 2. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地25千米处相遇．求、两地间的距离． 3. （5分） (2019六下·竞赛) 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米? 4. （5分） (2019六下·竞赛) 一列快车全长米，每秒行米；一列慢车全长米，每秒行米． （1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？ （2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？ 5. （5分） (2019六下·竞赛) 在公路上，汽车、、分别以，，的速度匀速行驶，若汽车从甲站开往乙站的同时，汽车、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车在与汽车相遇后的两小时又与汽车相遇，求甲、乙两站相距多少？ 6. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是，湖的周长是600米，求丙的速度． 7. （5分） (2019六下·竞赛) 李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？
奥数 行程 多次相遇和追及问题
奥数行程多次相遇和追 及问题 The document was prepared on January 2, 2021
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 二、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发： 第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N-1个全程； 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。 2. 同地同向出发： 第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N 个全程； 知识框架 多次相遇与追及问题
3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键几个全程 多人相遇追及的解题关键路程差 三、解多次相遇问题的工具——柳卡 柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 例题精讲 【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能 回到出发点 【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次 【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的 速度是乙车的多少倍 【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人 的速度各是多少 【例 3】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周 前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这 个圆的周长是多少米
多次相遇和追及问题
1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题 板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 【例 1】 （难度等级 ※）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每 秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000 ?=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5 300014003.54 ? =+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点． 【巩固】 （难度等级 ※）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是 每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【解析】 17 一共六百秒，第一次相遇是两人总共跑一个90米，以后是180米相遇次。相对速度每秒五米。第一次相遇 知识精讲 教学目标 3-1-3多次相遇和追及问题
是18秒。180米相遇需要36秒。此后是582秒总共有16次。所以相遇17次。 【解析】 【巩固】（难度等级※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程 是多少米? 【解析】176 甲乙每分钟速度和:400×5÷8=250米 每分钟,甲比乙多:0.1×60=6米 甲每分钟:(250+6)÷2=128米 128×8÷400=2 (224) 相遇点与A最短路程为400-224=176米 【解析】 二、运用倍比关系解多次相遇问题 【例2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的 时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？ 【解析】画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4 ＋8＝12（千米）. 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小 明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16 （千米）.
行程问题(相遇、追及、多次相遇、电车)
相遇追及（多次）、电车问题 一、知识地图 简单相遇追及 匀速直线行程多次相遇追及 （包括火车过桥） 发车间隔问题 多次相遇追及环形线路行程 （包括钟表问题） 二、基础知识 在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。 （一）典型的相遇和追及 路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到所有行程问题是围绕“? 的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：路程和速度和相遇时间； =? 路程差速度差追及时间； =? 这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。 （二）多次相遇追及 通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律 这部分内容涉及以下几个方面： 1求相遇次数 2求相遇地点 3由相遇地点求全程 “线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。 举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意
图”来表示。 折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。折线图只能直观的表示出相遇的次数和大致时间和地点，具体的时间和地点还必须通过相遇和追及问题的公式进行计算。 通过计算，我们能得出：甲、乙第一次相遇的时间为6÷（6+4）=0.6（小时），即36分钟。相遇点距离B地0.6×4=2.4（千米），从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙行程的路程总和等于两个AB长，所以两次相遇的时间间隔为72分钟。第二次相遇发生的时间为108分钟。 事实上，我们从折线示意图就能看出来，任意两次相邻的相遇事件的时间间隔都是72分钟，而每72分钟，甲乙两人运动的总路程都等于2个AB长，所以我们能得到如下推论：如果甲、乙是从线段两端出发，那么相邻的两次相遇事件的时间间隔都相等，并且第n 次相遇时，他俩行走路程和相当于（2n-1）个线段总长。同样的相邻两次的追及事件（速度快的追上速度慢的）发生的时间间隔都相等。第n次追及时，他俩行走路程差相当于（2n-1）个线段总长。 注意：如果甲、乙在线段的端点碰面，既可以算作相遇事件也可以算作追及事件，例如例子当中的E点，既是甲、乙的第三次相遇，也是甲第一次从后面追上乙。 （三）发车间隔问题 有关公共汽车与行人的问题，主要涉及到这几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔、相遇（追及）事件时间间隔。 这些貌似不相关的数量之间隐含着很多数量关系： 1.我们首先分析一下公共汽车的发车过程：从一辆汽车发车到下一辆汽车发车，经 过一个“汽车发车时间间隔”，所以当下一辆车发车的时候，前一辆车已经开走了 “一个汽车发车时间间隔”的时间，这个时间内前一辆车共行驶了“一个汽车发 车时间间隔”乘以“汽车速度”，之后两辆车之间的距离保持不变，即距离保持为 “相邻汽车间距”，所以我们得到第一条公式： 2.与公共汽车发车过程类似的，如果行人和汽车相向（反向）行驶，那么从行人遇 到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系：
五年级奥数多人多次相遇和追及问题 (C级 )
一、多人相遇追及问题 多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： =?路程和速度和相遇时间； =?路程差速度差追及时间； 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 二、多次相遇追及问题 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发： 第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N-1个全程； 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。 2. 同地同向出发： 第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N 个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键 知识框架 多人多次相遇和追及问题
多次相遇追及的解题关键几个全程 多人相遇追及的解题关键路程差 三、解多次相遇问题的工具——柳卡 柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 例题精讲 【例 1】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。如果甲、乙从A，丙从B地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。 【巩固】A、B两地相距336千米，有甲、乙、丙3人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点？
六年级数学多次相遇和追及问题含答案
多次相遇与追及问题 知识框架 一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“=? 路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 二、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发： 第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………，………………； 第N次相遇，共走2N-1个全程； 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。 2. 同地同向出发： 第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………，………………； 第N次相遇，共走2N个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键几个全程 多人相遇追及的解题关键路程差 三、解多次相遇问题的工具——柳卡 柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲 【例 1】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并 且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？ 【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】 2倍。解：如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的 路程相等，即2AC CB =,推知23AC AB =.第一次相遇时，甲走了43AB BC AB +=,乙走了23 AC AB =,所以甲车速度是乙车的2倍。 【答案】2倍 【巩固】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／ 时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】 甲、乙两人的速度和第一次为60÷6=10（千米／时），第二次为12（千米/时），故第二次出发后 5时相遇。设甲第一次的速度为x 千米／时，由两次相遇的地点相距1千米，有6x －5（x ＋1）＝±1，解得x ＝6或x ＝4，即甲、乙二人的速度分别为6千米／时和4千米／时。 【答案】甲、乙二人的速度分别为6千米／时和4千米／时 【例 2】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运 动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32 圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相
(完整版)行程类多人多次相遇追及42
行程类之多人多次相遇与追及 【教学目标】 ?学习更复杂的三个对象之间的行程问题 ?学会画线路图帮助理解题意 【知识预备】 （1）相遇问题中，路程、速度与时间三个量的关系式。 相遇时间= __________________________ 路程和= __________________________ 速度和= __________________________ （2）追及问题中，路程、速度与时间三个量的关系式。 追及时间= __________________________ 路程差= __________________________ 速度差= __________________________ 【典型例一】 有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走40米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米。A、B两地相距2700米。甲从A地，乙、丙从B地同时出发相向而行。请问，甲在与乙相遇后多少分钟又与丙相遇？ [画行程图]
有冰冰、雪雪、霜霜三个人，冰冰每分钟走4米，雪雪每分钟走5米，霜霜每分钟走6米。A、B两地相距990米。雪雪从A地，冰冰、霜霜从B地，同时出发相向而行。请问雪雪与霜霜相遇后多少分钟又与冰冰相遇？ 【典型例二】 丁丁、冬冬两人各自开车从A地出发，当当则从B地同时出发，相向而行。丁丁的速度为每小时70千米，当当的速度为每小时50千米。出发3小时后，丁丁与当当相遇。又过了1小时，冬冬也与当当相遇。请问，冬冬的车速是多少？ [画行程图] 【练一练】 小春和小秋两人从A地出发，小夏在从B地同时出发，相向而行。小春的速度为每小时60千米，小夏的速度为每小时40千米。出发3小时后，小春与小夏相遇。又过了1小时，小秋也与小夏相遇。请问小秋的速度是多少？
多次相遇、追及问题及详解复习课程
多次相遇、追及问题 及详解
精品资料 行程问题：多次相遇、追及问题 1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度 甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是25千米/时，乙车的速度是15千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。求A，B两地的距离？ 【分析】： 多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑 甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次相遇两车共行了一个全程，其中乙行了。第三次两车共行了5个全程，乙行了5×= 个全程，第四次相遇两车共行了7个全程，乙行了7×= 个全程，两次路程差是个全程，所以AB两地相距200千米 2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度 甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A﹑B两地相距多少千米？ 【分析】： 第一次相遇，甲乙的路程和是一个全程，甲行的路程是全程的，乙行了全程的，第二次相遇，甲乙的路程和是3个全程，此时甲行了 ×3= 个全程，两次相遇的距离是个全程，即20千米，所以AB的距离是20÷ =50千米。 3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度 A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？ 【分析】： 在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100-80=20（分钟）内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180÷20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80×（1+9）=800（分钟），乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟，所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟. 4、五年级行程问题：多次相遇、追及问题-----难度：高难度 快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留1小时后返回，快车到乙地停留2小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间？ 【分析】： 慢车相遇后经过12.5-5=7.5小时到甲地，13.5小时后从甲地返回。所以甲乙的速度比是7.5：5=3：2。因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程，第二次相遇时共行三个单程，所以若两车都不停留，则第一次相遇到第二次相遇需10小时。现在慢车停留1时，快车停留2小时，所以第一次相遇后11小时两车间的距离还需快车再行1小时。这段距离两车需行3÷（3+2）=0.6小时。从第一次相遇到第二次相遇共需11.6小时。 5、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度 A、B两地间的距离是950米.甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼.甲步行每分走40米,乙跑步每分行150米,40分后停止运动.甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近,距离是多少米？ 【分析】： 方法一：不用比例 甲40分钟行了40×40=1600米，即甲还没有返回到A地，第一次相遇，甲乙行了两个全程，行了950×2÷（150+40）=10分，甲距离B地950-10×40=550米，第二次相遇，乙比甲多行了2个全程，距B地950-950×2÷（150-40）×40≈200米，第三次相遇，甲乙共行了4个全程，距B地950-950×4÷（150+40）×40=150米，第四次相遇，乙比甲多行了4个全程，甲行了950×4÷（159-40）×40=1381.8米，距B地1381.8-950=431.8米。所以第三次相遇近。 方法二：用比例，把全程分成19份，那么每次相遇的点占全程的积分之几就一目了然了。（略） 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2