北京化工大学系统辨识

Ｒw(τ)=σ2δτ ， τ=0,±1, ±2,……， 其中，δτ= 1，τ=0
0，τ≠0 称这种随机序列为白噪声序列（均值一般为 零）．
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(3) Generation of white noise sequences 如何在计算机上产生统计上比较理想的各种不 同分布的白噪声序列.
-- (0,1)均匀分布随机数: 乘同余数法, 混同余数法
27
5
1 N
N
[u(k)
k=1
−
−
u][u(k
+τ
)
−
−
u]
=
Φuu
(τ)
且
⎡Φ uu (0)...... Φ uu (n − 1)⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣Φ uu (n − 1)...... Φ uu (0)⎥⎦
为正定，则称{u(k)}为n阶持久激励信号。 10
• 线性系统可辨识的充分条件
若系统是稳定的，且输入信号是持久激励 的，则系统可辨识．
• 一般可取白噪声序列或M序列作为最优辨识 输入信号．
14
2.5 White Noise
(1) Whit为0，功率谱密度为非0常数的平稳随机过程， 或者说是由一系列不相关的随机变量组成的一 种理想化的随机过程。 白噪声过程没有“记忆性”，也就是说，t时刻的 数值与t时刻以前的过去值无关，也不影响t时 刻以后的将来值。
Φuu(τ) a2
τ a2/N
NΔt
Φuu(τ)= a2 ， τ=0 - a2/N， τ≠0
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(4) 产生M序列的程序 (n=7) 3
SUBROUTINE QMC7(U,AM,N)
DIMENSIO N U(N),CC(7)
DO 2 I=1,7
4
CC(I)=1.0
2 CONTINUE
DO 4 I=1,N
System Identification
Chapter 2 Models and Input Signals (2)
Li Hongguang Automation Department Beijing University of Chemical Technology
2.3 Fundamentals of Stochastic Processes (1) Random Variables
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M序列是随机二进制序列（PRBS)的一种．
M序列描述： (1)周期函数
周期＝(2n-1)Δt=NΔt n称为M序列的阶，它与产生Ｍ序列的逻辑 电路有关．
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(2) 每个周期有一系列等幅正负方波组成，最 窄方波长度为Δt．
+a kΔt
-a
23
4
(3) 自相关函数是一系列的三角波，当Ｎ足够大 时，在一定范围内接近与白噪声序列的自相关函 数．
4
5
1
Covariance function 自相关函数
Rxx (k, k + τ ) = E{x(k)x(k + τ )}
自协方差函数
Cxx(k,k +τ) =E{[x(k) −μx (k)][x(k +τ) −μx (k +τ)]}
6
Stationary Stochastic Processes 平稳随机过程
8
2.4 Optimal Input Signals (1) Some key concepts about SI
• 系统可辨识性
若系统的参数能够被一致地估计出来，则认为 系统是可辨识的．
9
• 输入信号的持久激励性
若{u(k)}满足
∑ lim 1
N
−
u(k) = u
N N →∞
k =1
∑ lim
N→∞
变量取值完全出于偶然，但按一定的概率出 现。记为ζ。
1
Mean 均值：
−
N
N
∑ ∑ ξ = E[ξ] = xv P(ξ = xv ) = xvPv
v=1
v=1
Variance 方差：
N
−
∑ σ
2 ξ
=
( x v − ξ ) 2 Pv
v =1
2
(2) Stochastic Processes
随机函数Xi(k),k=1,……,m; i=1,……,n; n→∞。
S=CC(7)+CC(8)
IF(S.GT.1.0) S=0.0
DO 3 J=2,7
K=8-J
CC(K+1)=CC(K)
CONTINUE CC(1)=S U(I)=AM*(2.0*S-1.0) CONTINUE RETURN ENＤ
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Exercise 3
1 阶跃信号可以用于系统辨识的输入信号吗, 为 什么? 2. 在什么情况下工业过程中的干扰信号可以被 认为是白噪声?
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Lab work 2 编写并调试动态模型仿真程序: 模型：y(k)-1.5y(k-1)+0.7y(k-2)=
u(k-1)+0.5u(k-2)+v(k) 已知白噪声{v(k)}数据文件为DV, 数据长度 L=500 要求：(1) 产生长度为L的M序列数据文件DU
(2) 产生长度为L的模型输出数据文件DY
时间变量，在K时刻的取值Xi(k)完全出于偶然， 但按一定的概率分布，在条件相同的多次实验 中，Xi(k)呈现出多条完全不同的曲线，每条曲 线称为样本。
3
Mean 均值
N
∑ μ x ( k ) = E { x ( k )} = x i ( k ) Pi ( k ) i =1
Variance 方差
N
∑ σx2(k)=E{[x(k)−μx(k)]2}= [xi(k)−μx(k)]2Pi(k) i=1
11
2
(2) Optimal input signal design • 最优：能使估计精度最高．
可以证明，如果系统模型结构正确，辨识精 度直接依赖于输入信号的选择．
• 最优输入信号设计要求
(1) 保证系统可辨识性（输入信号具有持久激励 性） (2) 辨识精度高 (3) 充分激发系统的动态特性，使建立的模型具 有真正的代表性
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• 最优输入信号是使Fisher信息矩阵的逆 的一个标量函数达到最小
min=minΦ(M-1) 其中，M为Fisher信息矩阵 若取Φ(M-1)＝det[M-1]－－D－最优准则
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• 若系统输出数据库序列是独立同分布的高斯 随机序列，那么，D－最优输入信号是具有脉 冲式自相关函数的信号，即 当长度L很大时，白噪声序列、M序列可近似满 足这一要求．
-- 正态分布随机数: 由(0,1)均匀分布的随机数可以产生其他任意分 布的随机数.
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2.6 M Sequences
问题提出：白噪声序列是一种理想的输入信 号，但实际实现比较困难. 原因: (1)真正白噪声序列要求无限长
(2)工业设备（如阀门）不可能按噪声 变化规律动作. 解决方法：设计一种近似白噪声信号，即自 相关函数接近白噪声，且宜于实现的信号．
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定义1：如果随机过程ω(t)的均值为0,自相关函 数为：
Ｒw(t)=σ2δ(t),其中，δ(t) 为δ分布函数,
即
且
δ
(t)
=
⎧∞, t
⎨ ⎩
0,
t
= ≠
0 0
∫ δ ∞ −∞
(t ) dt
=
1
称这种随机过程为白噪声过程.
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白噪声过程的平均功率谱密度为常数σ2
严格符合上述定义的白噪声过程,其方差和平均 功率为∞,而且它在任意两个瞬间的取值, 不论 这两个瞬间的距离多近,都是互不相关的.
如果一个随机过程的统计性质不随时间而变 化，则称其为平稳随机过程 1、均值u(k)不随时间而变（即与k无关） 2、自相关函数Rxx(k,k+τ)只与(k+τ)-k=τ有 关，而与k无关。
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相关函数和自协方差函数的性质
(1) Rxx(0)=E{x(k)x(k+0)}≥0 (2) Rxx(-τ)= Rxx(τ) (3) ∣Rxx(τ)∣≤Rxx(0) (4) Cxx(τ)= Rxx(τ)-μx 2
理想的白噪声只是理论上的抽象,在物理上是不 可实现的. 在实际中,如果一个随机过程的自相关函数接近 δ函数,可近似认为是白噪声.
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3
白噪声过程的自相关函数 近似白噪声过程的自相关函数
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(2)White noise sequences
定义2：如果随机序列{ω(k)}是两两不相关的， 且对应的自相关函数为：