最小二乘法的线性拟合
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此方法的基本原则是构造一曲线函数y＝P(x) 作为函数f（x）的近似表达式，所构造曲线函数并 不严格通过所有节点，而是尽可能反映函数的数据
变化趋势，比较符合实际规律。曲线拟合的方法有 很多，这里我们只介绍最小二乘法（线性、多项式、
指数曲线）的数据拟合。
10
线性拟合
• 在直角坐标系中点大致呈线性分布， y（x）＝ a0＋a1x
n
n
ei2 （f（xi） yi）2 （[ a0 a1xi） yi ]2 F（a0，a1）
i0
i0
i0
15
要使F（a0，a1）最小，必须满足
即：
F 0，F 0
a0
a1
F
a0
n
2 （a0 a1xi
i0
yi） 0
F
a1
（3）用曲线拟合的方法求出线图的拟合公式
（又称经验公式），再将公式编写成程
序。
2
4.2.1线图的数表化处理 所谓线图数表化处理是将线图离散转化为一
张数表，然后按数表的处理方法进行处理。
右Z图较少为时渐，开对齿线形齿系轮数影的响 一种齿较形大系，数节点曲的线区图间应取得
小些；
渐开线齿轮的齿数和齿形系数的关系
（1）按区域图的中线取值
找出区域中线的表达式， SH1
为此设齿面最小硬度为HB0 。
最高硬度为HBl ，SH0表示 最小硬度对应的极限应力中
SH0
值，SHl表示最大硬度对应 的极限应力中值，由此根据
直线的两点式方程可以写出
HB 0
HB1
极限应力中线的表达式为：
7
（2）按区域图的位置取值
在确定材料极限应力时只能取中值，不尽合理。为了 使设计者能根据所用材料的不同性能，按实际情况在区域 图内取不同的值，为此，增加两个参数，一个是极限应力 的幅度值SF，另一个是表示极限应力在区域图中的位置 参量ST。ST＝1时表示取上限值，ST＝0时表示取中值， ST＝-1时表示取下限值。此时极限应力的计算式变为：
y
x
11
幂函数或指数函数拟合
在对数坐标系中点大致呈线性分布 y abx
ln y ln a ln b x
y ln y
x
x
12
多项式拟合
• Y(x) = Σ ajxj (j=0,1,2,3,……,m)
y
x
13
一、最小二乘法拟合的基本思想
设由线图或实验得到n个节点的数据（xi，yi）（i=1， 2，3，…，n），构成拟合公式y=f（x），拟合公式不一定 通过每个节点，因此在每一节点处与实际值的偏差为
4.2 线图的程序化处理 我们知道用线图来表示函数关系是一种很常
用的方法，这种方法比较直观，并且能表现出函 数的变化趋势。在机械设计资料中，有很多参数 间的函数关系是通过线图来表示的。这些线图在 对数坐标中，一般是直线或折线；在普通的直角 坐标中，大多是曲线图。传统设计时，根据线图 查得的参数直接代入公式，而在CAD作业中，目 前还不能对线图直接编程，因此需对线图进行相 应的处理，以实现对参数图的存贮和自动检索。
ei=f（xi）－yi i=1，2，3，…，n
n
n
ei2
（f（xi）
y
）2
i
i 1
i 1
14
二、最小二乘法的线性拟合 设有一个函数表如下
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
… xn … yn
求一个一次二项式f(x)=a0+a1x，使误差f(xi)－yi的平方 和最小，即：
n
n
2 （a0
i0
a1xi
yi）xi
0
（ n 1）a0
n
2)效率低，占机时间长。通常设计所使用到的仅是数表 中的一小部分数据，有时甚至只是其中的一、二个。但数表
程序化处理对数表中的每个数据，无论在当时的计算程序中
是否被用到，都必须顺序地将全部数据读入内存。
检索时，一般又得顺序地从头检索至所需的那个
数据为止。
9
4.3.1 曲线拟合
数表程序化处理一般只适用于数表较小(数据 量较小)、计算程序使用数表个数不多的情况。对 于比较大型的计算程序，常常需使用很多的数表， 数据量很大，在这种情况下数表的处理就要采用其 它的方法。其中一种方法就是本节所要介绍的曲线 拟合。
齿数Z较多时，对齿 形系数影响较小，节 点的区间应取得大些
齿数Z 12 14 16 18 22 26 30 40 50 齿形系数 3.44 3.22 3.05 2.91 2.73 2.60 2.52 2.40 2.32
其中，节点的选取随曲线形状而异，选取的基本
原则是相邻两节点之函数差较为均匀。
3
在CAD作业中，若能找到所给参数线图曲 线的计算公式，则应选择该公式直接计算出所 需的参数值，以确保所获得参数的精度。对于 直线线图(直角坐标或对数坐标)或是以折线构 成的折线图，则应把它们先转化为代数表达式， 然后通过计算来获得较准确的参数值，这就是 下面介绍的线图公式化处理。
常用的处理方法有三种：
1
（1）线图所表示的各参数之间本来就有计算公 式，只是由于计算公式复杂．为了便于手工计算 将公式绘成线图，以供设计时查用。对于这类线 图处理的方法为：找到线图原有公式，将公式编 写成程序。这是最精确的程序化处理方法，但难 以找到。
（2） 线图所表示的各参数之间没有或找不到计 算公式。将线图离散化为数表，然后按数表的处 理方法进行处理。
ST在+1~-1之间取不同的值时，就可以获得区域图 中任意位置上的极限应力值。
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4.3 数表与线图的公式化处理
前面介绍的数表与线图的程序化处理方法，这种方法虽
然解决了数表和线图在CAD作业中的存储和检索问题，但还 存在下述一些缺点：
1)占用大量计算机内存。数表和线图的程序化处理，要 将数表中的全部数据编进计算程序中，实现数据的自动检索。 当数表很庞大时，所占内存很大。一般情况下，一个设计计 算程序常常需要使用多个数表，则所占内存更加庞大，严重 时甚至会影响程序的正常运行。
4
4.2.2 直线图的公式化处理
1、直角坐标直线图的公式化处理
（a）直齿轮
（b）斜齿轮
5
2、对数坐标直线图的公式化处理
对数坐标中的直线方程可写为：
注意：一般程序语言中，只有lnx （自然对数）无十进制对数 lgx ，所以编程时，要进行换底运算。
lg x ln x ln10
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3、区域图的公式化处理
变化趋势，比较符合实际规律。曲线拟合的方法有 很多，这里我们只介绍最小二乘法（线性、多项式、
指数曲线）的数据拟合。
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线性拟合
• 在直角坐标系中点大致呈线性分布， y（x）＝ a0＋a1x
n
n
ei2 （f（xi） yi）2 （[ a0 a1xi） yi ]2 F（a0，a1）
i0
i0
i0
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要使F（a0，a1）最小，必须满足
即：
F 0，F 0
a0
a1
F
a0
n
2 （a0 a1xi
i0
yi） 0
F
a1
（3）用曲线拟合的方法求出线图的拟合公式
（又称经验公式），再将公式编写成程
序。
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4.2.1线图的数表化处理 所谓线图数表化处理是将线图离散转化为一
张数表，然后按数表的处理方法进行处理。
右Z图较少为时渐，开对齿线形齿系轮数影的响 一种齿较形大系，数节点曲的线区图间应取得
小些；
渐开线齿轮的齿数和齿形系数的关系
（1）按区域图的中线取值
找出区域中线的表达式， SH1
为此设齿面最小硬度为HB0 。
最高硬度为HBl ，SH0表示 最小硬度对应的极限应力中
SH0
值，SHl表示最大硬度对应 的极限应力中值，由此根据
直线的两点式方程可以写出
HB 0
HB1
极限应力中线的表达式为：
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（2）按区域图的位置取值
在确定材料极限应力时只能取中值，不尽合理。为了 使设计者能根据所用材料的不同性能，按实际情况在区域 图内取不同的值，为此，增加两个参数，一个是极限应力 的幅度值SF，另一个是表示极限应力在区域图中的位置 参量ST。ST＝1时表示取上限值，ST＝0时表示取中值， ST＝-1时表示取下限值。此时极限应力的计算式变为：
y
x
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幂函数或指数函数拟合
在对数坐标系中点大致呈线性分布 y abx
ln y ln a ln b x
y ln y
x
x
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多项式拟合
• Y(x) = Σ ajxj (j=0,1,2,3,……,m)
y
x
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一、最小二乘法拟合的基本思想
设由线图或实验得到n个节点的数据（xi，yi）（i=1， 2，3，…，n），构成拟合公式y=f（x），拟合公式不一定 通过每个节点，因此在每一节点处与实际值的偏差为
4.2 线图的程序化处理 我们知道用线图来表示函数关系是一种很常
用的方法，这种方法比较直观，并且能表现出函 数的变化趋势。在机械设计资料中，有很多参数 间的函数关系是通过线图来表示的。这些线图在 对数坐标中，一般是直线或折线；在普通的直角 坐标中，大多是曲线图。传统设计时，根据线图 查得的参数直接代入公式，而在CAD作业中，目 前还不能对线图直接编程，因此需对线图进行相 应的处理，以实现对参数图的存贮和自动检索。
ei=f（xi）－yi i=1，2，3，…，n
n
n
ei2
（f（xi）
y
）2
i
i 1
i 1
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二、最小二乘法的线性拟合 设有一个函数表如下
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
… xn … yn
求一个一次二项式f(x)=a0+a1x，使误差f(xi)－yi的平方 和最小，即：
n
n
2 （a0
i0
a1xi
yi）xi
0
（ n 1）a0
n
2)效率低，占机时间长。通常设计所使用到的仅是数表 中的一小部分数据，有时甚至只是其中的一、二个。但数表
程序化处理对数表中的每个数据，无论在当时的计算程序中
是否被用到，都必须顺序地将全部数据读入内存。
检索时，一般又得顺序地从头检索至所需的那个
数据为止。
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4.3.1 曲线拟合
数表程序化处理一般只适用于数表较小(数据 量较小)、计算程序使用数表个数不多的情况。对 于比较大型的计算程序，常常需使用很多的数表， 数据量很大，在这种情况下数表的处理就要采用其 它的方法。其中一种方法就是本节所要介绍的曲线 拟合。
齿数Z较多时，对齿 形系数影响较小，节 点的区间应取得大些
齿数Z 12 14 16 18 22 26 30 40 50 齿形系数 3.44 3.22 3.05 2.91 2.73 2.60 2.52 2.40 2.32
其中，节点的选取随曲线形状而异，选取的基本
原则是相邻两节点之函数差较为均匀。
3
在CAD作业中，若能找到所给参数线图曲 线的计算公式，则应选择该公式直接计算出所 需的参数值，以确保所获得参数的精度。对于 直线线图(直角坐标或对数坐标)或是以折线构 成的折线图，则应把它们先转化为代数表达式， 然后通过计算来获得较准确的参数值，这就是 下面介绍的线图公式化处理。
常用的处理方法有三种：
1
（1）线图所表示的各参数之间本来就有计算公 式，只是由于计算公式复杂．为了便于手工计算 将公式绘成线图，以供设计时查用。对于这类线 图处理的方法为：找到线图原有公式，将公式编 写成程序。这是最精确的程序化处理方法，但难 以找到。
（2） 线图所表示的各参数之间没有或找不到计 算公式。将线图离散化为数表，然后按数表的处 理方法进行处理。
ST在+1~-1之间取不同的值时，就可以获得区域图 中任意位置上的极限应力值。
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4.3 数表与线图的公式化处理
前面介绍的数表与线图的程序化处理方法，这种方法虽
然解决了数表和线图在CAD作业中的存储和检索问题，但还 存在下述一些缺点：
1)占用大量计算机内存。数表和线图的程序化处理，要 将数表中的全部数据编进计算程序中，实现数据的自动检索。 当数表很庞大时，所占内存很大。一般情况下，一个设计计 算程序常常需要使用多个数表，则所占内存更加庞大，严重 时甚至会影响程序的正常运行。
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4.2.2 直线图的公式化处理
1、直角坐标直线图的公式化处理
（a）直齿轮
（b）斜齿轮
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2、对数坐标直线图的公式化处理
对数坐标中的直线方程可写为：
注意：一般程序语言中，只有lnx （自然对数）无十进制对数 lgx ，所以编程时，要进行换底运算。
lg x ln x ln10
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3、区域图的公式化处理