电子科技大学(成都)考研历年真题之835线性代数2006--2015年考研真题

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a11 D a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a31 a23 a11 a33 a21 a11
a32 a12 a22 a12
a13 . a23 a13 a33
三(15 分) 设 R 22 是全体 2 阶实矩阵所构成的线性空间, 问 a 满足什么条件时,
a 1 1 a 1 1 1 1 A1 , A2 , A3 , A4 1 1 1 1 a 1 1 a
是 R 22 的一组基.
1 0 四(15 分) 已知矩阵 A 2 3
1 1 1 1 1 0 与矩阵 B 2 3 a a 1 5 1
电子科技大学 2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：835 线性代数
注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
5 3 0 0 0 2 5 3 0 0 1. (15 分) 计算 5 阶行列式 D5 = 0 2 5 3 0 . 0 0 2 5 3 0 0 0 2 5 2 −1 3 * 2. (15 分) 设 A = a b −3 , 如果 3 阶矩阵 B 的伴随矩阵 B ≠ O 且 AB = O , 求 A. 4 −2 c 2 1 1 −1 3. (15 分) 已知 4 阶方阵 A = (α1 ,α 2 , α3 , α 4 ) , 线性方程组 AX = β 的通解为 + k , 0 2 3 0 其中 k 为任意常数. 试问: α 4 能否由 α1 , α 2 , α3 线性表出? 为什么? 4. (15 分) 设 A 是 3 阶方阵, 3 维列向量组 α , Aα , A2α 线性无关, 且 A3α = 3 Aα − 2 A2α . 证明矩阵 B = (α , Aα , A4α ) 可逆. 5. (20 分) 设 R 3×3 是实数域上所有 n 阶方阵关于方阵的加法和数乘所成线性空间, a1 V = a3 a 2 a2 a1 a3 a3 a2 a1 , a2 , a3 ∈ R , W = A ∈ R 3×3 AT = − A . a1
{
}
(1) 分别写出 V 和 W 的维数和一组基(不用写求解过程); (2) 求 V I W 的一组基.
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1 −1 − a 6. (20 分) 设 A = 2 a −2 . −a −1 1 (1) 求 A 的特征值与特征向量; (2) 讨论 A 何时可以相似对角化.
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电子科技大学 2015 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：835 线性代数
注意事项：所有答案必须写在答卷纸上，否则答案无效。
x 0 一(10 分) 求 1 1 0 x 1 1 1 1 x 0 1 1 0 的根. 0 x
二(20 分) (不写计算过程)试写出 4 个实矩阵 A, B, C, D 使得 1 0 (1) A2 ; 0 1 5 0 (2) B 2 2 B O; 0 5 1 2 (3) C * ; 3 4
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7. (15 分) 设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间, A 是 V 上的线性变换, 证明: A 在 V 的两组 不同基下的矩阵是相似的. 8. (15 分) 设 V = span (α , β ) 是欧氏空间 R 4 (关于标准内积)的子空间, 其中 α = (1, 2, 1, 1) , β = ( −2, 0, 0, 1) . (1) 求正交补 V ⊥ 的一组标准正交基; (2) 证明: 不存在正交变换 A 使得 Aα = β .
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七(20 分). 设 n 阶实矩阵 A 满足 A2 3 A 2 I O .
(1) 证明 A 的特征值均大于 0; (2) 是否存在可逆实矩阵Байду номын сангаасP 使得 P 1 AP 为对角阵? 为什么?
八(15 分). 设 A 是欧氏空间 R n 上的正交变换, R n 是 A 的某个特征值 的特征向量, 证明: 1 或 1 . 九(15 分). 设 A, B 都是 n 阶非零实方阵. 证明存在列向量 R n 使得 A , B 都不是零 向量.
1 1 a 5
1 0 等价, 试求 a 的取值范围. 3 1
1 2 1 五(20 分) 设 A 0 1 a , B 是 3 阶非零矩阵且满足 BA O . 如果矩阵 B 的第 1 列是 1 a 0
1, 2, 3
T
, 求矩阵 B.
0 0 1 2 0 0 六(20 分) 已知矩阵 A 0 1 0 和 B 0 1 0 , 1 0 0 0 0 2 (1) 求可逆矩阵 C 使得 C T AC B ; (2) 如果 A kI 与 B 合同, 求 k 的取值范围, 这里 I 是 3 阶单位矩阵.
9. (20 分) 设 3 元实二次型 f ( X ) = X T AX 的秩为 2, 且满足条件 A2 + 2 A = O . (1) f ( X ) + 1 = 0 表示什么二次曲面? 为什么?
2 2 (2) 当 k 满足什么条件时, 二次型 f ( X ) + k ( x12 + x2 + x3 ) 正定?