电磁场理论与微波技术 第2章 矢量分析
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ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
不满足交换律 : A B B A
注:A B 0
14
A// B
例1-1-1 三角形的3个顶点为A(0,0,0)、B(4,6,-2)
和C(-2,4,8 )。
(1)求B点和C点的位置矢量B和C之间的夹角;
(2)求B点到C点的距离矢量R及R的方向;
Ax Acos Ay Acos Az Acos
e A e x cos e ycos ez cos
z
z
Az O Ax
A
Ay
y
Az
A
O
Ay
y
Ax
x
x
图2-4 矢量A分解为直角坐标分量
7
(3)位置矢量
定义:从坐标原点指向空间位置点的矢量,记为 r 。
直角坐标系中,空间任一点 Px, y, z 的位置矢量
O
Ax
A
Ay
y
x
图 2-1 直角坐标系 4
2. 圆柱坐标系 (,, z)
图 2-2 圆柱坐标系 5
3. 球面坐标系 (r, ,)
图 2-3 球面坐标系
6
(2)矢量的表示方法
矢量可用其在坐标轴上的投影,即坐标分量表示 。
直角坐标系中
A Ax Ay Az e x Ax e y Ay ez Az
dl dl1 dl2 dl3 e x dx e ydy ez dz
9
(4)微分元矢量
dS ndS n
面微分元矢量通常称为面元矢量
dS=ndS
dS
法向矢量n的确定
图2-6 面元矢量 dS
dS为开表面上的面元,n的方向与围成开 表面的有向闭合曲线呈右手螺旋关系。 n
dS ndS
dS为闭合曲面上面元,n的方向为闭合面 的外法线方向。
3 35
ey
1 35
ez
5 35
e xcos120.47
e ycos99.73
ezcos32.31
(3) B •C 0 ABC为一直角三角形
S 1 B C 1 56 84 14 6
2
2
15
2.3 矢量场的通量与散度
1.矢量场的通量
元通量 dΨ:场矢量 A 穿过面元 dS 的通量。
矢量:既有大小又有方向的量 ; 如:力、力矩、速度、加速度、电场强度。
注:零既没有大小也没有方向,因常出现在矢量的运 算中,作为约定,将零称为零矢量。
2
(2)矢量的表示方法
图示:带箭头的线段;
AP
o
书写:黑斜体,如 A ;或斜体字母上加一箭头,如 A 。
矢量 A的大小称为矢量 A的模,记为 A 或 A 。
(3)判断ABC是否为一直角三角形,并求三角形的面积。
解: (1)
B ex 4 ey6 ez 2
C e x 2 e y 4 ez 8
cos B • C BxCx ByCy BzCz 0
BC
BC
90
(2)
R C - B e x 6 e y 2 ez10
eRБайду номын сангаас
R R
e x
dΨ A • dS Acos dS
通量 Ψ :场矢量 A 穿过任意曲面 S 的通量。
Ψ A• dS Acos dS
S
S
穿过闭合面的通量 :Ψ A• dS Acos dS
S
S
物理意义明确:
若 Ψ 0 ,体积内存在着流体的源;
若 Ψ 0 ,体积内存在流体的汇(负源);
若 Ψ 0 ,体积内正负源的总和为零。
n
SC
图2-7 开表面
10 闭合面
2.1.2 标量场与矢量场
(1)场的定义:若某时空域内的每一时空点,都对应 着某个物理量的一个确定的值,就说在该时空域内确 定了该物理量的场。
标量场、矢量场 静态场、动态场(时谐场)
(2)矢量场的力线 :表示矢量在空间的分布。
有向曲线上任一点的切线方向与该点的场矢量方向相同。 有向曲线的疏密程度表示各处矢量的大小及变化趋势。
矢量 A的方向可用单位矢量 a (a A A )表示,或
记作 e A 。
注:直角坐标系的基矢量用 e x,e y, e z表示;
圆柱坐标系的基矢量用e ,e , e z 表示; 球坐标系的基矢量用 er ,e ,e 表示。
3
直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系
1.直角坐标系 (x, y, z)
z
Az
16
例1-1-2 已知置于坐标原点处的点电荷q的电位移
矢半量径为为RD的 4球πqr面3 r 的。电计通算量通。过以坐标原点为球心、
解:
n
R R
er
Ψ e
D • dS q
S
4πR3
R • R dS q
SR
4πR2
dS
S
q 4πR2 q 4πR2
说明:通过封闭球面的电通量Ψ e 的源是球面内的电荷q, 它也是产生矢量场 D 的源。
r exx ey y ezz
可用 r 代表空间点 P 的位置,函数 f x, y, z 可记 为 f r。
8
(4)微分元矢量
线微分元矢量通常称为线元 z 矢量
dl el dl
dl dl 3
线元矢量可表示成三个坐标 O
y
分量的矢量和。在直角坐标
dl1
系中有
x
dl 2
图2-5 直角坐标系中线元矢量 dl
标量与矢量的积为矢量。 uA uAxe x uAy e y uAz e z
标量与矢量相乘满足交换律、结合律和分配律。
12
2. 矢量的乘法
(1)矢量的标积 (点积 ):为标量 。
等于两矢量的模与两矢量正向夹角的余弦三者之积 A• B A B cos
在直角坐标系中
A • B Ax Bx Ay By Az Bz
第2章 矢量分析
2.1 标量场与矢量场 2.2 矢量的代数运算 2.3 矢量场的通量与散度 2.4 矢量场的环流与旋度 2.5 标量场的梯度 2.6 亥姆霍兹定理
1
2.1 标量场和矢量场
2.1.1 标量和矢量
1. 标量和矢量
(1)定义
标量:只有大小、没有方向的量 ; 如:质量、时间、温度、功、电荷
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2.2 矢量的代数运算
2.2.1 矢量的加减法
遵循平行四边形法则。 两矢量之和(或差)的直角坐标分量等于两矢量的 对应坐标分量的和(或差)。
A B Ax Bx e x Ay By e y Az Bz ez
满足交换律与结合律。
2.2.2 矢量的乘法运算 1. 矢量与标量相乘(数乘)
A • B A cos
B
满足交换律和分配律
注:A• B 0
AB
13
A B
(2)矢量的矢积 (叉积 ):为矢量。
A B n A B sin
n
A
在直角坐标系中
图2-8 矢量的矢积 B
A B Ay Bz Az By e x Az Bx Ax Bz e y Ax By Ay Bx ez