数字电路：组合逻辑电路
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0—1律
互补律
重叠律
交换律
结合律
分配律
反演律
吸收律
对合律
表中略为复杂的公式可用其他更简单的公式来证明。
例3.1.1证明吸收律
证：
表中的公式还可以用真值表来证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。
例3.1.2用真值表证明反演律 和
证：分别列出两公式等号两边函数的真值表即可得证，见表3.1.2和表3.1.3
（消去1个冗余项 ）
（再消去1个冗余项 ）
解法2： （增加冗余项 ）
（消去1个冗余项 ）
（再消去1个冗余项 ）
由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。
代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。
3.2逻辑函数的卡诺图化简法
在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。下面再举几个例子。
例3.1.5化简逻辑函数
解：
例3.1.6化简逻辑函数
解： （利用 ）
（利用 ）
（利用 ）
例3.1.7化简逻辑函数
解： （利用反演律）
（利用 ）
（利用 ）
（配项法）
（利用 ）
（利用 ）
例3.1.8化简逻辑函数
解法1： （增加冗余项 ）
本节介绍一种比代数法更简便、直观的化简逻辑函数的方法。它是一种图形法，是由美国工程师卡诺（Karnaugh）发明的，所以称为卡诺图化简法。
一．最小项的定义与性质
1．最小项的定义
在n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。其中每个变量在该乘积项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，但只能出现一次。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。
如三变量逻辑函数L=f（A,B,C）的最小项共有23=8个，列入表中。
表3.2.1三变量逻辑函数的最小项及编号
最小项
变量取值
编号
ABC
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
2．最小项的基本性质
以三变量为例说明最小项的性质，列出三变量全部最小项的真值表如表3.2.2所示。
3.1逻辑代数
逻辑代数和普通代数一样，有一套完整的运算规则，包括公理、定理和定律，用它们对逻辑函数式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析与设计。
一．逻辑代数的基本公式
包括9个定律，其中有的定律与普通代数相似，有的定律与普通代数不同，使用时切勿混淆。
表3.1.1逻辑代数的基本公式
名称
公式1
公式2
与非—与非表达式
或非—或非表达式
与—或非表达式
在上述多种表达式中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。因此，在化简逻辑函数时，通常是将逻辑式化简成最简与—或表达式，然后再根据需要转换成其他形式。
2．最简与—或表达式的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。
（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“·”号最少。
表3.2.2三变量全部最小项的真值表
变量
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
ABC
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
3．用代数法化简逻辑函数
用代数法化简逻辑函数，就是直接利用逻辑代数的基本公式和基本规则进行化简。代数法化简没有固定的步骤，常用的化简方法有以下几种。
（1）并项法。运用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。如
（2）吸收法。运用吸收律 消去多余的与项。如
（3）消去法。运用吸收律 消去多余的因子。如
（4）配项法。先通过乘以 （=1）或加上 （=0），增加必要的乘积项，再用以上方法化简。如
利用代入规则可以方便地扩展公式。例如，在反演律 中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：
对偶规则
将一个逻辑函数源自文库进行下列变换：
·→＋，＋→·
0→1，1→0
所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 表示。
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。
利用对偶规则可以帮助我们减少公式的记忆量。例如，表3.1.1中的公式l和公式2就互为对偶，只需记住一边的公式就可以了。因为利用对偶规则，不难得出另一边的公式。
第三章
前一章我们学习了门电路。对于一个数字系统或数字电路来讲，有了这些门电路就相当于一个建筑工程有了所需的砖瓦和预制件。从现在起，我们就可以用门电路来搭接一个具有某一功能的数字电路了。正像建一座高楼，不仅需要砖瓦和预制件等建筑材料，还需要有效的工具和合理的工艺一样，数字电路的分析与设计也需要一定的数学工具和一套有效的方法。本章首先介绍分析和设计数字电路时常用的数学工具--逻辑代数和卡诺图，包括逻辑代数的基本公式和基本定律，逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。然后介绍组合逻辑电路的分析方法与设计方法。另外，按其结构和工作原理不同，数字电路可分为两大类，组合逻辑电路和时序逻辑电路。第三、四章介绍组合逻辑电路，第五、六章介绍时序逻辑电路，请大家在学习过程中体会两者的区别及特点。
表3.1.2证明
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
1
1
1
0
表3.1.3证明
AB
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
1
0
0
0
反演律又称摩根定律，是非常重要又非常有用的公式，它经常用于逻辑函数的变换，以下是它的两个变形公式，也是常用的。
二．逻辑代数的基本规则
代入规则
代入规则的基本内容是：对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。
（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3.1.3。
（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例3.1.4。
三．逻辑函数的代数化简法
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。常见的逻辑式主要有5种形式，例如：
与—或表达式
或—与表达式
反演规则
将一个逻辑函数L进行下列变换：
·→＋，＋→·；
0→1，1→0；
原变量→反变量，反变量→原变量。
所得新函数表达式叫做L的反函数，用 表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数
例3.1.3求函数 的反函数。
解：
例3.1.4求函数 的反函数。
解：
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：
互补律
重叠律
交换律
结合律
分配律
反演律
吸收律
对合律
表中略为复杂的公式可用其他更简单的公式来证明。
例3.1.1证明吸收律
证：
表中的公式还可以用真值表来证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。
例3.1.2用真值表证明反演律 和
证：分别列出两公式等号两边函数的真值表即可得证，见表3.1.2和表3.1.3
（消去1个冗余项 ）
（再消去1个冗余项 ）
解法2： （增加冗余项 ）
（消去1个冗余项 ）
（再消去1个冗余项 ）
由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。
代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。
3.2逻辑函数的卡诺图化简法
在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。下面再举几个例子。
例3.1.5化简逻辑函数
解：
例3.1.6化简逻辑函数
解： （利用 ）
（利用 ）
（利用 ）
例3.1.7化简逻辑函数
解： （利用反演律）
（利用 ）
（利用 ）
（配项法）
（利用 ）
（利用 ）
例3.1.8化简逻辑函数
解法1： （增加冗余项 ）
本节介绍一种比代数法更简便、直观的化简逻辑函数的方法。它是一种图形法，是由美国工程师卡诺（Karnaugh）发明的，所以称为卡诺图化简法。
一．最小项的定义与性质
1．最小项的定义
在n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。其中每个变量在该乘积项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，但只能出现一次。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。
如三变量逻辑函数L=f（A,B,C）的最小项共有23=8个，列入表中。
表3.2.1三变量逻辑函数的最小项及编号
最小项
变量取值
编号
ABC
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
2．最小项的基本性质
以三变量为例说明最小项的性质，列出三变量全部最小项的真值表如表3.2.2所示。
3.1逻辑代数
逻辑代数和普通代数一样，有一套完整的运算规则，包括公理、定理和定律，用它们对逻辑函数式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析与设计。
一．逻辑代数的基本公式
包括9个定律，其中有的定律与普通代数相似，有的定律与普通代数不同，使用时切勿混淆。
表3.1.1逻辑代数的基本公式
名称
公式1
公式2
与非—与非表达式
或非—或非表达式
与—或非表达式
在上述多种表达式中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。因此，在化简逻辑函数时，通常是将逻辑式化简成最简与—或表达式，然后再根据需要转换成其他形式。
2．最简与—或表达式的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。
（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“·”号最少。
表3.2.2三变量全部最小项的真值表
变量
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
ABC
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
3．用代数法化简逻辑函数
用代数法化简逻辑函数，就是直接利用逻辑代数的基本公式和基本规则进行化简。代数法化简没有固定的步骤，常用的化简方法有以下几种。
（1）并项法。运用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。如
（2）吸收法。运用吸收律 消去多余的与项。如
（3）消去法。运用吸收律 消去多余的因子。如
（4）配项法。先通过乘以 （=1）或加上 （=0），增加必要的乘积项，再用以上方法化简。如
利用代入规则可以方便地扩展公式。例如，在反演律 中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：
对偶规则
将一个逻辑函数源自文库进行下列变换：
·→＋，＋→·
0→1，1→0
所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 表示。
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。
利用对偶规则可以帮助我们减少公式的记忆量。例如，表3.1.1中的公式l和公式2就互为对偶，只需记住一边的公式就可以了。因为利用对偶规则，不难得出另一边的公式。
第三章
前一章我们学习了门电路。对于一个数字系统或数字电路来讲，有了这些门电路就相当于一个建筑工程有了所需的砖瓦和预制件。从现在起，我们就可以用门电路来搭接一个具有某一功能的数字电路了。正像建一座高楼，不仅需要砖瓦和预制件等建筑材料，还需要有效的工具和合理的工艺一样，数字电路的分析与设计也需要一定的数学工具和一套有效的方法。本章首先介绍分析和设计数字电路时常用的数学工具--逻辑代数和卡诺图，包括逻辑代数的基本公式和基本定律，逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。然后介绍组合逻辑电路的分析方法与设计方法。另外，按其结构和工作原理不同，数字电路可分为两大类，组合逻辑电路和时序逻辑电路。第三、四章介绍组合逻辑电路，第五、六章介绍时序逻辑电路，请大家在学习过程中体会两者的区别及特点。
表3.1.2证明
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
1
1
1
0
表3.1.3证明
AB
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
1
0
0
0
反演律又称摩根定律，是非常重要又非常有用的公式，它经常用于逻辑函数的变换，以下是它的两个变形公式，也是常用的。
二．逻辑代数的基本规则
代入规则
代入规则的基本内容是：对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。
（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3.1.3。
（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例3.1.4。
三．逻辑函数的代数化简法
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。常见的逻辑式主要有5种形式，例如：
与—或表达式
或—与表达式
反演规则
将一个逻辑函数L进行下列变换：
·→＋，＋→·；
0→1，1→0；
原变量→反变量，反变量→原变量。
所得新函数表达式叫做L的反函数，用 表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数
例3.1.3求函数 的反函数。
解：
例3.1.4求函数 的反函数。
解：
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：