2016年江苏省徐州市中考数学试卷(解析汇报版)

2016年中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．41-的相反数是 （ ） A ．4 B ．-4 C ．41 D ．4
1-
【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．即a 的相反数是-a ． 【解答】解：41-的相反数是-（41-）=4
1．故选C ．
【点评】主要考查相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 2．（2016•）下列运算中，正确的是（ ） A ．x 3
+x 3
=x
6
B ．x 3·x 6=x
27
C ．（x 2）3=x
5
D ．x ÷x 2=x -1
【考点】整式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：（1）x 3
+x 3
=2x 3
，错误；（2）x 3
·x 6
=x 9
，错误；（3）（x 2
）3
=x 6
，错误；（4）x ÷x 2
=x -1
，正确．故选D ． 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2016•）下列事件中的不可能事件是（ ）
A ．通常加热到100℃时，水沸腾
B ．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上
C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D ．任意画一个三角形，其角和是360°
【考点】随机事件．【分析】不可能事件就是一定不会发生的事件，据此即可判断．【解答】解：A 、是必然事件，选项错误； B 、是随机事件，选项错误；C 、是随机事件，选项错误；D 、是不可能事件，选项正确．故选D ．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（2016•）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【考点】几何体的展开图．【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可． 【解答】A ．可以作为一个正方体的展开图，B ．可以作为一个正方体的展开图，C ．不可以作为一个正方体的展开图，D ．可以作为一个正方体的展开图，故选；C ．
【点评】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可． 5．（2016•）下列图案中，是轴对称的图形但不是中心对称的图形的是（ ）
【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．【解答】解：A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；B 、是轴对称但不是中心对称图形，符合题意；C 、既是轴对称又是中心对称图形，不合题意；D 、只是中心对称图形，不合题意．故选B ．【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念： 轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合． 6．（2016•）某人一周爬楼的层数统计如表
周一 周二 周三 周五 周六 周日 26
36
22
24
31
21
关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A ．中位数是22
B ．平均数是26
C ．众数是22
D ．极差是15
【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．【分析】根据表格中的数据，求出中位数，平均数，众数，极差，即可做出判断．【解答】解：这个人一周爬楼的层数按从小到大的顺序排列为21，22，22，24，26，31，36，中位数为24；平均数为（21+22+22+24+26+31+36）÷7=26；众数为22；极差为36-21=15；所以B 、C 、D 正确，A 错误．故选A ．
【点评】此题考查了极差，平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
7．（2016•）函数x -2y =中自变量x 的取值围是（ ） A.2≤x B.2≥x C.2＜x D.2≠x
【考点】函数自变量的取值围；二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2-x ≥0，解得x 的围．【解答】解：根据题意得：2-x ≥0，解得x ≤2．故选B ．
【点评】本题考查的是函数自变量取值围的求法．函数自变量的围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
8．（2016•）如图是由三个边长分别为6、9、x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是（ ） A ．1或9 B ．3或5 C ．4或6 D ．3或6
【考点】正方形的性质．【分析】根据题意列方程，即可得到结论．【解答】解：如图，
∵若直线AB 将它分成面积相等的两部分，
∴21×（6+9+x ）×9-x •（9-x ）=2
1×（62+92+x 2
）， 解得x=3，或x=6，故选D ．【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键． 9．（2016•）9的平方根是 _______．
【考点】算术平方根；平方根．【分析】根据平方根的定义解答．【解答】解：9的平方根是±3．故答案为：±3． 【点评】本题考查了平方根的定义，熟记概念是解题的关键．
10．（2016•）某市2016年中考考生约为61500人，该人数用科学记数法表示为 _______．
【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】根据科学记数法的表示方法进行解答即可．【解答】解：61500=6.15×104
． 故答案为：6.15×104
．【点评】本题考查的是科学记数法，熟知把一个大于10的数记成a ×10n
的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法是解答此题的关键．
11．（2016•）若反比例函数的图像过（3，-2），则奇函数表达式为 ____________．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】先设x
k y =，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．【解
答】解：设函数解析式为x k y =，把点（-2，3）代入函数x
k y =,得k=-6．
即函数关系式是x 6y -=．故答案为：x
6y -=．
12．（2016•）若二次函数y=x 2
+2x+m 的图像与x 轴没有公共点，则m 的取值围是 __________．
【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】由题意可得二次方程无实根，得出判别式小于0，解不等式即可得到所求围． 【解答】解：∵二次函数y=x 2
+2x+m 的图象与x 轴没有公共点， ∴方程x 2
+2x+m=0没有实数根， ∴判别式△=22
-4×1×m ＜0， 解得：m ＞1； 故答案为：m ＞1．
【点评】本题考查二次函数的图象与x 轴的交点、根的判别式；根据题意得出不等式是解决问题的关键． 13．（2016•）如图，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积比为 _______．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线得出DE=2
1BC ，DE ∥BC ，推出△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE=21BC ，DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，∴4
1)BC DE (S S 2ABC ADE ==∆∆，故答案为：1：4．
【点评】本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 14．（2016•）若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm ，则它的底边长为 _______cm ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】作AD ⊥BC 于点D ，可得BC=2BD ，RT △ABD 中，根据BD=ABcos ∠B 求得BD ，即可得答案． 【解答】解：如图，作AD ⊥BC 于点D ，
∵∠BAC=120°，AB=AC ， ∴∠B=30°， 又∵AD ⊥BC ， ∴BC=2BD ，
∵AB=2cm ，
∴在RT △ABD 中，BD=ABcos ∠B=2×323=（cm ），
∴BC=32cm ， 故答案为：32．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等，②等腰三角形的两个底角相等． ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题关键． 15．（2016•）如图，⊙O 是△ABC 的切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=° _______．
【考点】三角形的切圆与心；圆周角定理．
【分析】根据三角形心的性质得到OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，根据角平分线定义得∠OBC=21∠ABC=35°，∠OCB=21∠ACB=20°，
然后根据三角形角和定理计算∠BOC ．
【解答】解：∵⊙O 是△ABC 的切圆，∴OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，
∴∠OBC=21∠ABC=35°，∠OCB=2
1∠ACB=20°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-35°-20°=125°．故答案为125．
【点评】本题考查了三角形的切圆与心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的切圆，三角形的切圆的圆心叫做三角形的心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的心就是三角形三个角角平分线的交点．
16．（2016•）用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为 __________． 【考点】圆锥的计算．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【解答】解：∵半径为10的半圆的弧长为：21×2π×10=10π
∴围成的圆锥的底面圆的周长为10π 设圆锥的底面圆的半径为r ，则 2πr=10π 解得r=5 故答案为：5
【点评】本题主要考查了圆锥的计算，需要掌握弧长计算公式以及圆周长计算公式．解答此类试题时注意：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（2016•）如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n 个图案中这样的正方形的总个数可用含n 的代数式表示为 _______．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】设第n 个图案中正方形的总个数为a n ，根据给定图案写出部分a n 的值，根据数据的变化找出变换规律“a n =n （n+1）”，由此即可得出结论．【解答】解：设第n 个图案中正方形的总个数为an ， 观察，发现规律：a 1=2，a 2=2+4=6，a 3=2+4+6=12，…，
∴a n =2+4+…+2n=22)+n(2n =n （n+1）．
故答案为：n （n+1）．
【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变换规律“an=n （n+1）”．本题属于基础题，难度不大，根据给定图案写出部分图案中正方形的个数，根据数据的变化找出变化规律是关键．
18．（2016•）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，若∠EBF=45°，则△EDF 的周长等于 _______． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质得AB=BC ，∠BAE=∠C=90°，根据旋转的定义，把把△ABE 绕点B 顺时针旋转90°可得到△BCG ，根据旋转的性质得BG=AB ，CG=AE ，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∠ABG=∠B=90°，于是可判断点G 在CB 的延长线上，接着利用“SAS ”证明△FBG ≌△EBF ，得到EF=CF+AE ，然后利用三角形周长的定义得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB=BC ，∠BAE=∠C=90°，
∴把△ABE 绕点B 顺时针旋转90°可得到△BCG ，如图， ∴BG=AB ，CG=AE ，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°， ∴点G 在DC 的延长线上， ∵∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°， ∴∠FBG=∠FBE ， 在△FBG 和△EBF 中， BF ＝BF
∠FBG ＝∠FBE ， BG ＝BE
∴△FBG ≌△EBF （SAS ）， ∴FG=EF ，
而FG=FC+CG=CF+AE ， ∴EF=CF+AE ，
∴△DEF 的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=4 故答案为：4．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
三、解答题（本大题共有10个小题，共86分。

请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2016•）（本题10分）计算 （1）（-1）2016
+π0
-（3
1）-1
+8．
（2） x
x x x x x -+-÷+-22
1211． 【解答】解：（1）原式=1+1-3+2=1．
（2）原式=x x x x x x x =--•+-+2
)
1()1(1)1)(1(．
20．（2016•）（本题10分） （1）解方程：x
x x -=
+--2312
3． （2）解方程组： 2x ＞1-x ． 4x+2＜x+4 【解答】解：
（1）去分母，得x-3+x-2=-3 整理，得：2x=2． ∴x=1．
（2） 2x ＞1-x ① 4x+2＜x+4 ② 解不等式①，得x ＞31，
解不等式②，得x ＜32，
∴不等式组的解集是31＜x ＜3
2．
21．（2016•）某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错题的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 各选项选择人数的扇形统计图各选项选择人数的条形统计图
请根据图息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为________，a=________%，b=________%，“常常”对应扇形的圆心角为__________；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】推理填空题．
【分析】（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可．
（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．
（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．
【解答】解：（1）∵44÷22%=200（名）
∴该调查的样本容量为200；
a=24÷200=12%，
b=72÷200=36%，
“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．
（2）200×30%=60（名）
（3）∵3200×36%=1152（名）
∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．
故答案为：200、12、36、108．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（2016•）某乳品公司最近推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味，若送奶员连续三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？
（请用“画树状图”的方法给出分析过程，并求出结果）
【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．
【分析】画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出至少有两瓶为红枣口味的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中至少有两瓶为红枣口味的结果数为4， 所以该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率=2
184 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．
23．（2016•）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD 是等边三角形，E 是AC 的中点，连接BE 并延长，交DC 于点F ，求证： （1）△ABE ≌△CFE ；
（2）四边形ABFD 是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DCA=60°等量代换得到∠DCA=∠BAC ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据已知条件得到△ABE 是等边三角形，推出△CEF 是等边三角形，证得∠CFE=∠CDA ，求得BF ∥AD ，即可得到结论； 【解答】证明：（1）∵△ACD 是等边三角形， ∴∠DCA=60°， ∵∠BAC=60°， ∴∠DCA=∠BAC ， 在△ABE 与△CFE 中， ∠DCA ＝∠BAC
AE
＝CE ， ∠BEA ＝∠FEC ∴△ABE ≌△CFE ； （2）∵E 是AC 的中点， ∴BE=EA ， ∵∠BAE=60°， ∴△ABE 是等边三角形， ∴△CEF 是等边三角形， ∴∠CFE=60°， ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠CDA=∠DCA=60°， ∴∠CFE=∠CDA ， ∴BF ∥AD ，
∵∠DCA=∠BAC=60°， ∴AB ∥DC ，
∴四边形ABFD 是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24．（2016•）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题： （1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？
（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？
商品名 单价（元）
数量（个）
金额（元）
签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 ● ● 记号笔 4 ● ● 软皮笔记本
● 2 9 圆规 3.5 1 ● 合计
8
28
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【分析】（1）利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案；
（2）根据题意设小丽购买软皮笔记本m 本，自动铅笔n 支，根据共花费15元得出等式2
9m+1.5n=15，进而得出二元一次方程的解．
【解答】解：（1）设小丽购买自动铅笔x 支，记号笔y 支，根据题意可得：
x+y ＝8−(2+2+1) ， 1.5x+4y ＝28−(6+9+3.5) 解得： x ＝1 ， y ＝2
答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支；
（2）设小丽购买软皮笔记本m 本，自动铅笔n 支，根据题意可
得：2
9m+1.5n=15，
∵m ，n 为正整数，
∴ m ＝1 或 m ＝2 或 m ＝3 ， n ＝7 n ＝4 n ＝1
答：共3种方案：1本软皮笔记本与7支记号笔；
2本软皮笔记本与4支记号笔；3本软皮笔记本与1支记号笔．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键． 25．（2016•）如图，为了测出旗杆AB 的高度，在旗杆前的平地上选择一点C ，测得旗杆顶部A 的仰角为45°，在C 、B 之间选择一点D （C 、D 、B 三点共线），测得旗杆顶部A 的仰角为75°，且CD=8m
（1）求点D 到CA 的距离； （2）求旗杆AB 的高． （注：结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）作DE ⊥AC 于点E ，根据sinC=CD
DE 即可得DE ；
（2）由∠C=45°可得CE ，由tan ∠EAD=AE DE 可得AE ，即可得AC 的长，再在Rt △ABC 中，根据sinC=AC AB 即可得AB 的长．
【解答】解：（1）如图，作DE ⊥AC 于点E ，
再Rt △CDE 中，sinC=CD
DE ，
∴
8
DE 22=，
∴DE=42，
答：点D 到CA 的距离为42；
（2）在Rt △CDE 中，∠C=45°， ∴△CDE 为等腰直角三角形， ∴CE=DE=42，
∵∠ADB=75°，∠C=45°， ∴∠EAD=∠ADB-∠C=30°， ∴在Rt △ADE 中，tan ∠EAD=AE
DE ，
∴AE
2433=，
∴AE=46，
∴AC=AE+CE=2464+， 在Rt △ABC 中，sinC=AC AB ，
∴
2
464AB 22+=， ∴AB=4+43，
答：旗杆AB 的高为（4+43）m ．
【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点是仰角的定义、特殊角的三角函数值，要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
26．（2016•）某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y （间）与其价格x （元）（180≤x ≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：
（1）求y 与x 之间的函数表达式；
（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出） 【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b （k ≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；
（2）设房价为x 元（180≤x ≤300）时，宾馆当日利润为w 元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出”即可得出w 关于x 的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设一次函数表达式为y=kx+b （k ≠0），依题意得： 180k+b ＝100 ， 260k+b ＝60
解得： k ＝2
1-．
b ＝190
∴y 与x 之间的函数表达式为y=2
1-x+190（180≤x ≤300）．
（2）设房价为x 元（180≤x ≤300）时，宾馆当日利润为w 元，依题意得：
w=
（
2
1-
x+190
）（x-100）-60
×[100-
（21-x+190）]=21-x 2
+210x-13600=2
1-（x-210）2
+8450，
∴当x=210时，w 取最大值，最大值为8450．
答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．
【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据数量关系找出w 关于x 的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，但运算数据较大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
27．（2016•）如图，将边长为6的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ．
（1）若CM=x ，则CH= _______（用含x 的代数式表示）； （2）求折痕GH 的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【分析】（1）利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH 的长即可；
（2）首先得出△EDM ∽△MCH ，进而求出MC 的长，再利用△NEG ∽△DEM ，求出NG 的长，再利用勾股定理得出GH 的长． 【解答】解：（1）∵CM=x ，BC=6， ∴设HC=y ，则BH=HM=6-y ， 故y 2
+x 2
=（6-y ）2
， 整理得：3x 12
1y 2+-=，
故答案为：3x 12
12+-；
（2）∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠B=∠C=∠D=90°，
设CM=x ，由题意可得：ED=3，DM=6-x ，∠EMH=∠B=90°， 故∠HMC+∠EMD=90°，
∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC ， ∴△EDM ∽△MCH ， ∴CH
DM MC
ED =，
即3x 12
1
x 6x
3
2+--=
， 解得：x 1=2，x 2=6（不合题意舍去）， ∴CM=2， ∴DM=4，
∴在Rt △DEM 中，由勾股定理得：EM=5， ∴NE=MN-EM=6-5=1，
∵∠NEG=∠DEM ，∠N=∠D ， ∴△NEG ∽△DEM ， ∴DM
NG DE NE =，
∴4
NG 31=，
解得：NG=3
4，
由翻折变换的性质，得AG=NG=3
4，
过点G 作GP ⊥BC ，垂足为P ， 则BP=AG=3
4，GP=AB=6，
当x=2时，CH=3
83x 1212=+-，
∴PH=BC-HC-BP=6-23
438=-，
在Rt △GPH 中，1022+6PH +GP GH 2222===．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
28．（2016•）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象经过点A （-1，0），B （0，-3），C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则21PB+PD 的最小值为；
（3）M （x ，t ）为抛物线对称轴上一动点
①若平面存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，
则这样的点N 共有个；
②连接MA ，MB ，若∠AMB 不小于60°，求t 的取值围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时21PB+PD 最小．最小值就是线段DH ，求出DH 即可．
（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM 是等腰三角形的点M ，由此即可解决问题．
②作AB 的中垂线与y 轴交于点E ，连接EA ，则∠AEB=120°，以E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F 、G ．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG 上的点满足题意，求出F 、G 的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意 a −b+c ＝0 c ＝-3 4a+2b+c ＝0 a ＝2
3
解得 b ＝2
3-
c ＝-3，
∴抛物线解析式为3x 2
3x 2
3y 2--=，
∵8
39)2
1(x 2
33x 2
3x 2
3y 22--=--=，
∴顶点坐标（2
1，839-）．
（2）如图1中，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ， 此时21PB+PD 最小．
理由：∵OA=1，OB=3， ∴tan ∠ABO=3
3OB
OA =，
∴∠ABO=30°， ∴PH=2
1PB ，
∴2
1PB+OD=PH+PD=DH ， ∴此时2
1PB+PD 最短（垂线段最短）．
在RT △ADH 中，∵∠AHD=90°，AD=23，∠HAD=60°，
∴sin60°=AD DH ，
∴DH=4
33，
∴21PB+PD 的最小值为433．
故答案为433．
（3）①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点， 以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点， 线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M 有5个，即满足条件的点N 也有5个， 故答案为5．
②如图，RT △AOB 中，∵tan ∠ABO=3
3OB
OA =，
∴∠ABO=30°，
作AB 的中垂线与y 轴交于点E ，连接EA ，则∠AEB=120°， 以E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F 、G ． 则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG 上的点满足题意，
∵EB=3
32cos30?2AB
=，
∴OE=OB-EB=33，
∵F （2
1，t ），EF 2
=EB 2
，
∴222)3
32(=)33+(t +)21(，
解得t=63932+-或6
3932--，
故F （21，63932+-），G （21，63932--），
∴t 的取值围63932--≤t ≤6
3932+-．
【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．。