高中数学最全公式平面几何

71.常用不等式：

（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +

∈

⇒

2

a b

+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）333

3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>

（4）柯西不等式

22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈

（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理

已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值

24

1s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2

2

+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.

（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.

73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与

2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.

74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

2

2x a x a a x a <⇔<⇔-<<.

22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.

75.无理不等式 （1

()0()0

()()f x g x f x g x ≥⎧⎪

>⇔≥⎨⎪>⎩

. （2

2()0

()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪

>⇔≥⎨⎨

<⎩⎪>⎩

或. （3

2()0()()0

()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪

<⇔>⎨⎪<⎩

. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,

()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪

>⇔>⎨⎪>⎩

.

(2)当01a <<时,

()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪

>⇔>⎨⎪<⎩

77.斜率公式

21

21

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

78.直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).

(4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111

12222

||A B C l l A B C ⇔

=≠

； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式

(1)21

21

tan |

|1k k k k α-=+.

(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)12

21

1212

tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2

π. 81. 1l 到2l 的角公式

(1)21

21

tan 1k k k k α-=

+.

(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)1221

1212

tan A B A B A A B B α-=

+.

(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).

直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是

2

π. 82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线

0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是

0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．

83.点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域

设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C

++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域

设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则

111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.

86. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 2

2

2

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 2

20x y Dx Ey F ++++=(22

4D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩.

（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).

87. 圆系方程

(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是

1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．