2017理论力学超典型例题(课堂PPT)

( 1)
xC lcos l2 sin
(a)
把(c) 和(d)的表达式在 = 1时的值代入
上式，得关系
3g sin
4l
l
3g 4l
sin
1
cos1
l
3g 2l
(cos 0
cos1)
sin
1
(c)
整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的
夹角
1
cos1(
2 3
cos0 )
3g 2l
(cos 0
cos
在绳 BO 刚剪断的瞬时,杆的角速度ω = 0 ,角加速度 ε≠0.因此
aACn = AC ·ω2 = 0
而
aAC = lε/2
又 aAn = 0,加速度各分量的方向如图(c)所示.把 aA 投影到点 A 轨迹的法线 AO 上,就得到
0
aCx
cos
aCy
sin
a
A
C
sin
即
aCxcos
-
aCysin
δ yD l sin 1 δ1 δ yE l(2 sin 1 δ1 sin 2 δ2 ) δ xC 2l(cos1 δ1 cos2 δ2 )
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例题6-7
根据虚位移原理的平衡方程，有
δW F δ xC mg δ yD mg δ yE
F 2l(cos1 δ1 cos2 δ2 ) mgl sin 1 δ1 mgl(2 sin 1 δ1 sin 2 δ2 )
RxQ = maCx , RyQ = maCy
aAt y
T aC
ε
y
C aCx
x
G
力偶矩 MCQ 的大小是
MCQ = JCz´ε
旋向与ε相反( 如图b)
例题
由动静法写出杆的动态平衡方程,有
Fx 0, Fy 0,
mC (F ) 0,
maCx T cos 0
maCy mg T sin 0
mvC2
1 2
JC 2
1 6
ml 2 2
vA
A
C
vC
由动能定理得：
1 ml 2 2 1 mgl
6
2
3g l
例题4
2. 求杆刚刚到达地面时的地面约束力
由刚体的平面运动微分方程得
mg N maC
N l 1 ml2
2 12
aC aA art arn
N aA
A
将上式沿铅垂方向投影，得
aC
art
J Cz
T
l 2
sin
0
（1） （2）
（3）
且对于细杆 , JCz´ = ml2/12.
利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心 C 作基点,则点 A 的加速度为
aA = aAn + aA = aCx + aCy + aAC + aACn
例题
aA = aAn + aA = aCx + aCy + aAC + aACn
例题6-7
解： 本例的系统具有两个自由度，它的位置可以
用角 1 和 2 (以顺时针为正)来表示。各主动力的
作用点有关坐标是
yD l cos1 yE 2l cos1 l cos2 xC 2l sin 1 2l sin 2
这就是约束方程。
mg
F mg
当角 1 和 2 获得变分 1 和 2 时，各点的有关虚位移是
l 2
sin
0
（4）
这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件.
例题
由动静法写出杆的动态平衡方程,有
Fx 0, Fy 0,
mC (F ) 0,
maCx T cos 0
maCy mg T sin 0
J Cz
T
l 2
sin
0
（1） （2）
（3）
aCxcos
-
aCysin
1 2
l
联立求解得
N
1 4
mg
C
aC mg
例题
用长 l 的两根绳子 AO 和 BO 把长 l 、质量是 m 的匀质细杆悬在点 O
(图 a )。当杆静止时，突然剪断绳子 BO ，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。
解：
绳子 BO 剪断后,杆 AB 将开始在铅直面内
作平面运动。由于受到绳 OA 的约束，点 A
3g sin
(c)
4l
利用关系 dd d 把上式化成积分 dt d d
d
3g
sin d
0
4l 0
求得杆 AB的角速度
3g 2l
(cos 0
cos
)
(d )
例题
杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度 1:
MxC N A
当杆即将脱离墙时，NA→0。以NA= 0代 入(1)，再根据(a)得
lcos1 l2 sin 1
l 2
sin
0
（4）
联立求解方程(1)～(4),就可求出
T
mg sin 4 sin 2 cos2
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mg
例题6-7
图中两根匀质刚杆各长 2l ，质量为 m ，在 B 端用铰链连接， A 端用铰链固定，而自由端 C 有水平力 F 作用，求系统在 铅直面内的平衡位置。
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mg
F mg
xC lcos l2 sin
(a)
yC lsin l2 cos
( b)
把 (a)和(b)分别代入 (1)和(2), 再把 NA和 NB的值代入式 (3)
MxC N A
( 1)
MyC N B Mg
( 2)
IC NBl sin N Al cos (3)
例题
最后得杆 AB 的角加速度
)
(d )
例题4
长为l、质量为m的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当 杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和 地面约束力。
vA
A
C
vC
例题4
解: 由质心运动定理可知，直杆在倒下过程中其质心 将铅直下落。
1. 求杆刚刚到达地面时的角速度
杆刚刚到达地面时，A点为瞬心
vC
1 2
l
T
1 2
杆作平面运动,取坐标系 Oxyz ,则杆的运 动微分方程可写成
MxC N A
(1)
MyC NB Mg
(2)
IC NBl sin N Al cos (3)
例题
由几何关系知
xC l sin
( 4)
yC l cos
( 5)
将式(4)和(5)对时间求导,得
xC lcos ,
yC lsin
将在铅直平面内作圆周运动.在绳子 BO 刚剪断 的瞬时，杆 AB 上的实际力只有绳子 AO 的拉 aAt
力 T 和杆的重力 G。
T aC
ε
y
aCx
x
在引入杆的惯性力之前,须对杆作加速度
y
G
分析。取坐标系 Axyz 如图所示。
例题
杆的惯性力合成为一个作用在质心
的力 RQ 和一个力偶,两者都在运动平面 内， RQ 的两个分量大小分别是
例题
匀质细杆 AB 的质量是 M ,长度是 2l ,放在铅直面内,两端分别 沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位
置与墙成交角 0 ,初角速度等于零;试求杆沿铅直墙壁下滑时
的角速度和角加速度,以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成
的角度 1.。
例题
解： 在 A 端脱离墙壁以前,受力如图所示。