最新江苏省南京市高一下期末数学试卷((有答案))
【新结构】2023-2024学年江苏省南京外国语学校高一下学期6月期末考试数学试题(A卷)+答案解析
【新结构】2023-2024学年江苏省南京外国语学校高一下学期6月期末考试数学试题（A卷）❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若的方差为3，则的方差为()A.3B.6C.9D.122.若，则复数()A. B. C. D.3.在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定4.已知向量，若，则()A. B.1 C.2 D.35.异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为()A.1B.2C.3D.46.已知，则()A. B. C. D.7.三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，为P在面ABC内的射影，则的值为()A. B. C.1 D.28.如图，直线a、为异面直线，直线于于B，且在直线a上，，若直线a、所成的角为，则点M到直线b的距离是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的有()A.在中，B.在中，若，则C.在中，若，则D.在中，10.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点不含端点设SE与BC所成的角为与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有() A. B. C. D.11.如图，斜三棱柱的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，是BC的中点，则下列结论正确的有()A.B.与底面ABC所成角的正弦值为C.斜三棱柱的侧面积D.侧棱到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若M是内一点，且满足，则与的面积之比为__________.13.将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为__________.14.在棱长为1的正方体中，E、分别是棱、的中点，P是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是__________；与平面所成角的正切值为__________.四、解答题：本题共5小题，共60分。
2022-2023学年江苏省南京市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若复数z 满足i 2i z ⋅=+，则z =（）A ．5B ．5C ．6D ．6【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算模即可.【详解】因为i 2i z ⋅=+，所以()22i i2i 12i i iz ++===-，所以()22125z =+-=.故选：A2．2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线．某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为（）A ．90B ．92C ．93D ．92.5【答案】C【分析】由百分位数定义可得答案.【详解】根据题意，10个数据从小到大依次为83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，而1075%7.5⨯=，则这10名党员学习成绩的75%分位数为第8项数据93．故选：C ．3．甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（）A ．0.9B ．0.8C ．0.7D ．0.2【答案】C【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出该难题没被解出的概率，然后由对立事件的概率关系求解.【详解】该难题没被解出的概率为()()10.410.50.3p =--=，所以该难题被解决出的概率为10.7p -=．故选：C ．4．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A 测得滕王阁顶端仰角为30︒，此人往膝王阁方向走了42米到达点B ，测得滕王阁顶端的仰角为45︒，则滕王阁的高度最接近于（）（忽略人的身高）（参考数据：3 1.732≈）A ．49米B ．51米C ．54米D ．57米【答案】D【分析】设滕王阁的高度为h ，由题设可得3tan 423h CAD h ∠==+，即可求滕王阁的高度.【详解】设滕王阁的高度为h ，由题设知：45,30CBD CAD ∠∠=︒=︒，所以BD CD h ==，则42AD AB BD h =+=+，又3tan 423CD h CAD AD h ∠===+，可得425731h =≈-米.故选：D5．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为10cm ，圆柱部分高度为7cm ，已知陀螺的总体积为3120cm ，则此陀螺圆柱底面的面积为（）A ．210cmB ．215cmC ．216cmD ．220cm 【答案】B【分析】由13V V V Sh Sh =+=+柱锥柱锥，代入求解即可【详解】由题，圆锥部分高度为3cm ，故13V V V Sh Sh =+=+柱锥柱锥，即1120733S ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，可解得215cm S =，故选：B6．已知,αβ都是锐角，若4cos 5β=，12cos()13βα+=，则cos α=（）A ．865B ．6365C ．3365D ．3365-【答案】B【分析】先由已知条件求出sin ,sin()ββα+，再由()αβαβ=+-两边取余弦函数化简可求得结果【详解】因为β为锐角，4cos 5β=，所以2163sin 1cos 1255ββ=-=-=，因为,αβ都是锐角，所以0αβ<+<π，因为12cos()13βα+=，所以()()22125sin 1cos 11313βαβα⎛⎫+=-+=-= ⎪⎝⎭，所以[]cos cos ()αβαβ=+-()()cos cos sin sin βαββαβ=+++124536313513565=⨯+⨯=，故选：B7．如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB=，P 为CD 上一点，且满足12AP m AC AB =+ ，若||3AC =uuu r ，||4AB =，则AP CD ⋅ 的值为（）A ．3-B ．112C ．1312-D ．1312【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，因为点P 在CD 上，则()()2113AP AC AD AC AB λλλλ=+-=+-，又12AP mAC AB =+，利用平面向量的基本定理求出m 的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得AP CD ⋅的值.【详解】建立如图所示平面直角坐标系．已知||3AC =uuu r ，||4AB = ，π3BAC ∠=，得3||2OA =uur ，33||2OC = ，3(,0)2A ∴-，330,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，5(,0)2B ， 2AD DB =，∴28,033AD AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴7,06OD OA AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，733,62CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在CD 上，则()()2113AP AC AD AC AB λλλλ=+-=+- ，又12AP mAC AB =+ ，且AB 、AC 不共线，可得m λ=，且()21132λ-=，解得14m =．∴()11133311933,4,0,42422288AP AC AB ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴719333313682812AP CD ⋅=⨯-⨯=．故选：D ．8．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 为ABC 的面积，且222()a S b c =+-，则222sin sin sin sin B CB C+的取值范围为（）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)22,⎡+∞⎣【答案】C【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到sin 11cos 2A A -=，结合同角三角函数关系得到4sin 5A =，3cos 5A =，由正弦定理得到222sin sin 2sin sin B C b cB C c b+=+，且435tan 5c b B =+根据三角形为锐角三角形，得到3tan 4B >，求出35,53c t b ⎛=⎫∈ ⎪⎝⎭，利用对勾函数得到()2g t t t =+的最值，求出222sin sin sin sin B CB C+的取值范围.【详解】由三角形面积公式可得：1sin 2S bc A =，故22)n (si bc A a b c =+-，22211in 22s b c bc A a +--=，故sin 11cos 2A A -=，因为22sin cos 1A A +=，所以22sin sin 1121A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-，解得：4sin 5A =或0，因为ABC 为锐角三角形，所以sin 0A =舍去，故4sin 5A =，143cos 1255A =-⨯=，由正弦定理得：22222sin sin 22sin sin bc B C b c b cB C c b ++==+，其中sin sin cos cos sin 43sin sin 5tan 5c C A B A B b B B B +===+，因为ABC 为锐角三角形所以π2C <，故π2A B +>，所以π2B A >-，πcos 3tan tan 2sin 4A B A A ⎛⎫>-== ⎪⎝⎭，4160,5tan 15B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4335,5tan 553B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令35,53c t b ⎛=⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2g t t t =+为对勾函数，在3,25⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()()min 222222g t g ==+=，又31035956543,5351535315g g ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为59431515>，所以()max 5915g t =，则222sin sin 25922,sin sin 15B C b c B C c b +⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭.故选：C【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案.二、多选题9．已知向量()()2,1,,2a b m =-=，则下列结论正确的是（）A ．若a b∥，则4m =-B ．若a b ⊥，则1m =C ．若|2|||a b a b -=+，则1m =D ．若a b a +=，则4m =-【答案】AB【分析】根据向量平行的坐标表示判断A ，根据向量垂直的坐标表示判断B ，根据向量的模的坐标表示判断C ，D.【详解】对于A ，因为a b∥，所以()221m ⨯=-⨯，所以4m =-，A 正确；对于B ，因为a b ⊥，所以()2120m ⨯+-⨯=，所以1m =，B 正确；对于C ，因为|2|||a b a b -=+，所以()2360a a b -⋅= ，所以94m =，C 错误；对于D ，因为a b a += ，所以()220b a b +⋅=，所以0m =或4m =-，D 错误；故选：AB.10．已知函数()22sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（）A ．()22f x -≤≤B ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．23x π=为()f x 图象的一条对称轴【答案】AC【分析】将()f x 的解析式化为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐一判断即可.【详解】()22sin 23sin cos cos 3sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭所以()22f x -≤≤，故A 正确令2,6x k k π-=π∈Z 可得212k x ππ=+，满足()0,x π∈的有7,1212ππ，故B 错误()f x 的最小正周期为π，故C 正确当23x π=时，()1f x =-，所以23x π=不是()f x 图象的一条对称轴，故D 错误故选：AC11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为3或4”，事件N 为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A ．事件M 发生的概率为12B ．事件M 与事件N 互斥C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M N +发生的概率为12【答案】AC【分析】A 应用互斥事件加法求概率；B 由互斥事件的定义，结合题设描述判断；C 判断()()()P M N P M P N ⋂=是否成立即可；D 应用对立事件的概率求法求M N +发生的概率即可判断.【详解】由题设知：111()442P M =+=，A 正确；由M ：“第一次向下的数字为3或4”与N ：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生M 同时N 也有可能发生，故不是互斥事件，B 错误；因为11111()42424P M N ⋂=⨯+⨯=，而11111()22222P N =⨯+⨯=，故()()()P M N P M P N ⋂=，即事件M 与事件N 相互独立，C 正确；()1()1()P M N P M N P M N ⋃=-⋃=-⋂，M N ⋂表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”，故11111()42424P M N ⋂=⨯+⨯=，所以3()4P M N ⋃=，D 错误.故选：AC.12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，以1A 为圆心，1A A 为半径作圆弧1,AB E 为圆弧1AB 的三等分点（靠近点A ），则下列命题正确的是（）A ．12C E =B ．四棱锥1111E A B CD -的表面积为37244++C ．三棱锥111C A B E -的外接球的体积为73π15D ．若F 为1A A 上的动点，则1D F EF +的最小值为3【答案】ABD【分析】过E 作11EF A B ⊥，连接111111A E D E C E B E C F C E 、、、、、，根据条件求出1FC 、FE ，进而可以判断A 正确；分别求出四棱锥1111E A B C D -五个面的面积即可判断B 正确；根据条件找到球心，根据几何关系求出球的半径，即可判断C 错误；如图所示将平面11D DAA 沿着1AA 展开，即可判断D 正确.【详解】如图所示，过E 作11EF A B ⊥，连接111111A E D E C E B E C F C E 、、、、、，因为E 为圆弧1AB 的三等分点（靠近点A ），所以1160EA B ︒∠=，则11111EA A B EB ===，1112FA FB ==，由题意可得EF ⊥平面111A B C ，在1EFC △中，22111152FC FB B C =+=，13sin 602FE A E ︒=⋅=，则22112EC FE FC =+=，故A 正确；由题意可得111A D A E ⊥，111B C B E ⊥，则111111122A D E S A D A E =⋅⋅= ，111111122B C E S B C B E =⋅⋅= ,11111324A B E S A B FE =⋅⋅= ,111111111A B C D SA B B C =⋅=，在11D C E 中，因为2211112D E A D A E =+=，12C E =，111C D =，()112211712224D C ES ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，四棱锥1111E A B C D -的表面积为37244++；故B 正确；取11A C 中点1O ，11EA B 的重心2O ，因为111A B C △为等腰直角三角形，所以其外接圆圆心为1O ，因为11A B E △为等边三角形，所以其外接圆圆心为2O ，过1O 作平面111A B C 的垂线1OO ，过2O 作平面11A B E 的垂线1OO ，1OO 、1OO 交于点O ，则O 为三棱锥111C A B E -的外接球的球心，则121336OO FO EF ===，1122O C =，所以221111216OC OO O C =+=，即外接球的半径216R =，三棱锥111C A B E -的外接球的体积为34721ππ354V R ==，故C 错误；如图所示将平面11D DAA 沿着1AA 展开，连接1D E ，交1AA 于点F ，133,22D F EF ==则根据两点之间距离最短可知此时1D F EF +最小，最小值为22113D E D F EF =+=，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为20，则抽取老年医生的人数为．【答案】9【分析】根据抽样比相等即可求解.【详解】由题意可得：抽样比为2011608=，所以抽取老年医生的人数为17298⨯=，故答案为：9.四、解答题14．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan 3α=，tan 2β=-，求角αβ+的值．【答案】3π4αβ+=【分析】利用两角和的正切公式求出()tan αβ+，再根据αβ+的范围求出αβ+.【详解】()()12tan tan 3tan 111tan tan 123αβαβαβ-++===---⨯-，又π3π,22⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭αβ，故3π4αβ+=．【点睛】本题考查两角和的正切公式、已知正切值求角，属于基础题.五、填空题15．已知样本容量为5的样本的平均数为3，方差为185，在此基础上获得新数据9，把新数据加入原样本得到样本容量为6的新样本，则该新样本的方差为．【答案】8【分析】根据均值公式与方差公式计算．【详解】记原来的数据为12345,,,,x x x x x ，新增数据为6x ，由题意123455315x x x x x ++++=⨯=，222221234518(3)(3)(3)(3)(3)5185x x x x x -+-+-+-+-=⨯=，69x =，则123456159466x x x x x x ++++++==，222222123456(4)(4)(4)(4)(4)(4)x x x x x x -+-+-+-+-+-2222112255(3)2(3)1(3)2(3)1(3)2(3)194x x x x x x =---++---+++---++- （）222125125(3)(3)(3)2(15)525x x x x x x =-+-++--+++-++ 183048=+=，所以新方差为4886=．故答案为：8.16．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AB BC CA ===，异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为24，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．【答案】283π/283π【分析】分别取,,,AC SA SB AB 的中点,,,M N E F ，得到MNE ∠为异面直线SC 与AB 所成的角，得出2cos 4MNE ∠=，设SA t =，由余弦定理求得t 的值，再找出三棱锥的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求解.【详解】如图，分别取AC 、SA 、SB 、AB 的中点M 、N 、E 、F ，连接MN 、NE 、EF 、MF 、ME ，可得//MN SC ，//NE AB ，则MNE ∠为异面直线SC 与AB 所成角，∴2cos 4MNE ∠=，由SA ⊥面ABC ，而//EF SA ，故EF ⊥面ABC ，MF ⊂面ABC ，则EF MF ⊥，设SA t =，可得2142MN t =+，112NE AB ==，12EF t =，1MF =，则214t ME =+，在MNE 中，由余弦定理，可得2222cos ME MN NE MN NE MNE =+-⋅∠，∴222121112414424t t t +=++-⨯+⨯⨯，解得2t =，设底面三角形ABC 的中心为G ，三棱锥S ABC -的外接球的球心为O ，连接OG ，则OG ⊥平面ABC ，由底面三角形ABC 是边长为2的等边三角形，可得22232133AG =-=，∴O 为三棱锥外接球的球心，∴OA OS =，则ON SA ⊥，//GA ON ，又2SA =，可得112OG SA ==，则三棱锥S ABC -的外接球的半径2273R OA AG OG ==+=．∴三棱锥S ABC -的外接球的表面积为2728π4π()33S =⨯=．故答案为：28π3．六、解答题17．已知复数()256(1)i,z m m m m =+-+-∈R ．(1)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围；(2)若z 是纯虚数，求m 的值．【答案】(1)(,6)-∞-(2)6-【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可；（2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可【详解】（1）由题意可得256010m m m ⎧+->⎨-<⎩，解得61,61m m m m ⎧-∴<-⎨<⎩或；m ∴的取值范围为(,6)-∞-；（2）由题意可得256010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得6m =-．m ∴的值为6-．18．已知向量()1,2a =r，()3,2b =- .（1）求a b -r r；（2）求向量a 与向量b的夹角θ的余弦值；（3）若10c = ，且()2a c c +⊥ ，求向量a 与向量c的夹角.【答案】（1）25；（2）6565-；（3）3,4a c π= ..【分析】（1）先求出a b -的坐标，再求其模；（2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由()2a c c +⊥，得()20a c c +⋅= 化简结合已知条件可得答案【详解】解：（1）因为()1,2a =r ，()3,2b =- ，所以()2,4a b -=-.所以22(2)425a b -+=-= .（2）因为132(2)1a b =⨯+⨯--⋅=，22125a =+=r，223(2)13b =+-=，所以c 16565os 513a ba bθ-=-⨯⋅==.（3）因为()2a c c +⊥，所以()20a c c +⋅=.即220a c c ⋅+= .所以22cos ,0a c a c c += .即2510cos ,100a c ⨯⨯⨯+=，所以2cos ,2a c =- .因为[],0,a c π∈ ，所以3,4a c π= .19．北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F 遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．【答案】(1)64.5(2)1115【分析】（1）首先根据频率和为1，求a ，再根据平均数公式，即可求解；（2）首先确定各组抽取的人数，再通过列举的方法求古典概型的概率.【详解】（1）根据题意知()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，所以这100名同学得分的平均数是450.00510550.03510650.03010750.02010850.0101064.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=答：平均数是64.5．（2）由条件知从[)60,70抽取3名，从[)70,80中抽取2名，从[]80,90抽取1名，分别记为12312,,,,,a a a b b c ，因此样本空间可记为()()()()()()(){()()()()()()()()}1213111212321222313231212Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a a a b a b a c a b a b a c b b b c b c =用A 表示“这2名同学的得分不在同一组”，则{}11121212223132312(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a b a b a c a b a b a c a b a b a c b c b c =A 包含样本点的个数为11，所以()1115P A =答：这2名同学的成绩分别在[)[]60,70,80,90各一名的概率是111520．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =+．(1)求角B 的大小；(2)若23b =，D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．【答案】(1)2π3B =(2)3【分析】（1）利用正弦定理化简2cos 2b C a c =+，再根据三角形中角的范围可求得2π3B =；（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得4ac =，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得4ac =，然后根据面积公式即可.【详解】（1）由正弦定理知：2sin cos 2sin sin B C A C =+又：()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+代入上式可得：2cos sin sin 0B C C +=()0,πC ∈，则sin 0C >故有：1cos 2B =-又()0,πB ∈，则2π3B =故B ∠的大小为：2π3（2）若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCDS S S =+△△△则有：12π1π1πsin1sin 1sin 232323ac c a =⨯⨯+⨯⨯，即ac a c =+在ABC 中，由余弦定理可得：2222π2cos3b ac ac =+-又23b =，则有：2212a c ac ++=联立2212ac a c a c ac =+⎧⎨++=⎩可得：()--=2120ac ac 解得：4ac =（3ac =-舍去）故12π13sin 432322ABC S ac ==⨯⨯=△若选②：可得：12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222211244BD BA BC BA BA BC BC →→→→→→→⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2212π12cos43c ac a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，可得：224a c ac +-=在ABC 中，由余弦定理可得：2222π2cos3b ac ac =+-，即2212a c ac ++=联立2222412a c ac a c ac ⎧+-=⎨++=⎩解得：4ac =故12π13sin 432322ABC S ac ==⨯⨯=△21．如图，三棱锥-P ABC 的底面是等腰直角三角形，其中2AB AC ==，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，F ，M ，N 分别是AB ，AC ，PC ，BC 的中点.（1）证明：平面EMN ⊥平面PAB ；（2）当PF 与平面ABC 所成的角为3π时，求二面角M EN B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77-.【分析】（1）首先根据面面垂直的性质定理证明线面垂直，再通过线面垂直证明面面垂直；（2）首先找到直线PF 与平面ABC 所成角，计算得到PE 的长，方法一是由向量法求角，再根据角是钝角，进而求得角的余弦值；方法二是根据几何法找角，再边长求角的余弦值.【详解】（1）证明：由题意可得，AB AC ⊥，点E ，N 分别是AB ，BC 的中点，故//EN AC ，故EN AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB ，故EN ⊥平面PAB 又EN 在平面EMN 内，故平面EMN ⊥平面PAB ；（2）连结PE ，由PA PB =，点E 是AB 的中点，可知PE AB ⊥，再由平面PAB ⊥平面ABC ，可知PE ⊥平面ABC ，连结EF ，可知PFE ∠就是直线PF 与平面ABC 所成的角，于是tan 3PEPFE EF=∠=，22336PE EF AE AF ==⋅+=法一：分别以EB ，EN ，EP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)E ，(0,1,0)N ，(1,2,0)C -，(0,0,6)P ，16,1,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,0)EN →=，16,1,22EM →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面MEN 的一个法向量为n (x,y,z)→=，则00n EN n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得016022y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩取6x =，则1z =，即平面MEN 的一个法向量为(6,0,1)n →=，又平面ABC 的一个法向量为()10,0,1n =，于是1117cos 77||n n M EN B n n →→→→⋅〈--〉===⋅注意到二面角M EN B --是钝角，所以二面角M EN B --的余弦值为77-.法二：取PA 的中点Q ，连结EQ ，MQ ，则//MQ EN ，得点Q 在平面EMN 内.又因为平面PAB ⊥平面ABC ，EQ 在平面ABC 内的射影就是EA ，由EN AB ⊥，得EN EQ ⊥，故二面角M EN B --的平面角为QEB QEA π∠=-∠，PAB ∆是等腰三角形，点Q ，E 分别是PA ，AB 的中点，故QEA PBA ∠=∠.于是2217cos 71(6)BE PBA PB ∠===+所以7cos cos()7QEB QEA π∠=-∠=-所以二面角M EN B --的余弦值为77-.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．已知函数()22sin cos 23cos 3222x x xf x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若不等式()3f x m -≤对任意,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求整数m 的最大值；(3)若函数()2g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()()1sin cos 02h x k x x -+=在5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2π(2)4(3)22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式求得π()2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而可求周期；（2）先求函数()f x 的最值，再根据恒成立建立不等式组即可求解；（3）将问题转化为二次方程有解问题解决.【详解】（1）由题意得，()22sin cos 23cos 3222x x xf x =+-2sin 32cos 12x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭sin 3cos x x =+π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.可得函数()f x 的最小正周期为2π.（2）因为ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π633x ≤+≤，所以1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当π6x =-时，()f x 的最小值为1；当π6x =时，()f x 的最大值为2，所以()12f x ≤≤.由题意得，()33f x m -≤-≤，所以()33m f x m -≤≤+对一切ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，所以3132m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得14m -≤≤，所以整数m 的最大值为4.（3）由题意知，()ππππ2sin 2sin 2236g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移π12个单位得()ππ2sin 22sin 2126h x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为关于x 的方程()()1sin cos 02h x k x x -+=在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，整理得：()sin 2sin cos 0x k x x -+=，即()2sin cos sin cos 0x x k x x -+=（*）在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2π,436x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令π22sin ,242t x ⎡⎤⎛⎫=+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（*）式可转化为：210t kt --=在2,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内有解，所以1k t t =-，2,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又因为y t =和1y t =-在2,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数，所以1y t t =-在2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，所以当22t =时，1k t t =-取得最小值22-；当2t =时，1k t t =-取得最大值22，所以22,22k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，综上所述：k 的取值范围为22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知()()cos15,sin15,cos 75,sin 75OA OB =︒︒=︒︒，则AB =A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】D 【详解】()()()()22cos 75cos15,sin 75sin15cos 75cos15sin 75sin1522cos 7515211AB =--=-+-=--=-=.故选D .2．平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A ．α内有无穷多条直线都与β平行；B ．直线a α⊂，直线b β⊂，且b a αβ, ；C ．直线,a a αβ∥∥，且直线a 不在α内，也不在β内；D ．α内的任何一条直线都与β平行.【答案】D【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.【详解】对于A ，α内有无穷多条直线都与β平行，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β可以相交，A 错误；对于B ，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β也可以相交，B 错误；对于C ，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β也可以相交，C 错误；对于D ，由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行，D 正确.故选：D3．i 为虚数单位，则32i -满足的方程是（）A ．26130x x --=B ．26130x x ++=C ．26130x x +-=D ．26130x x -+=【答案】D【分析】根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】四个选项中的方程是实数系一元二次方程，所以可知32i -是实系数一元二次方程的根，因此32i +也是该实系数一元二次方程的根，而()()32i+3+2i 6,32i 3+2i 9413-=-=+=，因此选项D 符合，故选：D4．设D 为ABC 所在平面内一点，3CD BD =，则（）A ．1433AD AB AC=-+B ．3122AD AB AC =-C ．3212AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC=- 【答案】B【分析】根据3CD BD =，可推得12BD CB =，利用向量的加减运算，可求得答案.【详解】由3CD BD =可得2CD BD BD -=，即12BD CB =,故1131=+=+=+()=2222AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC --,故选：B二、多选题5．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（）2010至2022年我国新生儿数量折线图A ．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B ．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C ．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D ．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差【答案】AC【分析】根据折线图逐项进行分析验证即可求解.【详解】对于A ，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A 正确；对于B ，由图可知共有13个数据，因为1325% 3.25⨯=，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B 错误；对于C ，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C 正确；对于D ，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D 错误，故选：AC.三、单选题6．设常数a 使方程sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解()1,2,3,4,5i x i =，则51i i x ==∑（）A ．73πB ．256πC ．133πD ．143π【答案】C【分析】令π()sin 23cos 22sin 23f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，作出函数在[]0,2π上的图像，判断方程sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解的条件，解方程.【详解】13πsin 23cos 22sin 2cos 22sin 2223x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图像:由图像可知，sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解，只有3a =时才能成立，由π2sin 2=33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈解得：1=0x ，2π=6x ，3=πx ，47π=6x ，5=2πx 51π7π13π0++π++2π=663ii x==∑，故选：C7．已知一组数1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是1x =，方差22s =，则数据121x +，221x +，321x +，421x +的平均数和方差分别是（）A ．3，4B ．3，8C ．2，4D ．2，8【答案】B【分析】根据1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是1，方差是2，可计算出1234x x x x +++、22222341x x x x +++值，代入另一组的平均数和方差的计算公式即可．【详解】由题知，1234144x x x x +++=⨯=，()()()()222221234111114s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦2222123412341[()2()14]24x x x x x x x x =+++-++++⨯=，2222123412x x x x ∴+++=．另一组数据的平均数()12341212121214x x x x =+++++++()()123411214244344x x x x ⎡⎤=++++⨯=⨯+=⎣⎦，另一组数据的方差222212341[(213)(213)(213)(213)]4x x x x =+-++-++-++-()()()2222123412341148444123216844x x x x x x x x ⎡⎤=+++-++++⨯=⨯-+=⎣⎦．故选：B ．四、多选题8．已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=【答案】ACD【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出1θ，2θ，3θ，即可判断选项A 、B ，将123cos cos cos θθθ根据诱导公式化为π2π4π77cos cos cos 7，分子分母同乘sin π7，结合倍角公式即可判断C ，将123cos cos cos ++θθθ通过诱导公式化为coscos 2π4π6π777cos ---，再将分子分母同乘sin π7，结合积化和差公式进行化简即可判断D.【详解】解：由题知1θ，2θ，3θ是cos 4cos30+=θθ的三个根，cos 4cos30+=θθ可化为cos 4cos3=-θθ，即()cos 4cos π3=+θθ，所以可得4π32πk =++θθ或4π32πk ++=θθ，Z k ∈，解得π2πk =+θ或π2π77k =-+θ，Z k ∈，因为()0,πθ∈，所以π2πk =+θ不成立，当π2π77k =-+θ，Z k ∈成立时，取1k =，解得()π0,π7=∈θ，取2k =，解得()3π0,π7=∈θ，取3k =，解得()5π0,π7=∈θ，取4k =，解得()π0,π=∉θ（舍），故1π7=θ，23π7=θ，35π7=θ，所以选项A 正确；因为1239ππ7++=≠θθθ，所以选项B 错误；123cos cos cos cos cos π3πc s5π777o =θθθπ4π2π777cos cos πcos π⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-ππ2π4π2sin π2π4π7cos cos 77coscos cos cos 7π7772sin 7==2π2π4π2sin 777cos π4s 7c sino =cos 4π4π2sin 77π8sin 7=π8ππsin πsinsin 1777πππ88sin 8sin 8sin 777⎛⎫+- ⎪⎝⎭====-，故选项C 正确；而123cos cos cos cosco π3π5π777s cos ++++=θθθ6π4πcos πcos πcos π2π777⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝-⎝⎭⎭coscos 2π4π6π77s 7co =---π2π4π6πsin 777cos cos c 7πsin 7os ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=π2ππ4ππ6πsin sin sin 7777cos cos c 77πossin 7⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=，根据积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，所以原式可化为：1π2ππ2ππ4ππ4ππ6ππ6πsin sin sin sin sin sin 2777777777777πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=1πsin 127π2sin 7⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；（2）遇见cos cos 2cos3cos 4αααα的形式，分子分母同乘sin α，再用倍角公式化简；（3）积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦.9．已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =D ．若()|0.2P B A =，则A 与B 相互独立【答案】BD【分析】对于A ，由题意可得()()P AB P B =，从而即可判断；对于B ，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C ，先求得()0.8P B =，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D ，判断()()()P AB P A P B =⋅是否成立即可.【详解】解：对于A ，因为()0.5P A =，()0.2P B =，B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，故错误；对于B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.50.20.7P A B P A P B +=+=+=，故正确；对于C ，因为()0.2P B =，所以()10.20.8P B =-=，所以()0.50.80.4P AB =⨯=，故错误；对于D ，因为()|0.2P B A =，即()0.2()P AB P A =，所以()0.2()0.1P AB P A =⨯=，又因为()()0.50.20.1P A P B ⨯=⨯=，所以()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故正确.故选：BD10．在ABC 中，下列说法正确的有：（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若A B >，则cos cos A B <C ．若A B >，则sin(2)sin(2)A B >D ．若A B >，则cos(2)cos(2)A B <【答案】ABD【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判断D 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin A B >，A 对；对于B 选项，因为0B A π<<<，且余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，故cos cos A B <，B 对；对于C 选项，取6B π=，23A π=，则3sin 2sin 32B π==，43sin 2sin 32A π==-，此时，sin 2sin 2AB <，C 错.对于D 选项，若A B >，则sin sin A B >，则22cos 212sin 12sin cos 2A A B B =-<-=，D 对；故选：ABD.11．如图所示，四边形A B C D ''''是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD 水平放置的直观图，其中，5A D ''=，2C D C B ''''==，点P '在线段C D ''上，P '对应原图中的点P ，则在原图中下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为14B ．与AB 同向的单位向量的坐标为34(,)55-C ．AD 在向量AB 上的投影向量的坐标为912(,)55-D ．|3|PA PB +的最小值为17【答案】ABD【分析】根据直观图可得四边形ABCD 为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A ；以点D为坐标原点建立平面直角坐标系，写出AB 的坐标，再根据与AB同向的单位向量为AB AB，即可判断B ；根据AD 在向量AB上的投影向量的坐标为AB AD AB ABAB⋅⋅ 即可判断C ；设()[]0,,0,4P y y ∈，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.【详解】解：由直观图可得，四边形ABCD 为直角梯形，且5,4,2AD CD BC ===，则四边形ABCD 的面积为()254142+⨯=，故A 正确；如图，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,5,0,0,4,2,4D A C B ，则()3,4AB =- ，所以与AB同向的单位向量的坐标为34,55AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；()5,0AD =-，则AD 在向量AB上的投影向量的坐标为()3,415912,5555AB AD AB ABAB -⋅⎛⎫⋅=⨯=- ⎪⎝⎭，故C 错误；设()[]0,,0,4P y y ∈，则()()5,,2,4PA y PB y =-=-，则()317,44PA PB y +=- ，()2231744PA PB y +=+- ，当1y =时，3PA PB +取得最小值17，故D 正确.故选：ABD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点,,,E F G M 分别是1111,,,BC AA C D BB 的中点则（）A ．直线1,AG EF 是异面直线B ．平面1DMC 截正方体所得截面的面积为122C ．三棱锥11A MCD -的体积为163D ．三棱锥11A BDC -的内切球的体积为323π27【答案】ACD【分析】对于A ，根据异面直线的概念即可判断；对于B ，利用平面基本性质作出截面图形，从而可以判断；对于C ，利用等体积法求解锥体体积即可判断；对于D ，利用体积分割法求出锥体的内切球的半径，代入球的体积公式即可判断.【详解】对于A ，如图，取11B C 的中点P ，连接PE ，取PE 的中点Q ，连接1AQ ，则11,A F EQ A F EQ =∕∕，所以四边形1A FEQ 是平行四边形，所以1EF AQ ∕∕，又因111AG AQ A ⋂=，所以直线1,AG EF 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，延长1,C M CB 交于点H ，连接HD 交AB 点N ，连接1,MN AB ，因为11,BB CC M ∕∕为1BB 的中点，则112BM CC =，所以B 为HC 的中点，因为AB CD ∕∕，所以N 为AB 的中点，则1MN AB ∕∕，因为1111,AD B C AD B C =∕∕，所以11AB C D 为平行四边形，所以11AB DC ∕∕，所以1MN DC ∕∕，则平面1DMC 截正方体所得截面为等腰梯形1MNDC ，在等腰梯形1MNDC 中，1142,22,25DC MN DN MC ====，则梯形的高为20232-=，所以等腰梯形1MNDC 的面积为()422232182+⨯=，故B 错误；对于C ，连接11,BC B C ，则11BC B C ⊥，因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，又11,,AB BC B AB BC =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，又因为M 为1BB 的中点，所以三棱锥11M AC D -的高为1124B C =，111424822AC D S =⨯⨯= ，所以111111682233A MC D M AC D V V --==⨯⨯=，故C 正确；对于D ，由题意，三棱锥11A BDC -为边长42的正面体，设其内切球的球心为O ，半径为R .则11111111211111134(42)3333334A BDC A BD A C D A CBC BD V S R S R S R S R S R R -=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯ 表，又11131164444444323A BDC A ABD V V V --=-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，所以213644(42)343R ⨯⨯⨯⨯=，解得233R =，则三棱锥11A BDC -的内切球的体积为3423323ππ3327⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.五、填空题13．某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为.【答案】35【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】应抽取的理科生人数为：()501000300351000⨯-=.故答案为：35.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的理解能力和计算能力.14．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为【答案】25【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解．【详解】用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，设圆台的母线长为l ，该圆台的侧面积为35π，∴由圆台侧面积公式可得()π123π35πl l +==，解得5l =，设截去的圆锥的母线为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l '='+，解得5l '=，∴原圆锥的母线长为5525l l +=+='．故答案为：25．15．已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅= ，则cos B =.【答案】112【详解】试题分析：设,,a b c 为角,,A B C 所对的边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，则2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=--- 即()()23330a c GA b c GB -+-= ，又因为,GA GB 不共线，则23=0a c -,33=0b c -,即233,a b c ==所以33,23b b ac ==，2221cos 212a c b B ac +-∴==.【解析】向量及解三角形.16．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽72AB =码，球门宽8EF =码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得EPF ∠最大，这时候点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O 处（OA AB =，OA AB ⊥）时，根据场上形势判断，有OA 、OB 两条进攻线路可供选择.若选择线路OA ，则甲带球码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB ，则甲带球码时，到达最佳射门位置.【答案】72165-722165-【分析】若选择线路OA ，设AP t =，利用两角差的正切公式可得出tan EPF ∠关于t 的表达式，利用基本不等式可求得tan EPF ∠的值及OP 的长；若选择线路OB ，若选择线路OB ，以线段EF 的中点N为坐标原点，BA 、AP 的方向分别为x 、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果.【详解】若选择线路OA ，设AP t =，其中072t <≤，32AE =，32840AF =+=，则32tan AE APE AP t ∠==，40tan AF APF AP t∠==，所以，()tan tan tan tan 1tan tan APF APE EPF APF APE APF APE∠-∠∠=∠-∠=+∠∠2240328885128012801280201280112t t t t t t t t t-===≤=+++⋅，当且仅当1280t t=时，即当165t =时，等号成立，此时72165OP OA AP =-=-，所以，若选择线路OA ，则甲带球72165-码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB ，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA 、AP 的方向分别为x 、y 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()36,0B -、()36,72O 、()4,0F -、()4,0E ，7213636OB k ==+，直线OB 的方程为36y x =+，设点(),36P x x +，其中3636x -<≤，36tan 4PF x AFP k x +∠==+，36tan 4PE x AEP k x +∠==-，所以，()tan tan tan tan 1tan tan AEP AFP EPF AEP AFP AEP AFP∠-∠∠=∠-∠=+∠∠()()()2222836363684416363616361361443616x x x x x x x x x x x x x x x +++--+-===++-++⋅+++-++-，令(]360,72m x =+∈，则36x m =-，所以，()223616161280128036272227236m x x m m m x m m m---++=+=+-≥⋅-+321072=-，当且仅当12802m m =时，即当810m =，即当81036x =-时，等号成立，所以，881tan 12803210724109272EPF m m∠=≤=--+-，当且仅当81036x =-时，等号成立，此时，()23681036722165OP =⋅--=-，所以，若选择线路OB ，则甲带球722165-码时，到达最佳射门位置.故答案为：72165-；722165-.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.六、解答题17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[)60,70之间的人数．分数段[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90:x y 1:12:13:44:5【答案】(1)0.005a =(2)73分(3)20人【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出a 的值．（2）由频率分布直方图能求出平均分．（3）由频率分布直方图能求出语文成绩在[)60,70的人数，从而得解．【详解】（1）解：由频率分布直方图可得：10(20.020.030.04)1a ⨯+++=，解得0.005a =．（2）解：由频率分布直方图可得平均分为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（分)，（3）解：数学成绩在[)60,70的人数为11000.0410202⨯⨯⨯=（人)．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(),3m a b =u r ，()cos ,cos 2n B A ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥ ．(1)求A ；(2)若3c =，△ABC 的面积为332，求a ．【答案】(1)3A π=(2)7a =．【分析】（1）由m n ⊥ 结合正弦定理的边化角公式得出A ；（2）由面积公式得出2b =，再由余弦定理得出7a =.【详解】（1）由()cos ,cos 2n B A ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin ,cos n B A =- ，又m n ⊥ ，所以sin 3cos 0a B b A -=．由正弦定理得sin sin 3sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，所以sin 3cos 0A A -=，即tan 3A =．又A 为△ABC 的内角，所以3A π=．（2）由1sin 2ABC S bc A = 得，33133222b =⨯⨯，解得2b =．又根据余弦定理得2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以7a =．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，点M ，N 分别是线段11AC ，1A B 的中点．(1)求证：平面1A BC ⊥平面1A AB ；(2)设平面1MNB 与平面11BCC B 的交线为l ，求证：//MN l ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件证明1BC AA ⊥即可推理作答.(2)连接1BC ，证明//MN 平面11BCC B ，再结合线面平行的性质即可推理作答.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，则1BC AA ⊥，又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面1A AB ，于是得BC ⊥平面1A AB ，而BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面1A AB .（2）连接1BC ，如图，因点M ，N 分别是线段11AC ，1AB 的中点，则1//MN BC ，因1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ，因此，//MN 平面11BCC B ，而平面1MNB ⋂平面11BCC B l =，MN ⊂平面1MNB ，所以//MN l .20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】（Ⅰ）1085,17,{()85, 17,n n y n N n -<=∈>（Ⅱ）0.160.160.150.130.10.7p =++++=【详解】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y ＝85．当日需求量n<17时，利润y ＝10n －85．所以y 关于n 的函数解析式为1085,17{85,17n n y n -<=≥（n ∈N ）．（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．【解析】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数21．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC 的内心，记△OBC ，,OAC OAB的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=，2AB =．(1)若ABC 为锐角三角形，求AC 的取值范围；(2)在①4sin sin cos 21B A A +=；②12cos 12cos 0sin sin A B A B--+=；③cos cos 1a C c A +=中选一个作为条件，判断△ABC 是否存在，若存在，求出ABC 的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【答案】(1)(3,23)(2)答案见解析【分析】（1）由题意，根据ABC 的内切圆的性质可得222a c b ac +-=，利用正、余弦定理可得sin 3sin sin AB B AC C C⋅==，结合角C 的取值范围即可求解；（2）选择①，根据正弦定理可得2a b =，由（1）得23440b b -+=，方程无解即△ABC 不存在．选择②，根据三角恒等变换可得24a b c +==，由（1）得2242a b a +-=，解得2a b ==，结合三角形的面积公式计算即可.选择③，由（1），根据余弦定理可得2412a a +-=，方程无解即△ABC 不存在．【详解】（1）设ABC 的内切圆半径为r ，因为22213132S S S S S +-=，所以22211111()()()()()22222ar cr ar cr br +-⋅=，化简得：222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π3B =，所以2π3A C +=，因为sin sin AC AB B C =，所以sin 3sin sin AB B AC C C⋅==，因为ABC 为锐角三角形，所以π02C <<，2ππ032C <-<，解得：ππ62C <<，所以1sin 12C <<，所以AC 的取值范围为(3,23)．（2）选择①，因为4sin sin cos 21B A A +=，所以24sin sin 1cos 22sin B A A A =-=，因为sin 0A ≠，所以sin 2sin 0A B -=，所以2a b =，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以22444b b b +-=，整理得23440b b -+=，方程无实数解，所以ABC 不存在．选择②，由12cos 12cos 0sin sin A B A B--+=得：sin sin 2(sin cos cos sin )0A B A B A B +-+=，所以sin sin 2sin()A B A B +=+，即sin sin 2sin A B C +=，所以24a b c +==，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以2242a b a +-=，所以224(4)2a a a +--=，解得2a b ==，所以ABC 存在且唯一，ABC 的面积113sin 43222S ac B ==⨯⨯=．选择③，因为cos cos 1a C c A +=，所以222222122a b c b c a a c b ab bc+-+-⋅+⋅==，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以2412a a +-=，整理得2230a a -+=，方程无实数解，所以ABC 不存在．22．三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.(1)求证：1A N //平面1C MA ；(2)求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；(3)求点C 到平面1C MA 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)23(3)43【分析】（1）先证明四边形11MNAC 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【详解】（1）连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，MN //AC ，且12AC MN ==，由棱台性质，11AC //AC ，于是MN //11AC ，由111MN AC ==可知，四边形11MNAC 是平行四边形，则1A N //1MC ，又1A N ⊄平面1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是1A N //平面1C MA .（2）过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ,连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，又1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，故1AC MF ⊥.于是平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠.又12AB ME ==，11cos 5CAC ∠=，则12sin 5CAC ∠=，故121sin 5EF CAC =⨯∠=，在Rt MEF 中，90MEF ∠= ，则43155MF =+=，于是2cos 3EF MFE MF ∠==（3）[方法一：几何法]过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R .由题干数据可得，115C A C C ==，22115C M C P PM =+=，根据勾股定理，21232522C Q ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，又1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ .又PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，又1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，故PR ⊥平面1C MA .在1Rt C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅===，又2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43.[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C 到平面1C MA 的距离为h .()1211112223323C AMC AMC V C P S -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ，1111132233222C C MA AMC h V h S h -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .由11223C AMC C C MA h V V --=⇔=，即43h =.。
2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 2022的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（ ） A ．6B ．6.5C ．7D ．5.53．向量a →与b →不共线，AB →=a →+k b →，AC →=l a →+b →（k ，l ∈R ），且AB →与AC →共线，则k ，l 应满足（ ） A ．k +l ＝0B ．k ﹣l ＝0C ．kl +1＝0D ．kl ﹣1＝04．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A ．3π4B ．π2C ．π4D ．√3π245．已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(2，−1)，若a →∥b →，则tan(θ+π4)=（ ） A ．﹣3B ．−13C ．13D ．36．从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A ．15B ．310C ．25D ．127．在△ABC 中，下列命题正确的个数是（ ） ①AB →−AC →=BC →； ②AB →+BC →+CA →=0→；③若（AB →−AC →）•（AB →+AC →）＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④AC →•AB →＞0，则△ABC 为锐角三角形． A ．1B ．2C ．3D ．48．已知锐角△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2B ﹣sin 2A ＝sin A •sin C ，c ＝3，则a 的取值范围是（ ） A ．（23，2）B ．（1，2）C ．（1，3）D ．（32，3）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2024届江苏南京鼓楼区数学高一第二学期期末统考试题含解析
2024届江苏南京鼓楼区数学高一第二学期期末统考试题 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12 C ．13 D ．142．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =+，则2016a =（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．20163．在直角ABC 中，AB AC ⊥，线段AC 上有一点M ，线段BM 上有一点P ，且::2:1CM AM PB MP ==，若2AB CM ==，则AP BC ⋅=（ ） A ．1 B ．23- C ．143 D ．234．若变量,x y 满足约束条件20,{0,220,x y x y x y +≥-≤-+≥则2z x y =-的最小值等于 （ ）A ．52-B ．2-C ．32-D ．25．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，3A π=，则sin c C 的值为（ ）A ．4B ．433C ．23D ．346．不等式的解集是（ ) A ．B ．C ．D ．7．sin 40sin 20cos160cos40︒︒+︒︒=（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 8．若,a b ∈R 且||a b <，则下列四个不等式：①()0a b a +>，②()0a b b -<，③20b a ->，④33a b >中，一定成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．①②③④9．已知在ABC ∆中，D 为AC 的中点，2BC =，cos ,1BA BA BC =-，点P 为BC 边上的动点，则()2PC PB PD ⋅+最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2512-D ．－210．下面一段程序执行后的结果是（ ）2a =*2a a =2a a =+ PRINT a ENDA ．6B ．4C ．8D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届江苏省南京市溧水区三校数学高一第二学期期末监测试题含解析
2024届江苏省南京市溧水区三校数学高一第二学期期末监测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．4sin()3π-的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－322．要得到函数的图象，只要将函数的图象( )A ．向左平行移动个单位B ．向右平行移动个单位C ．向右平行移动个单位D ．向左平行移动个单位3．右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．182B ．16C ．1112D ．2234．已知数列{}n a 的前n 项为和n S ，且24n n S a =-，则63S S =（ ） A ．5 B ．132C ．172D ．95．已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2B ．0C ．1D ．26．函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．4πx =-D ．2x π=-7．已知正实数x y 、满足224x y +=，则21x y +的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．948．已知1e ，2e 是两个单位向量，且夹角为23π，则12e te -与12te e -数量积的最小值为（ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-9．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A ．出租车车费与出租车行驶的里程 B ．商品房销售总价与商品房建筑面积 C ．铁块的体积与铁块的质量 D ．人的身高与体重10．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研 数学试卷【含答案】
2023-2024学年第二学期六校期末调研高一数学一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分)1．若34i12iz +=-，则z =（）AB ．3C D ．52．已知向量(),1a m =，()1,23b m =- ，若a b ⊥ ，则实数m 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．已知4π1cos ,,0,tan 522⎛⎫=∈-= ⎪⎝⎭ααβ，则()tan αβ-的值为（）A ．25-B ．1011-C ．211-D ．2-4．已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（）A ．3πB C ．πD ．2π5．在某城市正东方向200km 处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h ，距离台风中心150km.以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： 1.4)≈（）A ．2B ．4.5C ．9.5D ．106．从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A 表示事件“甲被选中参加比赛”，B 表示事件“乙没被选中参加比赛”，C 表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 独立C ．A 与C 互斥D ．A 与C 独立7．在如图所示的几何体中，底面ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，BG ，1CC ，1DD 均与底面ABCD 垂直，且.1112AA CC DD BG ====点E 、F 分别为线段BC 、1CC 的中点，记该几何体的体积为V ，平面AFE 将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（）A ．715B ．722V C ．724V D ．817V 8．已知点P 为△ABC 内一点，且∠ABP =30°，∠PBC =15°，∠PCB =15°，∠PCA =60°，则∠PAC 的正切值为（）A ．633-B ．23C ．6311D ．35二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)9．下列有关复数的说法正确的是（）A ．若²1z =-，则i z =B ．²²z z =C ．1212z z z z -≥-D ．若1i 2z ++=，则z 的取值范围为22,22⎡⎣10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，)22243ABC S a c b =+-△.则下列说法正确的是（）A ．π3B =B ．cos cos AC ⋅的取值范围是11,44⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．若D 为边AC 的中点，且3BD =，则ABC 3D ．若角B 的平分线交AC 于点E ，且23BE =4a c +的最小值18.11．正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF 的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（）A ．AC DE⊥B ．直线BC 与平面BEDF 所成的角为60︒C ．若点P 为棱EB 上的动点，则三棱锥-F ADP 的体积为定值924D ．若点P 为棱ED 上的动点，则AP BP +的最小值为3622三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．已知向量()1,2a =r ，向量()3,1b =- ，则a 在b上的投影向量的坐标为.13．如图，平面四边形ABCD 中，753045BAD CBD BAC ABD ∠=∠=∠=∠= ，，,AB 6=则CD 的长为.14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2,60AB ACB =∠=︒，SC 为球O 的直径，且4SC =，则三棱锥S ABC -体积的最大值为.四、解答题(本题共5小题，共77分)15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin .sin sin a b C Bc A B--=+(1)求角A 的大小.(2)若1cos ,57B AB ==，求AC 边上的中线BD 的长.16．为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表.(1)求频率分布直方图中a 的值.(2)求月收入的平均数、75百分位数.(3)现按月收入分层，在[2000，3000)和[3000，4000)这两个收入段中，按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率.17．如图，在梯形ABCD 中，4,3,2,2AB AD CD AM MD ====uuur uuu r，O 为AC 与BM 的交点.(1)若60BAD ∠=︒，求AC BM ⋅；(2)若3AC BM ⋅=-，求cos AOB ∠.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的菱形，且60DAB ∠=︒，AC 交BD 于点O ，3,PB PD PA PC ==⊥，M ，N 分别为PA ，BC 的中点.(1)求证：MN ∥平面PCD ；(2)记二面角B PC D --的平面角为θ，若1cos .7θ=-①求PA 与底面ABCD 所成角的大小；②求点N 到平面CDP 的距离.19．已知0180A ︒<∠<︒，点B ，C 分别为其两条边上不与点A 重合的点.(1)如图1，若60,4A AB ABC ∠=︒= ，为锐角三角形，求AC 的取值范围.(2)如图2，若60,4A BC ∠=︒=，以BC 为边构造等边BCD ，设ABC θ∠=，试求AD 的最大值.(3)如图2，若2,4AB AC ==，以BC 为边构造等边BCD ，试求AD 的最大值.1．C【分析】法一：先利用复数的除法运算法则化简复数，然后用模长公式就可求解；法二：分子分母分别求模长，然后再把模长相除即可得解.【详解】方法一：因为()()()()2234i 12i 34i 310i 8i 510i 12i 12i 12i 12i 14i 5z +++++-+=====-+--+-，所以()22125z =-+=，方法二：()222234i34i 34512i 12i12z +++===--+-，故选：C.2．B【分析】根据向量垂直，两向量的数量积为0，即可求得m 的值.【详解】因为向量(),1a m = ，()1,23b m =-r ，a b⊥所以()(),11,23230a b m m m m ⋅=-=+-=r r，解得1m =，故选：B.3．D【分析】根据同角三角关系求tan α，再结合两角差的正切公式分析分析求解.【详解】因为4πcos ,,052αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则23sin 1cos 5αα=-=-，可得sin 3tan cos 4ααα==-，所以()31tan tan 42tan 2311tan tan 142αβαβαβ----===-+⋅⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭.故选：D.4．A【分析】根据轴截面为等边三角形，求出圆锥底面的半径，因为圆锥侧面展开图是扇形，利扇形面积公式求圆锥的侧面积，再求底面积，然后相加即可求解.【详解】如图，因为圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，所以圆锥的底面半径为1，则该圆锥的侧面积为()12π122π2S =⨯⨯⨯=侧，底面积为2π1πS =⨯=底，所以该圆锥的表面积为3πS S S =+=表侧底.故选：A.5．B【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解.【详解】如图，当台风中心向西北方向移动到达点C 时，AC 的距离恰好150km ，此时该城市所在地开始受到影响，设t 小时后该城市所在地开始受到影响,台风中心移动速度的大小为20km/h ，所以20BC t =km ，由题意知，200AB =km,又台风中心向西北方向移动，所以45ABC ∠= ,由余弦定理可得，()22222220020150cos cos 4522200202t AB BC AC ABC AB BC t +-+-∠====⋅⨯⨯解得1025 4.5h 2t =≈或10259.5h 2t =≈（舍），则开始受到影响在4.5h 之后.故选：B.6．D【分析】利用古典概型求()()()()(),,,,P A P B P C P AB P AC ，再根据互斥事件和独立事件的定义逐项分析判断.【详解】由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知：样本空间Ω：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），则()6n Ω=，事件A ：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则()3n A =，()()()12n A P A n ==Ω；事件B ：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则()3n B =，()()()12n B P B n ==Ω；事件C ：（甲，乙），（丙，丁），则()2n C =，()()()13n C P C n ==Ω；事件AB ：（甲，丙），（甲，丁），则()2n AB =，()()()13n AB P AB n ==Ω；事件AC ：（甲，乙），则()1n AC =，()()()16n AC P AC n ==Ω；对于选项A ：因为()20n AB =≠，可知A 与B 不互斥，故A 错误；对于选项B ：因为()()()P AB P A P B ≠，所以A 与B 不独立，故B 错误；对于选项C ：因为()0n AC ≠，可知A 与C 不互斥，故C 错误；对于选项D ：因为()()()P AC P A P C =，可知A 与C 独立，故D 正确；故选：D.7．B【分析】先求几何体的体积V ，再根据截面位置求被截较小部分的体积即可.【详解】由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，如图所示，有11D C DC AB ==，11////D C DC AB ，四边形11ABC D 为平行四边形，有11//BC AD ，点E 、F 分别为线段BC 、1CC 的中点，则11////EF BC AD ，所以平面1EFAD 即为平面AFE 截几何体的截面.因为1112AA CC DD BG ====2AB BC CD DA ====，所以几何体的体积11222232V =⨯⨯-⨯⨯⨯被截棱台的体积1111212322ECF ADD V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭较大部分体积为2V =1722ECF ADD V V-=，所以较小部分的体积为1722ECF ADD V V -=.故选：B.8．A 【详解】如图，过P 作AC 的垂线，垂足为D ，过P 作BC 的垂线，垂足为E ，令ABC 的外接圆半径为r ，因为∠ABP =30°，∠PBC =15°，∠PCB =15°，∠PCA =60°所以45,60ABC BAC ∠=∠= ,由正弦定理可得：2sin 603BC r r == ，2sin 452AC r = 因为∠PBC =15°，∠PCB =15°，所以132rEC BC ==所以，在Rt PEC 中，3232cos1562624rECr PC ===++因为∠PCA =60°，所以，在Rt PCD △中，233sin 6026262r PD PC ===++ 2313cos 6026262r r CD PC ===++ ，所以(32326262r r AD AC CD +=-++所以，在Rt PAD △中，362tan 6333262rPDPAC ADr r +∠===-++故选：A.9．BCD【分析】对于A ，举例判断，对于B ，令i(,R)z a b a b =+∈，分别计算2²,z z 进行判断，对于C ，设12,z z 对应的向量分别为12,OZ OZ，利用向量的几何意义分析判断，对于D ，令i(,R)z a b a b =+∈，则由已知可得点(,)a b 在以(1,1)--为圆心，2为半径的圆上，根据圆的性质分析判断.【详解】对于A ，因为i z =-时，²1z =-，所以A 错误，对于B ，令i(,R)z a b a b =+∈，则222()2i z a b ab =-+，所以222z a b ====+，因为222z a b =+，所以²²z z =，所以B 正确，对于C ，设12,z z 对应的向量分别为12,OZ OZ ，则121221z z OZ OZ Z Z -=-= ,1212Z z O O z Z -=-，因为2112Z Z OZ OZ ≥-，所以1212z z z z -≥-，所以C 正确，对于D ，令i(,R)z a b a b =+∈，则由1i 2z ++=，得i 1i 2a b +++=，22(1)(1)4a b +++=，所以点(,)a b 在以(1,1)--为圆心，2为半径的圆上，所以z =的最小值为22，即z 的取值范围为2⎡+⎣，所以D 正确，故选：BCD 10．ACD【分析】对A ：借助面积公式与余弦定理由题意可得π3B =，对B ：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的值域即可得；对C ：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对D ：借助等面积法及基本不等式计算即可得.【详解】对于选项A ：因为)2224ABC S a c b =+-△，则)2221sin 2cos 2ABC S ac B a c b ac B ==+-=△，整理得tan B =且()0,πB ∈，所以π3B =，故A 正确；对于选项B ：因为π3B =，则2π13cos cos cos cos cos cos sin 322A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos cos 2A A A -1cos 224AA +=-1π1sin 2264A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ7π2,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以cos cos A C 的取值范围为11,24⎛⎤- ⎥⎝⎦，故B 错误；对于选项C ：因为D 为边AC 的中点，则2BD BC BA =+，则()222242BD BC BA BC BC BA BA =+=+⋅+uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur uur ，可得22221223a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥uur uuu r，即4ac ≤，当且仅当2a c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为142⨯C 正确；对于选项D ：由题意得ABE BCE ABC S S S +=△△△，即1π1π1πsin sin sin 262623c BE a BE c a ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，整理得()2a c ac +=，即1112a c +=，可得11442(4)2525218c a a c a c a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当26a c ==时，等号成立，故D 正确．故选：ACD.11．AC【分析】对于A 选项，正八面体ABCDEF ，证明AC ⊥平面BEDF ，再判断AC DE ⊥，对于B ，可知AC ⊥平面BEDF ，找到直线BC 与平面BEDF 所成的角为CBO ∠，在三角形CBO 中计算角度；对于C ，利用等体积变换计算三棱锥F ADP -的体积--F ADP A FDP V V =；对于D ，由题意分析AED △和BDE △，设PD x =在两个三角形中利用余弦定理计算,AP BP ，AP BP +根据二次函数的性质可知当94x =时，AP BP +取最小值；【详解】对于A 选项，正八面体ABCDEF ，连接,,BD EF AC ，对称性可知，EF ⊥平面ABCD ，且,,BD EF AC 相交于点O ，O 为,,BD EF AC 的中点，又3AE EC AF CF ====，3AB BC CD DA ====，故四边形AECF 为菱形，四边形ABCD 为菱形，可知,,,AC EF AC BD EF BD ⊥⊥是平面BEDF 内两条相交直线，所以AC ⊥平面BEDF ，又DE ⊂平面BEDF ，故AC DE ⊥，故A 正确对于B ，由A 选项可知AC ⊥平面BEDF ，故直线BC 与平面BEDF 所成的角为CBO ∠，且由题意得DB AC ====322OB OC ==，故45CBO ︒∠=，B 错误；对于C ，三棱锥F ADP -的体积--F ADP A FDP V V =，其中点A 到平面FDP 的距离为2AO =，设菱形BFDE 的面积为S ，则11199,,2222FDP S BD EF S S =⨯⨯=⨯===若点P 为棱EB 上的动点，则三棱锥F ADP -的体积为定值1324FDP S ⨯⨯=，故C 正确.对于D ，由题意得AED △为等边三角形，边长为3，在BDE △中，2223,32,BE DE BD BD DE BE ====+，BDE △为等腰直角三角形若点P 为棱ED 上的动点，设PD x =则222323cos6093AP x x x x ︒+-⨯⨯=+-222(32)232cos45186BP x x x x ︒=+-⨯⨯=+-03x ≤≤222293186931862x x x x AP BP x x x x +-++-+=+-+-≤241854(03)x x x -+≤≤，根据二次函数的性质可知当94x =时，AP BP +3152，D 错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：线面角求解方法：（1）定义法（2）向量法；三棱锥体积求法方法：（1）直接法（2）等体积变换法；12．31,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据向量的坐标运算求,a b b ⋅ ，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】因为()1,2a = ，()3,1b =- ，则()22321,3110a b b ⋅=-=+-= 所以a 在b 上的投影向量的坐标为2131,101010a b b b b ⎛⎫⋅⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：31,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭.1310【分析】根据已知角和三角形内角和为180 ，求出对应三角形的内角，然后利用正弦定理分别求出,AD AC 的长度，最后利用余弦定理求出CD 的长度.【详解】在ABD △中，75,45BAD ABD ∠=∠= ，所以60ADB ∠=o ，又AB 6=由正弦定理可得，sin sin AB AD ADB ABD =∠∠，即sin 60sin 45AD =，解得2AD =，在ABC 中，753045CBD BAC ABD ∠=∠=∠= ，，，所以180********ACB ∠=---=，又AB =由正弦定理可得，sin sin AB AC ACB ABC =∠∠sin120AC =，解得AC =又因为7530BAD BAC ∠=∠= ，，所以45CAD ∠=在ADC △中，由正弦定理可得2222cos CD AD AC AD AC CAD =+-⋅⋅∠，即(222222cos 4510CD =+-⨯⨯= ，所以CD =14．423【分析】在ABC 中，由正弦定理求得外接圆半径，得到ABC 的外接圆1O的半径为r =进而求得球心O 到ABC所在小圆的距离为d =4BC AC ⋅≤，得到ABC.【详解】如图所示，设圆1O 的半径为r，在ABC 中，因为2,60AB ACB =∠=︒，由正弦定理得2sin AB r ACB ==∠r即ABC 的外接圆1O 的半径为r =因为SC 为球O 的直径，且4SC =，可得球的半径为2R =，所以球心O 到ABC 所在小圆的距离为d ==则点S 到平面ABC 的距离为2d =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅，即2242BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC =+-⋅≥⋅-⋅=⋅，当且仅当2BC AC ==时，等号成立，即4BC AC ⋅≤，所以ABC 面积的最大值为11sin 422BC AC C ⋅=⨯⨯故三棱锥体积的最大值为133V =.【点睛】关键点点睛：1.根据球的性质求点点S 到ABC 所在小圆的距离；2.利用余弦定理结合基本不等式求ABC 面积的最大值.15．(1)π3A =【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理边角转化可得1cos 2A =，即可得结果；（2）利用两角和差公式以及正弦定理可得7a =，进而根据中线的性质结合数量积分析求解.【详解】（1）因为sin sin .sin sin a b C B c A B--=+，由正弦定理可得a b c bc a b --=+，整理可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，且()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为1cos 7B =，且()0,πB ∈，可知sin 7B ==，可得()sin sin sin cos cos sin 14C A B A B A B =+=+=，由正弦定理可得sin sin a cA C =，则sin 7sin c A a C⋅==，又因为BD 为AC 边上的中线，则()12BD BA BC =+，可得()()2222111122525749214447BD BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭uuu r uur uuu r uur uur uuu r uuu r ，所以AC 边上的中线BD16．(1)0.0002a =(2)4800，5800(3)815【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1,即可求a 的值；（2）根据频率分布直方图估计平均数和第75百分位数作答；（3）求出给定的两个区间的人数，再利用列举法求出概率作答.【详解】（1）由()10000.000050.00010.000150.0002521a ⨯++++⨯=，解得0.0002a =，（2）设月收入的平均数为x ,则0.0575000.125000.1565000.235000.2545000.2555004800x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，设75百分位数为m ，则()60000.000250.150.050.25m -⨯++=，解方程得5800m =.（3）在[2000，3000)的人数为1000010000.00011000⨯⨯=人在[3000，4000)的人数为1000010000.00022000⨯⨯=人按比例分配分层随机抽样方法抽出6人中，在[2000，3000)中抽2人，记为,a b ；在[300，400)中抽4人,,,A B C D ；从6人中任选2人结果有()()()()()()()()(),,,,,,,,,a b a A a B a C a D b A b B b C b D 、、、、、、、、、()()()()()(),,,,,,A B A C A D B C B D C D 、、、、、,共有15个；选中的2人来自不同收入段有()()()()()()()(),,,,,,,,a A a B a C a D b A b B b C b D 、、、、、、、共有8个，所以选中的2人来自不同收入段的概率为815.17．(1)6-(2)【分析】（1）由线性运算可得12AC AD AB =+ ，23BM AD AB =-uuur uuur uuu r ，结合数量积的定义和运算律分析求解；（2）由数量积的运算律结合（1）中结论可得32AD AB ⋅=uuu r uuu r ，进而可求AC ，BM，结合向量夹角运算求解.【详解】（1）由题意可知：12DC AB = ，23A D M A = ，可得则12AC AD DC AD AB =+=+，23BM AM AB AD AB =-=-uuur uuur uuu r uuu r uuu r ，若60BAD ∠=︒，则1cos 3462AD AB AD AB BAD ⋅=⋅∠=⨯⨯= ，所以2212221623332AC BM AD AB AD AB AD AD AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）可知：12AC AD AB =+ ，23BM AD AB =-uuur uuur uuu r ，且2222126833323AC BM AD AD AB AB AD AB ⋅=-⋅-=-⋅-=-uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，可得32AD AB ⋅=uuu r uuu r ，则22221129242AC AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=+=+⋅+= ⎪⎝⎭，即AC = 222224418393BM AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-⋅+= ⎪⎝⎭，即BM = ，所以cos cos cos ,29AC BM AOB MOC AC BM AC BM⋅∠=∠===-⋅.18．(1)证明见详解(2)①60︒【分析】（1）取PD 得中点E ，连接ME ，CE ，证明//NM EC ，然后证明//MN 平面PCD ；（2）①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出BF ，PC ，再由条件可证明所求线面角为PAC ∠，利用直角三角形求大小即可；②由//ON 平面PAC 转化为求O 到平面距离，作出垂线段，利用等面积法求解即可.【详解】（1）取PD 得中点E ，连接ME ，CE ，如图，因为M 为PA 的中点，则1,//2AD ME D ME A =，又因为N 为BC 的中点且四边形ABCD 为菱形，则1//,2NC AD NC AD =，可得//,NC ME NC ME =，可知四边形MNCE 为平行四边形，则//MN EC ，且MN ⊄平面PCD ，CE ⊂平面PCD 。
2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知向量a →=（2m ，1），b →=（1，2），若a →∥b →，则m 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．−14D ．142．已知复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则复数z 的实部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．√22D ．−√223．甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4：3：3：2，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n 的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n 的值是（ ） A ．200B ．240C ．260D ．2804．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝45°，CD ＝20米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度为（ ）A ．10（3+√3）B ．10（√3+1）C ．20（√3−1）D ．20（3−√3）5．从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（ ） A ．13B ．316C ．516D ．126．已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（ ） A ．7√3π24B ．√3π6C ．√3π4D ．7√3π87．已知cos （α+β）=23，tan αtan β=−13，则cos （α﹣β）的值为（ ） A ．−23B ．−13C ．13D ．238．在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，BD ＝4，则AB →•AD →−3|AC →|的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣13C ．4﹣4√3D ．2﹣5√3二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知复数z 1，z 2，则下列说法正确的是（ ）A ．若z 12+1＝0，则z 1＝±iB ．|z 1z 2|＝|z 1||z 2|C ．若|z 1﹣z 2|＝|z 1+z 2|，则z 1z 2＝0D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝±z 210．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C 表示事件“两次掷出的点数相同”，D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与C 互斥C ．B 与C 独立D ．B 与D 对立11．已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若A ＜B ，则sin A ＜sin BB ．若a ＝2，B =π3，且该三角形有两解，则√3＜b ＜2C ．若tanA a 2=tanB b 2，则△ABC 为等腰三角形D ．若tan A +tan B +tan C ＞0，则△ABC 为锐角三角形12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是AD ，CC 1，AA 1的中点，AP →=λAB →（0≤λ≤1），则下列说法正确的是（ ）A ．若λ=12，则B 1D 1∥平面MPN B ．若λ＝1，则AC 1∥平面MPNC ．若AC 1⊥平面MPQ ，则λ=12D ．若λ=13，则平面MPN 截正方体所得的截面是五边形三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置． 13．已知α∈（0，π2），cos α=13，则sin (α2)= ．14．已知某3个数据的平均数为2，方差为2，现加入数字2构成一组新的数据，这组新的数据的方差为 ．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→•n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP 1→在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣4，0），P 1（2，﹣1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为 ．16．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是√62，√62，1，则此三棱锥的外接球的体积为 ；此三棱锥的内切球的表面积为 ．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数；（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．18．（12分）已知α∈（0，(π2)），β∈（0，(π2)），且cos α=(2√55)，sin β=(7√210)． （1）求tan （α+β）的值； （2）求2α+β的值．19．（12分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，点D 在边BC 上且满足CD ＝2BD ． （1）用AB →、AC →表示AD →，并求|AD →|；（2）若点E 为边AB 中点，求CE →与AD →夹角的余弦值．20．（12分）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是34，12，13，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A ，B ，C ． （1）求P （A ）、P （B ）、P （C ）；（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．21．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C +√3a sin C ＝b +c ． （1）求A ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．22．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，AB 1与平面ACC 1A 1所成角的正切值为√217，所有侧棱与底面边长均为2，D 是边AC 中点． （1）求证：AB 1∥平面BDC 1；（2）求异面直线BB 1与A 1C 1所成的角；（3）F 是边CC 1一点，且CF ＝λCC 1，若AB 1⊥A 1F ，求λ的值．2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知向量a →=（2m ，1），b →=（1，2），若a →∥b →，则m 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．−14D ．14解：∵a →=（2m ，1），b →=（1，2），若a →∥b →，则2×2m ＝1×1，可得m =14． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则复数z 的实部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．√22D ．−√22解：∵z （1+i ）＝|1+i |=√1+1=√2，∴z =√21+i=√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i ，故复数z 的实部为√22． 故选：C ．3．甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4：3：3：2，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n 的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n 的值是（ ） A ．200B ．240C ．260D ．280解：采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n 的样本， 则n ×44+3+3+2−n ×34+3+3+2=20，解得n ＝240．故选：B ．4．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝45°，CD ＝20米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度为（ ）A ．10（3+√3）B ．10（√3+1）C ．20（√3−1）D ．20（3−√3）解：设AB ＝h ，则BC =ℎtan60°=ℎ√3，因为∠BCD ＝30°，∠BDC ＝45°，CD ＝20米，所以在△BCD 中，sin ∠CBD ＝sin （30°+45°）=12×√22+√32×√22=√2+√64，所以由正弦定理CDsin∠CBD=BC sin∠BDC，可得√2+√64=√3√22， 解得h ＝20（3−√3）． 故选：D ．5．从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（ ） A ．13B ．316C ．516D ．12解：从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其基本事件总数为A 42=12种， 其各位数字之和等于5包含的两位数有：14，23，32，41，共4个， 则其各位数字之和等于5的概率为P =412=13． 故选：A ．6．已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（ ） A ．7√3π24B ．√3π6C ．√3π4D ．7√3π8解：根据题意，设圆锥的高为h ，半径为r ，母线长为l ， 若其侧面展开图是面积为2π的半圆，则有{πrl =2πlπ=2πr，解可得：r ＝1，l ＝2，则该圆锥的高h =√4−1=√3， 故该圆锥的体积V =πr 2ℎ3=√3π3，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为1：7的两部分，则下半部分圆台体积占原来圆锥体积的78，则所得的圆台体积为78V =7√3π24．故选：A ．7．已知cos （α+β）=23，tan αtan β=−13，则cos （α﹣β）的值为（ ）A ．−23B ．−13C ．13D ．23解：因为cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β=23，tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=−13， 所以sin αsin β=−16，cos αcos β=12， 则cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=12−16=13． 故选：C ．8．在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，BD ＝4，则AB →•AD →−3|AC →|的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣13C ．4﹣4√3D ．2﹣5√3解：设AB ＝x ，AD ＝y ，又BD ＝4，则有16＝x 2+y 2﹣xy ≥xy （当且仅当x ＝y 时取等号），∴AB →⋅AD →=xy 2，|AC →|=√(AB →+AD →)2=√x 2+y 2+xy ， 故AB →⋅AD →−3|AC →|=xy 2−3√x 2+y 2+xy =xy2−3√2√8+xy ， 令t =√8+xy ，则xy ＝t 2﹣8，因为8＜8+xy ≤24，所以2√2＜t ≤2√6，∴xy2−3√2√8+xy =t 2−82−3√2t =12(t −3√2)2−13， 故当t ＝3√2时，AB →⋅AD →−3|AC →|有最小值﹣13． 故选：B ．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知复数z 1，z 2，则下列说法正确的是（ ）A ．若z 12+1＝0，则z 1＝±iB ．|z 1z 2|＝|z 1||z 2|C ．若|z 1﹣z 2|＝|z 1+z 2|，则z 1z 2＝0D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝±z 2解：设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），z 2＝c +di （c ，d ∈R ），选项A ，∵z 12=−1，∴z 1＝±i ，A 正确；选项B ，∵z 1z 2＝（a +bi ）（c +di ）＝ac ﹣bd +（ad +bc ）i ，∴|z 1z 2|=√(ac −bd)2+(ad +bc)2=√a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2， 又|z 1||z 2|=√a 2+b 2•√c 2+d 2=√a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2， 即|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，B 正确；选项C ，∵z 1﹣z 2＝a ﹣c +（b ﹣d ）i ，∴|z 1﹣z 2|=√(a −c)2+(b −d)2， ∵z 1+z 2＝a +c +（b +d ）i ，∴|z 1+z 2|=√(a +c)2+(b +d)2，若|z 1﹣z 2|＝|z 1+z 2|，则√(a −c)2+(b −d)2=√(a +c)2+(b +d)2，化简得：ac +bd ＝0，又z 1z 2＝（a +bi ）（c +di ）＝ac ﹣bd +（ad +bc ）i ，所以z 1z 2不一定为0，C 错误； 选项D ，举反例，当z 1＝2i ，z 2＝1+√3i 时，|z 1|＝|z 2|＝2，不满足z 1＝±z 2，D 错误． 故选：AB ．10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C 表示事件“两次掷出的点数相同”，D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与C 互斥C ．B 与C 独立D ．B 与D 对立解：对于选项A ，事件A 与事件B 都包含事件（1，2），所以不互斥，错误； 对于选项B ，很明显事件A 与事件C 互斥，正确；对于选项C ，事件B 的发生与事件C 的发生没有关系，所以互不影响，相互独立，正确；对于选项D ，B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，D 表示事件“至少出现一个奇数点”，很明显不是对立事件，错误． 故选：BC ．11．已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若A ＜B ，则sin A ＜sin BB ．若a ＝2，B =π3，且该三角形有两解，则√3＜b ＜2C ．若tanA a 2=tanB b 2，则△ABC 为等腰三角形D ．若tan A +tan B +tan C ＞0，则△ABC 为锐角三角形 解：选项A ，若A ＜B ，则a ＜b ， 由正弦定理知，a sinA=b sinB，所以sin A ＜sin B ，即选项A 正确；选项B ，因为该三角形有两解，所以a sin B ＜b ＜a ，即2sin π3＜b ＜2，所以√3＜b ＜2，即选项B 正确； 选项C ，由tanA a 2=tanB b 2知，b 2•sinAcosA=a 2•sinBcosB，由正弦定理得，sin 2B sin A cos B ＝sin 2A sin B cos A ，因为sin A sin B ≠0，所以sin B cos B ＝sin A cos A ，即sin2B ＝sin2A ， 所以2B ＝2A 或2B +2A ＝π，即A ＝B 或A +B =π2， 所以△ABC 为等腰或直角三角形，即选项C 错误； 选项D ，因为tan （A +B ）=tanA+tanB1−tanAtanB，所以tan A +tan B ﹣tan （A +B ）＝﹣tan （A +B ）tan A tan B ， 即tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ，因为tan A +tan B +tan C ＞0，所以tan A tan B tan C ＞0， 又A ，B ，C ∈（0，π），且至多只有一个钝角，所以tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，即A ，B ，C 均为锐角，故选项D 正确． 故选：ABD ．12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是AD ，CC 1，AA 1的中点，AP →=λAB →（0≤λ≤1），则下列说法正确的是（ ）A ．若λ=12，则B 1D 1∥平面MPN B ．若λ＝1，则AC 1∥平面MPNC ．若AC 1⊥平面MPQ ，则λ=12D ．若λ=13，则平面MPN 截正方体所得的截面是五边形解：对于A ，连接B 1D 1，BD ，在正方体中，可知B 1D 1∥BD ，当λ=12时，P 是AB 的中点，则MP ∥BD ，所以MP ∥B 1D 1，由于MP ⊂平面MNP ，B 1D 1⊄平面MNP ，所以B 1D 1∥平面MPN ，故A 正确；对于B，当λ＝1时，P与点B重合，连接BM交AC于点O，连接NO，若AC1∥平面MPN，则AC1⊂平面ACC1，且平面ACC1∩平面MNP＝NO，则AC1∥NO，由于N是CC1的中点，则O为AC中点，这显然不符合要求，故B错误；对于C，若AC1⊥平面MPQ，则AC1⊥MP，由于MP⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，又BD⊥AC，BD ⊥CC1，AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，AC₁⊂平面ACC1，则BD⊥AC1，显然AC1与平面ABCD不垂直，故AC1⊥MP，则BD∥MP，由于M为AD中点，所以P为AB中点，故λ=12，C正确；对于D，取NC中点F，在DD1上取点H，使得DH=18DD1，在棱BB1取E，使得BE=14BB1，在棱CC1上取CK=18CC1，由于N ，M 分别为CC 1，AD 的中点，所以NF EF=14，HDMD=14⇒HD MD=NF EF⇒MH ∥NE ，同理EB PB=38，NK HK=38，⇒NK HK =EBPB⇒HN/PE ， 连接PE ，NE ，HN ，MH ，MP 即可得到截面多边形，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置． 13．已知α∈（0，π2），cos α=13，则sin (α2)=√33． 解：因为α∈（0，π2），所以0＜α2＜π4，因为cos α＝1﹣2sin 2α2=13，则sinα2=√33． 故答案为：√33． 14．已知某3个数据的平均数为2，方差为2，现加入数字2构成一组新的数据，这组新的数据的方差为32．解：不妨设三个数据为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝3×2＝6，13[(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2]=2，即(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2=6，加入数字2构成一组新的数据，则新的数据平均数也为2，故这组新的数据的方差为14[(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2+(2−2)2]=32．故答案为：32．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→•n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP 1→在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣4，0），P 1（2，﹣1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为215．解：由题意，P 1P 2→=（﹣3，4），与P 1P 2→垂直的向量n →可取为（4，3）， 即直线l 的一个法向量n →=（4，3），又PP 1→=（6，﹣1）， 故点P 到直线l 的距离d =|PP 1→⋅n →||n →|=215． 故答案为：215．16．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是√62，√62，1，则此三棱锥的外接球的体积为7√7π6；此三棱锥的内切球的表面积为 (20−8√6)π ．解：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是√62，√62，1， 如图所示：即S △AOB =S △AOC =√62，S △BOC ＝1，故AO ，BO ，CO 两两垂直；所以BO ＝CO ， 故12⋅CO ⋅BO =1，整理得CO ＝BO =√2，所以12⋅AO ⋅BO =√62，解得AO =√3， 所以三棱锥的外接球的半径满足(2R)2=(√2)2+(√2)2+(√3)2，解得R 2=74，即R =√72，故V 球=43⋅π⋅(√72)3=7√7π6． ②首先利用OC ＝OB =√2，OA =√3， 利用勾股定理AB =AC =√5，BC ＝2， 所以S △ABC =12×2×2=2， 利用等体积转换法，设内切球的半径为r ， 所以13×12×√2×√2×√3=13×(S △ABC +S △BOC +S △AOC +S △AOB )⋅r ，解得r =1√3+√2=√3−√2，故S 球=4⋅π⋅r 2=(20−8√6)π．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数；（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．解：（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设（400，500]的频率为x，由题意得（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）×100+x＝1，解得x＝0.03，∴样本中停车时长在区间（400，600]上的频率为0.05，估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数是50；（2）设免费停车时间长不超过y分钟，又（0，100]的频率为0.13＜30%，并且（0，200]的频率为0.45＞30%，则y位于（100，200]之间，则0.13+（y﹣100）×0.0032＝0.3，解得y＝153.1，确定免费停车时长为不超过153分钟．18．（12分）已知α∈（0，(π2)），β∈（0，(π2)），且cosα=(2√55)，sinβ=(7√210)．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．解法一：（1）由题意cosα=2√55，sinα=√55，cosβ=√210，sinβ=7√210则tanα=12，tanβ=7，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+71−12×7=−3，（2）由α，β为锐角，可得2α+β∈(0，3π2)， tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]=tan(α+β)+tanα1−tan(α+β)tanα=−3+121−(−3)×12=−1所以2α+β=3π4；解法二：（1）由题意：cosα=2√55，sinα=√55，cosβ=√210，sinβ=7√210， sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=√55×√210+2√55×7√210=3√1010， cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=2√55×√210−√55×7√210=−√1010， 所以tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=−3； （2）由α，β为锐角，可得2α+β∈(0，3π2)， tanα=sinαcosα=12， tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]=tan(α+β)+tanα1−tan(α+β)tanα=−3+121−(−3)×12=−1，所以2α+β=3π4．19．（12分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，点D 在边BC 上且满足CD ＝2BD ． （1）用AB →、AC →表示AD →，并求|AD →|；（2）若点E 为边AB 中点，求CE →与AD →夹角的余弦值．解：（1）∵点D 在边BC 上，且CD ＝2BD ， ∴CD →=2DB →，∴AD →−AC →=2(AB →−AD →)，∴AD →=23AB →+13AC →，且AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，∴|AD →|=√(23AB →+13AC →)2=√49AB →2+19AC →2+49AB →⋅AC →=√169+19−49=√133； （2）∵点E 为边AB 中点，∴CE →=12(CA →+CB →)=12(−AC →+AB →−AC →)=12AB →−AC →，∴|CE →|=√14AB →2+AC →2−AB →⋅AC →=√1+1+1=√3，又AD →⋅CE →=(23AB →+13AC →)⋅(12AB →−AC →)=13AB →2−13AC →2−16AB →⋅AC →=43−13+12=32，∴cos ＜AD →，CE →＞=AD →⋅CE →|AD →||CE →|=32√133×3=3√3926． 20．（12分）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是34，12，13，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A ，B ，C ． （1）求P （A ）、P （B ）、P （C ）；（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．解：（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A 1，B 1，C 1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A 2，B 2，C 2，记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A ，B ，C ． P(A)=P(A 1+A 1A 2)=P(A 1)+P(A 1A 2)=34+(1−34)×34=1516， P(B)=P(B 1+B 1B 2)=P(B 1)+P(B 1B 2)=12+(1−12)×12=34， P(C)=P(C 1+C 1C 2)=P(C 1)+P(C 1C 2)=13+(1−13)×13=59．（2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D ， P(D)=P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=1516×(1−34)×(1−59)+(1−1516)×34×(1−59)+(1−1516)×(1−34)×59 =77576． 21．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C +√3a sin C ＝b +c ． （1）求A ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且b ＝2，求△ABC 面积的取值范围． 解：（1）由正弦定理可得：sinAcosC +√3sinAsinC =sinB +sinC ，所以sinAcosC +√3sinAsinC =sin(A +C)+sinC =sinAcosC +cosAsinC +sinC ，所以√3sinAsinC =cosAsinC +sinC ， 因为sin C ＞0，所以√3sinA =cosA +1， 所以sin(A −π6)=12， 因为A −π6∈(−π6，5π6)， 所以A −π6=π6，即A =π3； （2）由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√32c ． 由正弦定理得c =bsinCsinB =2sin(120°−B)sinB =√3tanB+1， 由于△ABC 为锐角三角形， 故0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°． 由（1）知A +C ＝120°， 所以30°＜B ＜90°， 故1＜c ＜4， 从而√32＜S △ABC ＜2√3． 因此△ABC 面积的取值范围是(√32，2√3)．22．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，AB 1与平面ACC 1A 1所成角的正切值为√217，所有侧棱与底面边长均为2，D 是边AC 中点． （1）求证：AB 1∥平面BDC 1；（2）求异面直线BB 1与A 1C 1所成的角；（3）F 是边CC 1一点，且CF ＝λCC 1，若AB 1⊥A 1F ，求λ的值．解：（1）证明：如图，连接B 1C 与BC 1交于点O ，连DO ，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， 四边形BCC 1B 1是菱形，则O 是B 1C 的中点，又D 是AC 中点， 即OD 为△AB 1C 的中位线， 所以AB 1∥DO ，又AB 1⊄平面BDC 1，DO ⊂平面BDC 1， 可证得：AB 1∥平面BDC 1；（2）取A 1C 1的中点E ，连AE ，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1底面△A 1B 1C 1边长均为2， 则B 1E ⊥A 1C 1，平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，平面ACC 1A 1∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，B 1E ⊂平面A 1B 1C 1， 则B 1E ⊥平面ACC 1A 1，所以∠B 1AE 即为AB 1与平面ACC 1A 1所成角， Rt △B 1AE 中，B 1E =√3，tan ∠B 1AE =B 1E AE =√217，则AE =√7，又AA 1＝2，A 1E ＝2， 则在△A 1AE 中，∠AA 1C 1＝120°，则∠A 1AC 1＝60°， 由三棱柱中，AA 1∥BB 1，A 1C 1∥AC ，所以异面直线BB 1与A 1C 1所成的角∠B 1AE 等于∠A 1AC 1，即为60°， 即异面直线BB 1与A 1C 1所成的角为60°；（3）由（2）知B 1E ⊥平面ACC 1A 1，又A 1F ⊂平面ACC 1A 1，则A 1F ⊥B 1E ， 又A 1F ⊥AB 1，B 1E ∩AB 1＝B 1，而B 1E ，AB 1⊂平面AB 1E ， 所以A 1F ⊥平面AB 1E ，又AE ⊂平面AB 1E ，则A 1F ⊥AE ，在菱形ACC 1A 1中，以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建系， 由（2）知∠A 1C 1C ＝60°，所以C （2，0），C 1（3，√3），A 1（1，√3）， CF →=λCC 1→=λ（1，√3），又F （2+λ，√3λ），所以A 1F →=A 1C →+CF →=（1，−√3）+（λ，√3λ）＝（λ+1，√3λ−√3），AE →=AA 1→+A 1E →=CC 1→+12AC →=（1，√3）+（1，0）＝（2，√3），又A 1F ⊥AE ，即A 1F →•AE →=0，即2（1+λ）+√3（√3λ−√3）＝0， 整理可得：λ=15， 所以λ的值为15．。
2023-2024学年江苏省南京二十九中高一(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N|2x ≤32}，B ={1,3,5,7}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0,2,4}B. {2,4}C. {0,4}D. {2,4,5}2.已知非零向量a ，b ，则a ⊥b 是|a +b |=|a−b |成立的( )条件．A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要3.将函数f(x)=sin2x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为( )A. y =sin (2x +π6)B. y =sin (2x +π3)C. y =sin (2x−π6)D. y =sin (2x−π3)4.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于丙、丁)的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 165.已知tanθ=2，则sin (2θ−π)1−sin(π2−2θ)=( )A. −12B. 12C. −2D. 26.如图所示，在△ABC 中，AN =14NC ，P 是BN 上的一点，若AP =611AB +m AC ，则实数m 的值为( )A. 1011B. 811C. 211D. 1117.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长是2，点P 是棱AD 的中点，Q 是正方体表面上的一动点，PQ ⊥A 1C ，则动点Q 的轨迹长度是( )A. 3B. 5C. 32 D. 628.已知α,β∈(0,π4),cos 2α−sin 2α=17，且3sinβ=sin (2α+β)，则α+β的值为( )A. π12B. π6C. π4D. π3二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年江苏省南京师大附中高一(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.22cos15°+22sin15°=( )A.32B. 12C. −32D. −122.在复平面内，常把复数z =a +bi(a,b ∈R)和向量OZ 进行一一对应.现把与复数2+i 对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转90°，所得的向量对应的复数为( )A. 1−2iB. −1−2iC. 1+2iD. −1+2i3.下列各组向量中，可以作为基底的是( )A. e 1=(0,0)，e 2=(1,−2) B. e 1=(−1,2)，e 2=(5,7)C. e 1=(2,−3)，e 2=(12,−34)D. e 1=(3,5)，e 2=(6,10)4.复数z 满足z ⋅(1+i)=i 3，则其共轭复数−z 的虚部为( )A. 12B. 12iC. −12D. −12i5.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若A =60°，b =1，S △ABC =3，则a +csinA +sinC =( )A.133B. 2133C.393D. 23936.已知正四面体P−ABC 的棱长为1，空间中一点M 满足PM =xPA +yPB +zPC ，其中x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1.则|PM |的最小值为( )A.33B.63C. 23D. 17.已知sin (70°−α)=sin(50°+α)+cos(40°+α)，则tanα=( )A.33B. −33C.3 D. −38.如图，已知三棱柱ABC−A 1B 1C 1的所有棱长均为2，满足A 1B ⊥B 1C ，则该三棱柱体积的最大值为( )A.3B. 3C. 23D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．153C ．52D ．1562． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A ．493B ．383C ．183D ．1233．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>4．已知ππ042βα<<<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-5．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}6．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A ．32B ．40C ．32103D ．1038．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3B ．5C ．2D ．19．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 10．正四棱柱的高为3cm ,17,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10B ．24C ．36D ．40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省南京市雨花台中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
南京市雨花台中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知复数是纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．已知向量，的夹角为，，，则等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．43．设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，，则C ．若，，则D ．若，，，则4．在中，角所对的边的长分别为.下列命题中错误的个数是（ ）①−3②已知，则最小内角的度数为③若，则是锐角三角形④若，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是A ．0B ．1C ．2D ．35．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果､可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A．平均数为3，中位数为2B ．平均数为2，方差为2.6C ．中位数为3，众数为2D ．中位数为3，方差为1.66．阿基米德（Archimedes ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7.如图，在正方体中，M ，N 分别为C 1D 1和CC 1的中点，则异面直线AM与BN 所成角的余弦值为（ ）A BC ．D ．()2i 1i z x =++-a b 120 1a = 5b = 3a b - αβm n //m αn ⊂α//m n//αβ//m α//n β//m n m β⊥//n βm n⊥αβ⊥m αβ= n m ⊥n α⊥ABC V A B C ､､a b c ､､cos104sin 80sin10︒︒-=︒7,a b c ===30tan tan tan 0A B C ++>ABC V 60,4A AC == BC BC ()+∞36π36π45π54π63π1111ABCD A B C D -35458．已知三棱锥P−ABC 的所有顶点都在一个球面上且PA ⊥平面ABC ，AB =AC =PA ，，且底面的面积为）A ．BC ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数，下列结论正确的有（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆D ．若是关于的方程的一个根，则10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．若，则C ．若，且只有一解，则的取值范围为D ．为的外心，则11．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设E 为空间内任一点，且A ，B ，C ，D ，E 五点在同一个球面上，则（ ）A ．四面体的表面积为B ．四面体的体积为C ．当E 的轨迹长度为D ．当三棱锥的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12．已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积是 ．13．已知随机事件A ，B 的概率分别为P(A)=0.5，P(B)=0.3，若B ⊆A,则P(AB)=______；若A 与B 相互独120BAC ∠=︒ABC V 16π40π64π12,z z 120z z ->12z z >2212z z =12z z =2z 22i 3z -=2z 143i z =-+x 20(,)x px q p q ++=∈R 8p =ABC V A B C a b c 2cos cos c B b C a +=1a =2B C A +=ABC V π4A =ABC V b (]0,1O ABC V 12BC BO ⋅= ABCD 24CA CB AB ===ABCD ABCD AE =4πE ABC -E 1O A O B O C ''''''===立，则P(A+B)=_______14．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知向量.(1)若向量，求向量与向量的夹角的大小；(2)若向量OB ⟂OC ，求向量在向量上投影向量的坐标.16．在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，（i ）求角的取值范围；（ii ）求面积的取值范围.(1,0)(0,3)A B -、12z z 、12Z Z 、12122,4z z Z Z ===12AZ BZ ⋅ ()()()1,2,2,1,3,OA OB OC m =-== //OA OC AB OC AB OC ABC V ,,A B C ,,a b c sinsin 2A C a b A +=B ABC V 2c =C ABC V17．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中点，侧面底面.（1）求证：；（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于点，若，求证：截面侧面；（3）若截面平面，成立吗？请说明理由.111A B C ABC -AB AC =D BC 11BB C C ⊥ABC 1AD CC ⊥11BB C C 1BC 1AA M 1AM MA =1MBC ⊥11BB C C 1MBC ⊥11BB C C 1AM MA =18．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.19．如图，在四棱锥中，，，，△MAD 为等边三角形，平面平面ABCD ，点N 在棱MD 上，直线平面ACN ．(1)证明：．(2)设二面角的平面角为，直线CN 与平面ABCD 所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．南京市雨花台中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学参考答案1．A2．A3．C4．B5．B6．C7．A8．C9．BCD10．ABD11．AC12．613．0.3 0.6514．15．(1) (2)M ABCD -AD BC ∥AC CD ⊥2BC AD =MAD ⊥//MB 2MN ND =M AC D --αθtan α⎡⎣tan θ43π4()1,2-16．(1) (2)（i ）；（ii ）17．（1）证明：，D 是的中点，.∵底面侧面，底面侧面，底面，侧面.又侧面，.（2）证明：如图，延长，与的延长线交于点N ，连接，则平面，，.，，，由已知侧面底面所以侧面底面，交线为，底面，侧面，平面，∴截面侧面.（3）成立.理由如下：过M 作于点E ，连接.∵截面侧面，根据面面垂直的性质，侧面.又侧面，，四点共面.侧面，平面，平面平面，.∴四边形是平行四边形，π3ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭AB AC = BC AD BC ∴⊥ABC ⊥11BB C C ABC ⋂11BB C C BC =AD ⊂ABC AD ∴⊥11BB C C 1CC ⊂11BB C C 1AD CC ∴⊥11B A BM 1C N 1C N ⊂11MB C 1AM MA = 111NA A B ∴=1111A B AC = 11111AC A N A B ∴==111C N B C ∴⊥11BB C C ⊥ABC11BB C C ⊥111A B C 11B C 1C N ⊂111A B C 1C N ∴⊥11BB C C 1C N ⊂11MB C 1MBC ⊥11BB C C 1ME BC ⊥DE 1MBC ⊥11BB C C ME ∴⊥11BB C C AD ⊥11BB C C //ME AD ∴,,,M E D A ∴//MA 11BB C C MA ⊂AMED AMED ⋂11BB C C DE =//AM DE ∴AMED又，.是的中点，，..18．(1)小吃类28家，生鲜类12家(2)（i ）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii ）个数为28019．（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接ON ．因为，，所以根据相似的性质可得．因为直线平面ACN ，平面MBD ，平面平面，所以，则，所以．（2）取AD 的中点E ，AC 的中点F ，连接ME ，EF ，MF ．因为△MAD 为等边三角形，所以不妨设，则，．因为平面平面ABCD ，平面平面，平面,所以平面ABCD ，平面ABCD,所以，．又因为E ，F 分别为AD ，AC 的中点，所以，而，所以，又，平面MEF,则平面MEF ，平面MEF 得，所以∠MFE 是二面角的平面角，即．设，则，得．过N 作交AD 于H ，连接CH ，由于平面ABCD ，所以平面ABCD ，则∠NCH为直线CN 与平面ABCD 所成的角，即．，，．1//AM CC 1//DE CC ∴D BC 112DE CC ∴=111122AM CC AA ∴==1AM MA ∴=//AD BC 2BC AD =2BO BC OD AD==//MB MB ⊂ACN MBD ON =//MB ON 2MN BO ND OD==2MN ND =6MA AD MD ===ME =ME AD ⊥MAD ⊥MAD ⋂ABCD AD =ME ⊂AMD ME ⊥,EF AC ⊂ME EF ⊥ME AC ⊥//EF CD AC CD ⊥AC EF ⊥ME EF E ⋂=,ME EF ⊂AC ⊥MF ⊂AC MF ⊥M AC D --MFE α∠=EF m =tan ME EF α⎡==⎣m ⎡∈⎣//NH ME ME ⊥NH ⊥NCH θ∠=13NH ME ==113DH ED ==2CD m =因为，所以，则．因为，所以．故的取值范围为．cos 3CDm ADC AD ∠==CH=tan NH HCθ===m ⎡∈⎣tan θ=tanθ。
2023-2024学年江苏省南京师大附中高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.()A.B. C. D.2.在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为()A.B.C.D.3.下列各组向量中，可以作为基底的是()A.，B.，C.，D.，4.复数z 满足，则其共轭复数的虚部为()A. B.C.D.5.在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若，，，则()A.B.C.D.6.已知正四面体的棱长为1，空间中一点M 满足，其中x ，y ，，且则的最小值为()A. B.C.D.17.已知，则()A.B.C.D.8.如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为() A.B.3 C.D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，为复数，则()A. B.C.若，则D.若，则10.已知非零向量，，记，，则()A.若，则B.若，则C.若，，且，则，的夹角为D.若，则11.如图，在矩形ABCD中，，，将三角形ACD沿直线AC翻折得到三角形，在翻折过程中，下列说法正确的是()A.存在某个位置，使得三棱锥的外接球半径大于B.存在某个位置，使得异面直线与AC的所成的角为C.点B到平面ACD的距离的最大值为1D.直线与平面ABC所成角的正弦值最大为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数x的值为______.13.求值：______.14.已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题含解析
2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为3π，弦长等于2的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ） A ．3B ．132+C ．11332- D ．233π- 3．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．4．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．设{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A ．公比为12的等比数列 B ．公比为22的等比数列 C 22的等比数列D ．公比为412或412-的等比数列6．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为（ ）A ．0B ．eC ．0或eD ．0或17．函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( ) A ．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且3ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．2B ．23C ．4D ．610．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A 3B ．33-C ．3-D ．33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝1+2i （i 为虚数单位），则z 2＝（ ） A ．﹣3+2iB ．﹣3+4iC ．5+2iD ．5+4i2．函数f(x)=cosx −√3sinx 在[0，π2]的最大值是（ ） A ．2B ．0C ．1D ．√33．如图，在正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A 'D '与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．√63B ．√33C ．√22D ．124．若钝角三角形的边长分别为a ，a +3，a +6，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（3，9）B ．（0，9）C ．（3，+∞）D ．（9，+∞）5．如图，在五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α的值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．已知△ABC 是正三角形，若点M 满足AM →=13AB →+12AC →，则AM →与AC →夹角的余弦值为（ ）A ．√63B ．√36C ．√1912D ．4√19197．如图，在正四面体ABCD 中，E ，F 是棱CD 上的三等分点，记二面角C ﹣AB ﹣E ，E ﹣AB ﹣F ，F ﹣AB ﹣D 的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则（ ）A ．θ1＝θ2＝θ3B ．θ1＜θ2＜θ3C ．θ1＝θ3＞θ2D ．θ1＝θ3＜θ28．已知三棱锥A ﹣BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，AD ＝2，若球O 的表面积为22π，则三棱锥A ﹣BCD （以A 为顶点）的侧面积的最大值为（ ）A ．6B ．212C ．252D ．272二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βC ．若α∥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ∥nD ．若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n10．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c ＝4：5：6，则（ ） A ．A ：B ：C ＝4：5：6 B ．sin A +sin C ＝2sin BC ．cos C =18D ．3sin A ＝8sin2C11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用（x ，y ）表示一次试验的结果．记“x +y ＝7”为事件A ，“xy 是奇数”为事件B ，“x ＞3”为事件C ，则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立12．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2√2，则（ ） A ．棱台的侧面积为12√7B ．棱台的体积为28√6C ．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为12D ．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为√77三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．在平行四边形ABCD 中，AE →=2ED →，BF →=FC →，AC →=λAE →+AF →，则λ＝ ． 14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 ．15．如图，在△ABC 中，AC ＝2，A =π3，点D 在线段AB 上，且AD ＝2DB ，sin ∠ACD =√7sin ∠BCD ，则△ABC 的面积为 ．16．在△ABC 中，若cosB =√22，则（tan 2A ﹣3）sin2C 的最小值为 ．四、解答题：共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在直角坐标系xOy 中，设向量a →=（2sin θ，1），b →=（1，sin （θ+π3）），θ∈R ． （1）若a →•b →=0，求tan θ的值；（2）若a →∥b →，且θ∈（0，π2），求θ的值．18．（12分）已知向量a →，b →满足|a →|=1，b →=(1，√3) （1）若|a →+2b →|=3，求|2a →−3b →|的值；（2）若a →⋅(a →−b →)=0，求a →在b →上的投影向量的坐标．19．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O ，E 分别为B 1D ，AB 的中点． （1）求证：OE ∥平面BCC 1B 1； （2）求证：平面B 1DC ⊥平面B 1DE ．20．（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．21．（12分）如图，在△ABC中，AB=√2，BC＝2，以AC为边，向△ABC外作正方形ACDE，连接BD．（1）当AB⊥BC时，求B到直线DE的距离；（2）设∠ABC＝θ（0＜θ＜π），试用θ表示BD，并求BD的最大值．22．（12分）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（π3≤α≤2π3）． （1）分别记△AGM ，△AGN 的面积为S 1，S 2，试将S 1，S 2表示为α的函数； （2）求y =1S 12+1S 22的最大值与最小值．2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝1+2i （i 为虚数单位），则z 2＝（ ） A ．﹣3+2iB ．﹣3+4iC ．5+2iD ．5+4i解：z 2＝（1+2i ）2＝1+4i ﹣4＝﹣3+4i ， 故选：B ．2．函数f(x)=cosx −√3sinx 在[0，π2]的最大值是（ ） A ．2B ．0C ．1D ．√3解：由已知可得，f(x)=2×(12cosx −√32sinx)=2cos(x +π3)， 因为0≤x ≤π2，所以π3≤x +π3≤5π6，又y ＝cos x 在[π3，5π6]上单调递减，所以，当x +π3=π3，即x ＝0时，函数取得最大值f(0)=2cos π3=1． 故选：C ．3．如图，在正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A 'D '与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．√63B ．√33C ．√22D ．12解：取CD 的中点M ，连结ME ，FM ，因为F ，M 分别为AB ，DC 的中点，所以FM ∥AD ， 又A 'D '∥AD ， 所以A 'D '∥FM ，则∠EFM 即为异面直线A 'D '与EF 所成角，不妨设正方体的棱长为2， 则FM ＝2，EM =√1+1=√2， 所以EF =√22+(√2)2=√6，在Rt △EFM 中，cos ∠EFM =FMEF =2√6=√63，所以异面直线A 'D '与EF 所成角的余弦值是√63． 故选：A ．4．若钝角三角形的边长分别为a ，a +3，a +6，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（3，9）B ．（0，9）C ．（3，+∞）D ．（9，+∞）解：由已知得{a +a +3＞a +6a 2+(a +3)2＜(a +6)2，∴3＜a ＜9． 故选：A ．5．如图，在五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α的值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：由图可得tan β＝3，tan α=12，∴tan （β﹣α）=tanβ−tanα1+tanβ⋅tanα=3−121+3×12=1，∵0＜β＜π2，0＜α＜π2，∴−π2＜β﹣α＜π2， ∴β﹣α的值为π4．故选：B ．6．已知△ABC 是正三角形，若点M 满足AM →=13AB →+12AC →，则AM →与AC →夹角的余弦值为（ ）A ．√63B ．√36C ．√1912D ．4√1919解：∵AM →=13AB →+12AC →，且△ABC 是正三角形，∴|AM →|2=19|AB →|2+13AB →⋅AC →+14|AC →|2=19|AB →|2+16|AB →|2+14|AB →|2=1936|AB →|2，∴|AM →|=√196|AB →|，∴AM →•AC →=13AB →•AC →+12AC →2=16|AB →|2+12|AB →|2=23|AB →|2，∴cos ＜AM →，AC →＞=AM →⋅AC →|AM →||AC →|=23|AB →|2196|AB →→=4√1919， ∴AM →与AC →夹角的余弦值为4√1919． 故选：D ．7．如图，在正四面体ABCD 中，E ，F 是棱CD 上的三等分点，记二面角C ﹣AB ﹣E ，E ﹣AB ﹣F ，F ﹣AB ﹣D 的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则（ ）A ．θ1＝θ2＝θ3B ．θ1＜θ2＜θ3C ．θ1＝θ3＞θ2D ．θ1＝θ3＜θ2解：如图1，在正四面体ABCD 中，取AB 的中点G ，连接CG ，DG ，则CG ⊥AB ，DG ⊥AB ，而CG ∩DG ＝G ， 所以AB ⊥平面CDG ，连接EG ，FG ，因为EG ⊂平面CDG ，FG ⊂平面CDG ，所以AB ⊥EG ，AB ⊥FG ． 由二面角的平面角的定义可以判断θ1＝∠CGE ，θ2＝∠EGF ，θ3＝∠FGD ，由对称性容易判断θ1＝θ3． 设该正四面体的棱长为6，如图2，CD ＝6，易得CG =DG =3√3，取CD 的中点H ，则GH ⊥CD ，CE ＝2，EH ＝HF ＝1，在△GCH 中，由勾股定理可得GH =√GC 2−CH 2=3√2，于是GE =GF =√(3√2)2+12=√19．于是，在△GCE 中，由余弦定理可得cosθ1=(3√3)2+(√19)2−222×3√3×√19=7√57，在△GEF 中，由余弦定理可得cosθ2=(√19)2+(√19)2−222×√19×√19=1719，而(757)2=4957=9311083＞(1719)2=289361=8671083⇒7571719，即1＞cos θ1＞cos θ2＞0⇒θ1＜θ2，于是θ1＝θ3＜θ2． 故选：D ．8．已知三棱锥A ﹣BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，AD ＝2，若球O 的表面积为22π，则三棱锥A ﹣BCD （以A 为顶点）的侧面积的最大值为（ ）A ．6B ．212C ．252D ．272解：取BC 中点E ，∵∠BAC ＝90°，∴E 为△ABC 的外接圆圆心，过E作AD的平行线，由球的性质可知，球心O必在此平行线上，作OF∥AE，交AD于F，如图所示：OA=√OE2+AE2，OD=√OF2+DF2=√AE2+DF2，OA＝OD，∴AF＝DF＝OE=12AD＝1，∵球O的表面积为22π∴球O的半径R=√222，设AB＝x，AC＝y，由R=OC=√CE2+OE2=√x2+y24+1=√222，得：x2+y2＝18，∴三棱锥A﹣BCD侧面积S＝S△ABD+S△ACD+S△ABC=12•2x+12•2y+12xy＝x+y+12xy，由x2+y2≥2xy，得：xy≤9，（当且仅当x＝y＝3时取等号），又（x+y）2＝x2+y2+2xy≤18+x2+y2＝36（当且仅当x＝y＝3时取等号），∴S≤6+92=212（当且仅当x＝y＝3时取等号）．故选：B．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nD．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n解：A．若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此A不正确；B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β，因此B正确；C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n，因此C正确；D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此D不正确．故选：BC．10．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则（）A．A：B：C＝4：5：6B．sin A+sin C＝2sin BC．cos C=18D．3sin A＝8sin2C解：对于A，由题意可知，sin A：sin B：sin C＝a：b：c＝4：5：6，但推不出A：B：C＝4：5：6，故A 错误；对于BC，由a：b：c＝4：5：6，不妨设a＝4k，b＝5k，c＝6k，则a+c＝2b，由正弦定理可得，sin A+sin C＝2sin B，故B正确；cos C=16k 2+25k2−36k22×4k×5k=18，故C正确；又sinAsin2C =a2ccosC=4k12kcosC=83，故3sin A＝8sin2C，故D正确．故选：BCD．11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．记“x+y＝7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x＞3”为事件C，则（）A．A与B互斥B．A与B对立C．A与C相互独立D．B与C相互独立解：对于A，事件：A＝“x+y＝7”包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），事件B＝“xy为奇数”，包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），（5，1），（5，3），A与B不能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，A与B不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B错误；P（A）=66×6=16，P（B）=96×6=14，P（C）=186×6=12，P（AC）=36×6=112，P（A）•P（C）=16×12=112，P（AC）＝P（A）•P（C），P（BC）=36×6=112≠P（B）P（C），B与C不相互独立，A与C独立，故C正确，D错误．故选：AC．12．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2√2，则（）A．棱台的侧面积为12√7B ．棱台的体积为28√6C ．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为12D ．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为√77解：根据题意，如图所示，作正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1， 依次分析选项：对于A ，在侧面梯形ABB 1A 1中，A 1B 1＝2，AB ＝4， 则AH =12（4﹣2）＝1，则斜高A 1H =√8−1=√7， 故梯形ABB 1A 1的面积S ′=(4+2)√72=3√7， 故棱台的侧面积S ＝4S ′＝12√7，A 正确；对于B ，底面ABCD 为正方形，则HM ＝AH ＝1，A 1H =√7， 则棱柱的高A 1M =√7−1=√6， 故棱台的体积VOA =13（4+16+8）×√6=28√63，B 错误； 对于C ，棱台的侧棱与底面所成的角即∠A 1AM ，则余弦值cos ∠A 1AM =AMAA 1=12，C 正确；对于D ，棱台的侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成锐二面角的平面角为∠DHM ， 则cos ∠DHM =HMA 1H =7=√77，D 正确．故选：ACD ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．在平行四边形ABCD 中，AE →=2ED →，BF →=FC →，AC →=λAE →+AF →，则λ＝34．解：由AE →=2ED →，BF →=FC →得：AD →=32AE →，BF →=12AD →=34AE →，在平行四边形ABCD 中，由加法的平行四边形法则可得：AC →=AD →+AB →， 故AC →=32AE →+FB →−FA →=32AE →−34AE →+AF →=34AE →+AF →，故λ=34， 答案为：34．14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 4π．解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形， 所以2πr ＝2，h ＝2， 所以h ＝2，r =1π，所以圆柱的体积为πr 2•h =4π． 故答案为：4π．15．如图，在△ABC 中，AC ＝2，A =π3，点D 在线段AB 上，且AD ＝2DB ，sin ∠ACD =√7sin ∠BCD ，则△ABC 的面积为 3√32．解：在△ACD 中，由正弦定理得AD sin∠ACD=CD sin∠A，即ADsin∠ACD=CD sinπ3，（1） 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin∠BCD=CD sinB，（2）又sin ∠ACD =√7sin∠BCD ，（3）， 联立（1）（2）（3）得，sinB =√217， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sinπ3=AC sinB，可得BC =2×√32217=√7，由余弦定理得cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB =AB 2−32×2×AB =12， 即AB 2﹣2AB ﹣3＝0， 因为AB ＞0，解得AB ＝3，因此，△ABC 的面积为S △ABC =12AB ⋅ACsin π3=12×3×2×√32=3√32． 故答案为：3√32．16．在△ABC 中，若cosB =√22，则（tan 2A ﹣3）sin2C 的最小值为 4√2−6 ．解：因为cosB =√22，所以B ＝45°，则（tan 2A ﹣3）sin2C ＝（tan 2A ﹣3）sin[2π﹣2（A +B ）]＝﹣（tan 2A ﹣3）sin （2A +π2）=−sin 2A−3cos 2Acos 2A×cos2A =−1−cos2A2−3×1+cos2A 21+cos2A2•cos2A =2(1+2cos2A)⋅cos2A1+cos2A①， 令t ＝1+cos2A ， 因为A ∈（0，3π4），所以t ∈（0，2），①=2[1+2(t−1)](t−1)t =2(2t 2−3t+1)t =4t +1t ×2﹣6≥2√4t ⋅2t −6＝4√2−6，当且仅当4t =1t×2，即t =√22时取等号． 故答案为：4√2−6．四、解答题：共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在直角坐标系xOy 中，设向量a →=（2sin θ，1），b →=（1，sin （θ+π3）），θ∈R ． （1）若a →•b →=0，求tan θ的值；（2）若a →∥b →，且θ∈（0，π2），求θ的值．解：（1）在直角坐标系xOy 中，已知向量a →=（2sin θ，1），b →=（1，sin （θ+π3）），θ∈R ， ∵a →•b →=0，∴2sin θ+sin （θ+π3）＝0， 即2sin θ+sin θcos π3+cos θsinπ3=0，即52sin θ+√32cos θ＝0， ∴tan θ=−√35；（2）∵a →∥b →，∴2sin θsin （θ+π3）＝1， ∴2sin 2θcos π3+2sin θcos θsinπ3=1，∴12（1﹣cos2θ）+√32sin2θ＝1，整理得√32sin2θ−12cos2θ=12，所以sin （2θ−π6）=12， 又θ∈（0，π2），所以2θ−π6∈（−π6，5π6），所以2θ−π6=π6， 即θ=π6．18．（12分）已知向量a →，b →满足|a →|=1，b →=(1，√3) （1）若|a →+2b →|=3，求|2a →−3b →|的值；（2）若a →⋅(a →−b →)=0，求a →在b →上的投影向量的坐标． 解：（1）由题得|b →|=2，|a →+2b →|2=a →2+4a →⋅b →+4b →2=4a →⋅b →+17=9， ∴a →⋅b →=−2．∴|2a →−3b →|=√4a →2−12a →⋅b →+9b →2=√4+24+36=8；（2）a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=1−a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=1， ∴|a →|cos〈a →，b →〉=a →⋅b →|b →|=12，∴投影向量坐标为12×b→|b →|=(14，√34)， ∴投影向量坐标为(14，√34)．19．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O ，E 分别为B 1D ，AB 的中点． （1）求证：OE ∥平面BCC 1B 1； （2）求证：平面B 1DC ⊥平面B 1DE ．证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且OF=12DC，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1＝1，从而d2=d3=32，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C＝C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分20．（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．解：（1）由频率分布直方图可知：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035；（2）平均数为：20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5岁，因为0.1+0.15＝0.25＜0.5，0.1+0.15+0.35＝0.6＞0.5所以中位数落在[35，45）内，设中位数为m，则10×0.010+10×0.015+（m﹣35）×0.035＝0.5，所以m≈42.1岁；（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3，设从5人中随机抽取2人，为{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}共10个样本点，这2人恰好在同一组的样本点为{a1，a2}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}共4个，所以P=410=25．21．（12分）如图，在△ABC中，AB=√2，BC＝2，以AC为边，向△ABC外作正方形ACDE，连接BD．（1）当AB⊥BC时，求B到直线DE的距离；（2）设∠ABC＝θ（0＜θ＜π），试用θ表示BD，并求BD的最大值．解：（1）在△ABC 中，AB =√2，BC ＝2，又△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，可得AC =√22+(√2)2=√6， 则点B 到AC 的距离h =AB⋅BC AC =2√2√6=2√33，得B 到DE 的距离为√6+2√33． （2）在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos θ＝6﹣4√2cos θ， 所以CD 2＝BC 2＝6﹣4√2cos θ． 设∠ACB ＝α，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos （α+π2） ＝BC 2+CD 2+2BC •AC sin α ＝4+6﹣4√2cos θ+4S △ABC ＝10﹣4√2cos θ+4√2sin θ ＝10+8sin （θ−π4），0＜θ＜π．于是当θ=3π4时，BD 2最大为18，即BD 的最大值为3√2．22．（12分）如图，已知△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（π3≤α≤2π3）． （1）分别记△AGM ，△AGN 的面积为S 1，S 2，试将S 1，S 2表示为α的函数； （2）求y =1S 12+1S 22的最大值与最小值．解：（1）因为点G 是正△ABC 的中心， 所以AG =23AD =2√3．在△AMG 中，∠BAG =π6，∠AMG =π−π6−α=5π6−α， 所以MG =AGsin30°sin(5π6−α)=√33sin(5π6−α)=1√3sin(π6+α)在△ANG 中，同理，可得NG =√33sin(α−π6)．所以S 1=12AG ⋅MG ⋅sinα=sinα3sin(π6+α)(π3≤α≤2π3)，S 2=12AG ⋅NGsin(π−α)=sinα3sin(α−π6)(π3≤α≤2π3)； （2）y =1S 12+1S 22=9sin 2(π6+α)sin 2α+9sin 2(α−π6)sin 2α=9[1−cos(π3+2α)]+1−cos(2α−π3)2sin 2α=9(2−cos2α)2sin 2α=92sin 2α+9，因为π3≤α≤2π3，所以α=π2时，y min =272；当α=π3或α=2π3时，y max ＝15．。
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江苏省南京市高一第二学期期末考试数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为．8．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为60°．【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k=，设倾斜角等于α，则0°≤α＜180°，且tanα=，∴α=60°，故答案为60°．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为32．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6=1×25=32．故答案为：32．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为1．【解答】解：直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式：=1，∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1．故答案为：1．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为45°．【解答】解：∵a=，b=，A=120°，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴B=45°．故答案为：45°．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1）．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为1、﹣2，又函数y=（x﹣1）（x+2）的图象开口向上，∴（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx===．∴函数y=sinx﹣cosx的最大值为．故答案为：7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为4．【解答】解：∵x∈（﹣2，+∞），∴x+2＞0∴y=x+=x+2+﹣2≥2﹣2=6﹣2=4，当且仅当x=1时取等号，故该函数的最小值为4，故答案为：48．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，则有PO=，正四棱锥的体积为V==2，故答案为：．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．【解答】解：sin（θ+）=，利用和与差构造即可求解．∵θ∈（，），∴θ+∈（，π）∴cos（θ+）=﹣．那么：cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin sin（θ+）==．故答案为：．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为③④．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故③正确；在④中，若a⊥α，α⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．故答案为：③④．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为﹣2．【解答】解：∵S3，S2，S4成等差数列，∴2S2=S3+S4，∴2a3+a4=0，可得q=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，+∞），∵B⊆A，∴2a≤2，联立，解得．②2a＜1时，A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B⊆A，由2a＜1，解得a．综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8] ．【解答】解：∵a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，即n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n﹣1．∵+19≤3n，化为：λ≤=f（n）．+19≤3n对任意n∈N*都成立，⇔λ≤f（n）min．由f（n）≤0，可得n≤，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．f（n+1）﹣f（n）=﹣=≤0，解得n≤．∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），可得f（n）min=f（5）=﹣8．则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．故答案为：（﹣∞，﹣8]．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y===≥=．当且仅当y=，x=时取等号．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π）．∴cosα==．可得：tanα=．（1）sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=×=．（2）tan2α==．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点∵MP∥AC，MP=，又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC；（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1又CM⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0），∴BC的斜率为=1，故直线BC的方程为y﹣0=1•（x﹣1），即x﹣y﹣1=0，故BC边上高的长度即点A到直线BC的距离，即=．（2）∵直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，∴直线l垂直于线段AB，故直线l的斜率为==4，故直线l的方程为y﹣0=4•（x﹣1），即4x﹣y﹣4=0．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB．由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB．得sinB=2sinBcosB．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴cosB=，即B=．（2）在△ABC中，AB=3，BC=2，B=．由余弦定理，cos=，可得：AC=．在△ADC中，AC=，AD=1，ABCD在圆上，∵B=．∴∠ADC=．由余弦定理，cos==．解得：DC=2四边形ABCD的面积S=S△ABC +S△ADC=AD•DC•sin+AB•BC•sin=2．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？【解答】解：（1）由题意可知MG=CH=x，由△CHN∽△CAB可得，即，∴NH=，∴M到地面的距离MH=MN+NH=．（2）DG=CD﹣CG=CD﹣MH=，同理EG=9﹣，∴tan∠DMG===，tan∠EMG==，∴tanθ=tan（∠EMG﹣∠DMG）===，∵0＜x≤8，∴5x+≥2=30，当且仅当5x=即x=3时取等号，∴当x=3时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．【解答】解：（1）设{a n}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．∴，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴b1=1，b2=3，公比q=3．∴b n=3n﹣1．（2）S n==n2．∴=．∵数列{}为等差数列，∴=+，t2﹣2t=0．解得t=2或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，∴该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），∵37=2187，38=6561．∴取k=8，可得前=36项的和为：=1700，令T n=1821=1700+，解得m=5．∴n=36+5=41．。