线性目标规划

满意解这一概念的提出是对最优化概念的一种突破， 显然它更切合实际，更便于运用，因而受到广大实际工作 者的欢迎而被广泛采用。
3、目标规划的数学模型
在例1中若工厂提出的管理目标按优先级排列如下： P1 级目标：希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； P2 级目标：最好能节约4小时设备工时； P3 级目标：希望计划利润不小于48元； 由于原材料严重短缺，故原材料约束作为绝对约束。 试建立目标规划模型。
3000
x1,2
0,
d
j
d
j
0
(j
1,2,3,4)
例4：某工艺品厂手工生产两种工艺品A、B，已知生产 一件产品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗 费人力3工时。A、B产品单位利润分别为250元和125元 。为了最大效率利用人力资源，确定生产首要任务是保 证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于 600工时，但也不能超过680工时的极限；次要任务是要 求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提下， 为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不 低于200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假 设B完成最低产量120件的重要性是A完成200件的重要 性的1倍。试求如何安排生产？
规划模型：
max Z 6x1 8x2
s.t.54xx11
10x2 60 4x2 40
x1, x2 0
解得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，
利润为 zmax 64 元。
如果工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际 情况，考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元。
min
Z
P1d1
P1d
2
P2
d
3
P3d
4
P3 (2d5 )
2x1 3x2 d1 d1 600
2x1
3 x2
d
2
d
2
680
s.t.2x150xd1412d54x2
d
3
200
d3
70000
x2
d5
-
d
5
120
x1, 2
0,
d
j
,
d
j
0
(j
1,2,3,4,5)
练习 某厂生产Ⅰ、Ⅱ两
目标规划问题实例
例1：工厂生产两种产品，受到原材料供应和设 备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件 下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据 见下表。
产品
ⅠⅡ
原材料(kg/件)
5
10
设备工时(h/件) 4
4
利润(元/件)
6
8
限量 60 40
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1, x2，建立线性
种产品，有关数据如表 所示。试求获利最大的
原材料
ⅠⅡ 21
生产方案？
设备(台时) 1 2
单件利润 8 10
在此基础上考虑：
（1）产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；
（2）充分利用设备有效台时，不加班；
（3）利润不小于 56 元。
解: 第一目标： P1d1
即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。
第二目标：
P2
(d
2
1、问题的提出
线性规划是在一组线性约束条件下，寻求某一项 目标的最优值，而实际问题往往要考虑多个目标的 决策问题。 如核电站的设计问题，传统的单目标规划只允许 设定一个目标，那么单一目标选择什么？电站建设 费用最低，安全运行的可靠性最高，电能输出最大 ，对周围环境的影响最小。显然，上述目标都很重 要，且又互相矛盾。这是一个多目标决策问题，普 通的线性规划是无能为力的。
4
d
4
3600
d
4
,
d
4
0
目标规划模型为：
min Z
P1d1
P2
(7d
2
12d3 )
P3
(d
4
d
4
)
70
x1 x1
120x2
d1
d
2
d1
d
2
50000 200
9x1
x2
d
3
d3
250
4 x2
d
4
d
4
3600
4x1
5 x2
2000
3x1 10x2
d
2
)
第三目标：
P3d
3
拥有量 11 10
规划模型：
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d3
x1 x2 d1 d1 0
x1
2 x2
d
2
d
2
10
8x1 10x2 d3 d3 56
2x1 x2 11
x1,2
0,
d
j
,
d
j
0
(j
1,2,3)
d＋——超出目标值的差值，称正偏差变量；
d－——未达到目标值的差值，称负偏差变 量；
• 当实际值超出目标值时，有d－＝0， d＋＞0； • 当实际值未达到目标值时，有d＋＝0，d－＞0 ； • 当实际值同目标值恰好一致时， d＋＝ d－ ＝ 0 。
注意 : d , d 中,至少有一个为零 ,即d d 0。
单位 产 品
甲
资源 消耗
钢材 9
乙 资源限 制
4 3600
煤炭 4 5 2000
设备台 3 10 3000
单时件利 70 120
润
若提出下列要求：
（1）完成或超额完成利润指标 50000元； （2）产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； （3）现有钢材 3600吨正好用完。
试建立目标规划模型。
min z f (d d )
• 如希望产品Ⅰ 产量低于产品Ⅱ的产量 ，即允许达不 到目标值，正偏差变量要尽可能地小, 这时目标函数是：
min z f (d )
• 如希望产品Ⅰ 产量不低于产品Ⅱ的产量 ，即要求超
过目标值，不得低于目标值，负偏差变量尽可能地小，这
时目标函数是：
min
z
f (d )
解：
本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1、 P2、P3表示从高至低的优先权。
P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600 工时，也不能超过680工时；
P2有一个目标：每周利润超过70000元； P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于 200和120件。
采用简化模式，最终得到目标线性规划如下：
①目标函数变为目标约束
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和偏差 变量后可变换为目标约束。
比如：计划利润不少于48元。
6x1 8x2
6x1 8x2 d d 48
这样就将目标函数则转化为目标约束。
②绝对约束变为目标约束
该约束的右端项看作目标值，再引入正、负偏差
变量即可。
x2
来自百度文库
1 2
x1
则目标函数可以转换为目标约束，既
70 x1 + 120 x2＋d1 d1 ＝50000，
同样，规定 x2＝200， x3＝250 则有
x1
d
2
d
2
200
x2
d
3
d
3
250
d
j
,
d
j
0
( j 1.2.3)
规定3600的钢材正好用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600
则变为
9x1
4x2
d
分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。
第一目标： P1d1
第二目标：有两个要求即甲
d
2
，乙d3
，但两个
具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题
可用单件利润比作为权系数即 70 :120，化简为7:12。
P2
(7d
2
12
d
3
)
第三目标：
P3
(d
4
d
4
)
规定利润的目标值为 50000，正、负偏差为d＋、d－ ，
恰好达到目标值，取
d
l
。d
l
允许超过目标值，取 d。l
不允许超过目标值，取 d。l
例3：某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种 产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得 的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太 好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。 试建立此问题的数学模型。
对属于同一层次优先等级的不同目标，按其重要程 度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字， 乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
（4）目标规划的目标函数－－准则函数
从决策者的要求分析：总希望得到的结果与规 定的目标值间的偏差愈小愈好，由此决策者可根据 自己的要求构造一个使总偏差量为最小的目标函数， 这就是目标规划的目标函数称为准则函数，记为
（2）绝对约束与目标约束
绝对约束又称系统约束，是指必须严格满足的等 式和不等式约束，如线性规划问题的所有约束都是绝 对约束，不满足这些约束条件的解称为非可行解，所 以它们是硬约束。
原材料严重短缺，原料数量只有60； 5x1 10x2 60
目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看做 要追求的目标。在达到此目标值时允许发生正偏差或 负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，是 软约束。
或
x1 2x2
0
此为系统约束
x1 2x2 d d 0
在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在 这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束， 在给定目标值和加入正、负偏差变量之后，可以将 绝对约束转化为目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数
在一个规划问题中，决策者在要求达到这些目标时， 是有轻重缓急的，称这些目标是属于不同层次的优先等 级。优先等级层次的高低可分别通过优先因子P1， P2，…表示，并规定Pk ＞＞Pk＋1，符号“＞＞”表示 “远大于”，表示Pk与Pk＋1，不是同一各级别的量，即 Pk与Pk＋1有更大的优先权。
例1中目标函数的构成
x1 2x2 d d 0
希望产品 Ⅱ产量不超过产品Ⅰ产量的一半，即正偏差
变量要尽可能地小，不希望上式中的d＋＞0，这时目标函
数是：
min d
4x1 4x2 d d 36
希望能节约4小时设备工时，即正偏差变量要尽可能 小，不希望上式中的d＋＞0，这时目标函数是：
min Z f d , d
即目标函数是正、负偏变量的函数。
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情 况之一，对应每种要求，可分别构造目标函数：
构造目标函数的方法
x1 x2 d d 0
• 如希望产品Ⅰ 产量恰好等于产品Ⅱ的产量 ，即正、 负偏变量都要尽可能地小，这时目标函数是：
解：引入偏差变量
目标约束：
按优先级确定目标函数， 级目标要求
目标要求
； 级目标要求
该问题的目标规划模型为：
；级
s.t.
其中①为绝对约束，②、③、④为目标约束。
该问题也可以这样处理，把绝对约束①化为目标约束。
而把 级目标要求 得：
设为，其余依次后退优先级，
s.t.
二、目标规划的数学模型
1、模型的一般形式
2、目标规划的基本概念
（1）目标值和正、负偏差变量 目标规划通过引入目标值和正、负偏差变量。 所谓目标值是预先给定的某个目标的一个期望值。
实际值（或决策值）是当决策变量x1、x2、…、xn选 定以后目标函数的对应值。显然，实际值和目标值之 间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法 确定的未知量)，用d＋和d－表示。
第5章 线性目标规划 (Goal Programming)
一、目标规划概述 二、目标规划的数学模型 三、目标规划的图解法 四、目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
• 线性规划在实践中得到广泛应用，但有两个方 面不足：一是不能处理多目标的优化问题；二是 其约束条件过于刚性化，不允许约束资源有丝毫 超差。 • 目标规划是为了解决这一不足而创建的一类数 学模型。
min d
6x1 8x2 d d 48
希望计划利润不少于48元，即负偏差变量尽可能小，
不希望上式中的d－＞0，这时目标函数是：
min d
（5）满意解
目标规划问题的求解是分级进行的，首先要求满足P1 级目标的解；然后再保证 P1级目标不被破坏的前提下， 再要求满足P2级目标的解；…依次类推。总之，是在不破 坏上一级目标的前提下，实现下一级目标的最优。因此， 这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，我们称它 为满意解。之所以叫满意解，是因为前面的目标是可以保 证实现或部分实现的，后面的目标就不一定能保证实现。
K
L
min Z
Pk (
d kl l
kl
d
l
)
k 1
l 1
n
ckj x j
d
l
d
l
ql
(l
1,2
L)
j1
n
aij x j (, )bi
(i 1,2 m)
j1
x
j
0
(j 1,2, , n)
d
l
,
d
l
0
(l
1,2,
, L)
2、目标规划问题的建模步骤
（1）根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定 目标值，列出目标约束与绝对约束；
（2）可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束 转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差 变量和减去正偏差变量即可；
（3）给各目标赋予相应的优先因子 Pk(k=1,2,…,K)；
（4）对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按
其重要程度的不同，赋予相应的权系数
kl
和
kl
（5）根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个 由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求 实现极小化的目标函数。