椭圆离心率求法总结

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椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。在椭圆上，P、QL交OA于B，基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线｜｜AO｜PF｜｜QF｜④③e=e，则①e=②e=QFPD⊥L于D，⊥AD于F,设椭圆的离心率为

｜｜BF｜BO｜PD｜｜｜FO｜AF｜｜ e=e=⑤｜｜AO｜BA｜

P

D

Q

A

B

F O

评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

a2

∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=∴有③。cx2 y2

题目1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭a2 b2

圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？

A

B

FF21

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c

c

c+3c=2a ∴e= = 3-1

a

x2 y2

变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正a2 b2

17

/ 1

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P

FF21O三角形，求椭圆离心率？

3-1

∠F1PF2 =90°图形如上图，e==｜OF1｜=｜OP｜,OF2解：连接PF2 ,则｜｜y2

x2 是椭圆上一，AB为椭圆的顶点，P椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 变形2:

b2 a2

求椭圆离心率？PF2 ∥AB,点，且PF1 ⊥X轴，

B

P

A

F O

b2

=a

｜OB｜=b ｜O= 解：∵｜PF1 ｜F2 F1｜=2c ｜ abPF1｜｜ a2-c2

∵b= ∴PF2 ∥AB = 又 a F2 F1｜｜5 ∴a2=5c2 e=5方程的 c点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2

x2 是短轴的一个顶点，∠B是右焦点，，=1(a>b >0)A是左顶点，F +：椭圆题目2

b2 a2

e?

°，求ABF=9017

/ 2

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B

A

O

F

a2+b2

=｜BF｜=a ｜AB｜｜解：｜AO=a ｜OF｜=c

a2 两边同除以a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0

55 -1--1+)

(舍去e2+e-1=0 e= e=225

x2 y2 -1+是短轴的一个B是左顶点，F +=1(a>b >0)，是右焦点，e=, A变形：椭圆

2a2 b2

顶点，求∠ABF？由余弦定理解决角的问题。答点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，案：90°5-1 引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。2、焦点与相应准线之间的3ABFB1 四点共圆。则°2、假设下端点为B1 ,性质：1、∠ABF=90 距离等于长半轴长。结合解斜三角形找各边的表示，总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，的方程式。公式，列出有关ey2

x2 两AB60°的直线交椭圆与=1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为题目3：椭圆 +

b2 a2

e?

,求=2｜BF1｜点，若｜F1A｜=2a-m

BF2｜｜=2a-am ｜AF2解：设｜BF1｜=m 则｜2a-cc2=m(2a-c)：a2 –?式相除两?中，由余弦定理得：BF1F2 在△AF1F2 及△ 2(a2-c2)=m(2a+c) 2a+c?21? e==32

y2 x2 ｜是以｜F1F2、F2 (c,0)，P（：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 -c，0）题目4 b2 a2

为直径的圆与椭圆的一个交点，且e?

求PF1F2 =5∠PF2F1 ,∠分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。｜｜｜PF2｜F1F2｜｜F1P = = 解：由正弦定理：sin

PF1F2 sin F1F2P sin F1PF2

根据和比性质：｜PF2｜｜F1P+｜｜｜F1F2 = sin F1PF2 sinF1F2P+sin PF1F2

17

/ 3

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sin F1PF2

｜F1F2｜ =

= 变形得：sin F1F2P +sin PF1F2 F1P｜｜PF2｜+｜

2c =e =2a

°PF1F2 =75°∠PF2F1 =15∠6° sin90 =e=3° sin75°

+sin15点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知

sin F1PF2

e= sin F1F2P +sin PF1F2

x2 y2

变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，

b2 a2

且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？

分析：上题公式直接应用。

解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α

sin F1PF2 sin60° =e==

-α) sinα+sin(120°sin F1F2P +sin PF1F2

1 11≥∴≤e<1

2)α2+30°2sin(x2y2 变形2：已知椭圆+ =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与 4t2 41αβ1长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若

α+βα+β 2sin cos

2 2 sin F1PF2 sin(α+β)解;根据上题结论e== =

βα-βα+sin F1F2P +sin

PF1F2 sinαβ+sin2sin cos 2 2

αβαβ cos cos -sin sin 2 2 2 2

= ββαα cos cos +sin sin

2 2 2 2

αβ1- tan tan 2

2 ==e