2021年数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016.4.21）

欧阳光明（2021.03.07）

一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：

（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；

（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．

综合（1）、（2），……

注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：

题型1.证明代数恒等式

例1．用数学归纳法证明：

证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边3

1121=+=，左边=右边，等式成立．

②假设n =k 时，等式成立，即：

()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．

这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，

由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式

例2．证明不等式n n 21

31

21

1<++++ (n ∈N)．

证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n =k 时，不等式成立，即

k k 21

31

21

1<++++ ．

那么当n =k +1时，

这就是说，当n =k +1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．

说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是

1211

1

31

21

1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要

证明：

1211

2+<++k k k ．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

题型3.证明数列问题

例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －

1)n (n ≥2，n ∈N *)．

(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．

(2)设b n ＝a 22

n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3

. 解：(1)当n ＝5时，

原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5

令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.

(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2

b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，

右边＝2(2＋1)(2－1)3

＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，

即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3

成立 那么，当n ＝k ＋1时，

左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3

＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3

＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3

＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．

综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3

.