北师大版高中数学必修2课件-垂直关系的性质

4．如图，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，DB⊥平面 ABC， CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，N 是 EC 中点，求证：平面 DMN∥ 平面 ABC.
[证明] ∵M，N 分别是 EA 与 EC 的中点，∴MN∥AC， ∵AC 平面 ABC，MN 平面 ABC，∴MN∥平面 ABC， ∵DB⊥平面 ABC，EC⊥平面 ABC， ∴BD∥EC，∴四边形 BDEC 为直角梯形， ∵N 为 EC 中点，EC＝2BD，∴NC 綊 BD，∴四边形 BCND 为
A．BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线 [答案] B
合作 探究 释疑 难
线面垂直的性质 【例 1】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上 一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC. 求证：MN∥AD1.
[证明] 因为四边形 ADD1A1 为正方形，所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面 ADD1A1，AD1 平面 ADD1A1， 所以 CD⊥AD1. 因为 A1D∩CD＝D， 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC，所以 MN∥AD1.
证明线线平行常用如下方法： 1利用线线平行的定义：证共面且无公共点； 2利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线； 3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； 4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； 5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
[跟进训练] 2．如图，四棱锥 V-ABCD 的底面是矩形，侧面 VAB⊥底面 ABCD， 又 VB⊥平面 VAD. 求证：平面 VBC⊥平面 VAC.
[证明] ∵平面 VAB⊥平面 ABCD，且 BC⊥AB，平面 VAB∩平 面 ABCD＝AB，BC 平面 ABCD，
∴BC⊥平面 VAB，∵VA 平面 VAB，∴BC⊥VA， 又 VB⊥平面 VAD，∴VB⊥VA，又 VB∩BC＝B， ∴VA⊥平面 VBC， ∵VA 平面 VAC， ∴平面 VBC⊥平面 VAC.
思考 2：若 α⊥β，则 α 内的直线与 β 内的直线有什么位置关系？ 提示：平行、相交、异面． 思考 3：若 α⊥β，则 α 内的直线是否都与 β 内的直线垂直？ 提示：不是．
1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 A1C1 的中点，则直线 CE
垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D1
D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
2 [∠ACB＝90°，P 为平面 ABC 外一 点，PC＝2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的 距离均为 3，
过点 P 作 PD⊥AC，交 AC 于 D，作 PE⊥BC，交 BC 于 E，过 P 作 PO⊥平面 ABC， 交平面 ABC 于 O，
连接 OD，OE，则 PD＝PE＝ 3， ∴CD＝CE＝OD＝OE＝ 22－ 32＝1， ∴PO＝ PD2－OD2＝ 3－1＝ 2. ∴P 到平面 ABC 的距离为 2.]
易错点) 质定理证明有关问题，培养逻辑推
3．能灵活地应用线面与面面垂直 理素养.
的性质定理证明有关问题．(难点)
自主 预习 探新 知
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)符号语言：l⊥α，m⊥α⇒ l∥m .
(3)图形语言：如图所示． (4)作用：证明两直线 平行 ．
2．在上述问题中，判断平面 SBC 与平面 SDC 是否垂直，并说 明理由．
提示：不垂直．假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC， 又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC， ∴AB⊥平面 SBC，又 SB 平面 SBC， ∴AB⊥SB，这与∠SBA 是 Rt△SAB 的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面 SBC 不垂直于平面 SDC.
[跟进训练] 1．如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β， 垂足为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l， 即 l α，所以 l⊥EA. 同理 l⊥EB. 又 EA∩EB＝E， 所以 l⊥平面 EAB.因为 EB⊥β，a β，所以 EB⊥a， 又 a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以 a⊥平面 EAB，因此，a∥l.
点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关
系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知 B 正
确．]
4．如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平 面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则( )
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂 直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如 下：
1．思考辨析
(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
()
(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条
直线互相垂直．
()
(3)若平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则平面 α⊥平面 γ.
矩形，
∴DN∥BC，又∵DN 平面 ABC，BC 平面 ABC， ∴DN∥平面 ABC， 又∵MN∩DN＝N，且 MN、DN 平面 DMN， ∴平面 DMN∥平面 ABC.
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面面垂直性质的应用 【例 2】 如图，已知 P 是△ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥ 平面 ABC，平面 PAC⊥平面 PBC，求证：BC⊥AC.
[证明] 如图，在平面 PAC 内作 AD⊥PC 于点 D， ∵平面 PAC⊥平面 PBC，AD 平面 PAC，平面 PAC∩平面 PBC＝PC，且 AD⊥PC， ∴AD⊥平面 PBC， 又 BC 平面 PBC， ∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC.BC 平面 ABC， ∴PA⊥BC，
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
证明：取 PC 的中点 F，连接 DE，EF，DF， 在△PBC 中，FE∥PB. 在菱形 ABCD 中，GB∥DE， 而 FE 平面 DEF，DE 平面 DEF，EF∩DE＝E， ∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG 平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD， ∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
垂直关系的综合应用 [探究问题] 1．如图，四边形 ABCD 是正方形，SA⊥平面 ABCD，BK⊥SC 于点 K，连接 DK.判断平面 SBC 与平面 KBD 是否垂直，并说明理由．
提示：垂直．连接 AC(图略)． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD.又 SA⊥平面 ABCD，∴SA⊥BD， ∴BD⊥平面 SAC，∴SC⊥BD. 又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面 KBD. 又 SC 平面 SBC，∴平面 SBC⊥平面 KBD.
其中正确的命题是( )
A．②
Hale Waihona Puke Baidu
B．③
C．①④
D．②③
A [因为 α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点 P 作 β 的垂线必在平 面 α 内且和 l 垂直，①③④可能成立，也可能不成立．]
3．已知∠ACB＝90°，P 为平面 ABC 外一点，PC＝2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为________
思考 1：过一点有几条直线与已知平面垂直？ 提示：一条．
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面 垂直 ． (2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，l β，l⊥m⇒ l⊥α . (3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明直线与平面 垂直 ．
本例条件不变，试求二面角 P-BC-A 的大小．
[解] 如例题解答图，易知 PG⊥平面 ABCD， ∴PG⊥BC.又四边形 ABCD 为菱形，且∠DAB＝60°， ∴BG⊥AD.又 AD∥BC， ∴BG⊥BC，∴BC⊥平面 PBG，∴BC⊥PB. ∴∠PBG 为二面角 P-BC-A 的平面角． 又 PG＝ 23a，BG＝ 23a，PG⊥BG，∴∠PBG＝45°. ∴二面角 P-BC-A 的大小为 45°.
∵AD∩PA＝A， ∴BC⊥平面 PAC， 又 AC 平面 PAC， ∴BC⊥AC.
1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方 法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可 利用面面垂直证明线面垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定 定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1) 两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三 点缺一不可．
【例 3】 如图所示 ，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于 底面 ABCD.
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，能否在 PC 棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD，并证明你的结论． [思路探究] 解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴 含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论．