由基函数选择辅助线性算子的方法
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加（ ， ， ）＝ｎ ｏ ｏ ＋
口
，
ｅ—
，
ｇ （ 叼 ） ＝ Ｌ＿ ｘ ＿ ｏ ６ ｅ ，
（ ４ ）
（ ５ ） （ ６ ）
其中 口 和 为系数．根据边界条件（ ３ ） 和解表达 （ ４ ） ， 选取 ｌ ｔ Ｉ （ ７ ） 和ｇ （ ＇ ７ ） 的初始猜测解为
法是有效 的 ， 也有利 于同伦 分析方法 的进一步研究 ．
关键 词 ： 同伦分析方 法 ； 辅助线性算子 ； 非线性偏微分方程 边值 问题
中图分类号 ： ０１ ７ ５ ．２ ９ 文献标 志码 ： Ａ
０ 引言
１ ９ ９ ２年 ， 廖世俊基于拓扑学理论中同伦 的思想 ， 提 出了同伦分析方法 的初步框架ｕ Ｊ ．随后的这些 年， 随着同伦分析方法的逐步发展和完善， 已成为求解非线性 问题的一种一般方法．目 前 国内外研究者 应用同伦分析方法求解了诸多在科学工程和流体力学等领域中重要的非线性问题 ．
下面我们同样利用同伦分析方法求解边值问题 （ １ ） 一（ ３ ） 含有多项式和指数函数的级数解 ， 不 同于 文献 ［ ７ ］ 的是我们根据基 函数选择辅助线性算子．
１ ． １ 零 阶形 变方 程
我们选择基函数 ｛ ， ７ ｅ 一 研ｌ ｍ ０ ， ｎ ０ ｝ 表达 Ｗ （ ） 和ｇ （ ） 含有多项式和指数函数的级数解
由此 我们 可 以选择 （ ）＝ ” ＋ ， （ ）＝ ＋ ， 作 为辅助 线性算 子 ， 它们 具 有如下 属性 （ ７ ）
￡ 仲 ［ ｃ ｌ ＋ Ｃ ２ ｅ ］ ＝ ０ ， Ｌ ｇ ［ Ｃ ３ ｅ ］ ＝ ０ ，
其中 Ｃ 。 ， ， 为 系数．
（ ８ ）
一
般性． 但是该方法也存在着 自身的局限性和需在理论上需完善之处 ， 如： 同伦分析方法有足够的 自由
去选取初始猜测解 、 辅助线性算子、 辅助 函数 和辅助参数． 但是这种 自由似乎过于宽泛 ， 而且还缺乏一 个严密的数学理论指导．此外 ， 在同伦分析方法 中， 辅助线性算 子 Ｌ 具有如下属性 ， 方程 Ｌ ［ Ｗ （ ｒ ， ｔ ） ］ ＝ ０的解必 须 由基 函数 表达 ．但 是 线性 算子 不一 定都 能具 备 这样 的属性 ， 所 以不具 备该 属性 时 ，只好 取非
们 已经有 效解 决 了多 个非 线性 偏微 分 方程 边值 问题 Ｊ ．
１ 非 线 性偏 微 分 方 程 边 值 问题 的 同伦 级 数 解
我 们考 虑下 面 的非线 性 偏微 分方 程边 值 问题 …
＋
丢 （ ） 一 ２ ｇ ＝ ０ ，
Βιβλιοθήκη Baidu
（ １ ） （ ２ ）
ｇ”一ｗｇ ＋Ｗ ｇ ＝０．
基 函数项 的 系数 为零 … ．
据上述同伦分析方法 中， 选择辅助线性算子存在着两个 问题 ： （ １ ）缺乏严密 的数学理论指导 ； （ ２ ） 线性算子的属性不一定满足解表达原则． 本文针对该问题 ， 研究了如何能克服上述存在的问题 ， 有效选 取辅助线性算子 的方法 ， 即根据基 函数选择辅助线性算子的方法． 将该方法应用到同伦分析方法中， 我
ｏ
（ ＇ ， ）＝一１＋ ｅ 一 ＋ 一 ， ｇ ｏ （ 田 ）＝ｅ 一 ． （ ７ ）＝Ｃ １ ＋Ｃ ２ ｅ 一， ｇ （ ７ ）＝Ｃ ３ ｅ
下面我们根据基 函数选择辅助线性算子．根据基函数假设
为边值问题 （ １ ） 一（ ３ ） 的解 ， 其中 Ｗ （ ． ， ７ ） ， ｇ （ ． ， ７ ） 由基 函数表达 ， 则有 Ｗ （ ７ ）＋ （ ７ ）＝ Ｏ ， ｇ （ ， ， ） ＋ｇ （ ７ ）： ０ ，
内蒙古工业 大学学报
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｉ ＮＮＥＲ ＭＯＮＧＯＬ Ｉ Ａ
第３ ２ 卷
第４ 期
ＵＮＩ ＶＥＲＳ ｎｌ Ｙ ０Ｆ ｒ ＥＣＨＮ０Ｌ ０ＧＹ
文章 编号 ： １ ０ ０ １ —５ １ ６ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ ０ １— ０ ５
由基 函数 选 择 辅 助 线 性算 子 的方 法
苏道毕 力格 ， 王晓 民 ， 盖立涛
（ 内蒙古工业大学理学 院 ， 呼和浩特 ０ １ ０ ０ ５ １ ） 摘要 ： 本文研究 了同伦分 析方法中 由基 函数选择有效 的辅 助线 性算 子的方法 ，并将其应 用到 同伦
分析方法 中 ， 求解 了一个非 线性 偏微分方程边值 问题 ， 并且获得 了收敛 的级数解． 结果表 明此方
同伦 分析 方法 具有 其特 有 的一 些优 点 ， 如： （ １ ）对 强非 线 性 问题 有 效 ， 即使 给定 的非 线性 问题 不含
小（ 大） 参数 ； （ ２ ）能够调节级数解 的收敛 区域和收敛速度 ； （ ３ ）具有选择基函数 的自由；（ ４ ）同伦分析 法在逻辑上包含了 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 人工小参数法 、 ８ 展开法和 Ａ ｄ ｏ ｍ ｉ ａ ｎ 分解法 ， 统一 了这些摄动方法， 更具有
利用该方法选择辅助线性算子克服 了上一 目 所说的两个存在 的问题 ， 如： ① 由基函数构造出线性算 子， 符合数学理论推导 ； ②辅助线性算子的属性（ ８ ） 中的表达式 Ｃ 。 ＋ Ｃ ２ ｅ 和 Ｃ ３ ｅ 是由基函数表示 出来 的．这一点不同于文献［ ７ ］ 中辅助线性算子的属性．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ９—１ ２
基金项 目： 内蒙古 自治区高等学校科学技术研究项 目（ Ｎ ｏ ， Ｎ Ｊ Ｚ Ｙ １ ２ ０ ５ ６ ） ； 内蒙古 自然科学 基金项 目（ Ｎ ｏ ． ２ ０ １ １ Ｂ Ｓ Ｏ １ ０ ６ ）
作 者简介： 苏道 毕力 格 （ Ｊ ９ ７ ５ ．～） ，男 ，副教授 ，博士． 研究 方向： 偏微 分方程 ．
２ ４ ２
内蒙古工业大学学报
２ ０ １ ３ 正
满足边界条件
ｗ（ Ｏ ）＝ ｏ ｔ （ ０ ） ＝ｔ ｔ ７ （＋∞ ） ＝ ０， ｇ （ ０ ）＝ｌ ， ｇ （＋∞ ）＝ ０ ． （ ３ ）
在文献［ ７ ］ 中， 作者利用 同伦分析方法首次给出了该边值问题含有多项式和指数 函数 的显式级数解．
口
，
ｅ—
，
ｇ （ 叼 ） ＝ Ｌ＿ ｘ ＿ ｏ ６ ｅ ，
（ ４ ）
（ ５ ） （ ６ ）
其中 口 和 为系数．根据边界条件（ ３ ） 和解表达 （ ４ ） ， 选取 ｌ ｔ Ｉ （ ７ ） 和ｇ （ ＇ ７ ） 的初始猜测解为
法是有效 的 ， 也有利 于同伦 分析方法 的进一步研究 ．
关键 词 ： 同伦分析方 法 ； 辅助线性算子 ； 非线性偏微分方程 边值 问题
中图分类号 ： ０１ ７ ５ ．２ ９ 文献标 志码 ： Ａ
０ 引言
１ ９ ９ ２年 ， 廖世俊基于拓扑学理论中同伦 的思想 ， 提 出了同伦分析方法 的初步框架ｕ Ｊ ．随后的这些 年， 随着同伦分析方法的逐步发展和完善， 已成为求解非线性 问题的一种一般方法．目 前 国内外研究者 应用同伦分析方法求解了诸多在科学工程和流体力学等领域中重要的非线性问题 ．
下面我们同样利用同伦分析方法求解边值问题 （ １ ） 一（ ３ ） 含有多项式和指数函数的级数解 ， 不 同于 文献 ［ ７ ］ 的是我们根据基 函数选择辅助线性算子．
１ ． １ 零 阶形 变方 程
我们选择基函数 ｛ ， ７ ｅ 一 研ｌ ｍ ０ ， ｎ ０ ｝ 表达 Ｗ （ ） 和ｇ （ ） 含有多项式和指数函数的级数解
由此 我们 可 以选择 （ ）＝ ” ＋ ， （ ）＝ ＋ ， 作 为辅助 线性算 子 ， 它们 具 有如下 属性 （ ７ ）
￡ 仲 ［ ｃ ｌ ＋ Ｃ ２ ｅ ］ ＝ ０ ， Ｌ ｇ ［ Ｃ ３ ｅ ］ ＝ ０ ，
其中 Ｃ 。 ， ， 为 系数．
（ ８ ）
一
般性． 但是该方法也存在着 自身的局限性和需在理论上需完善之处 ， 如： 同伦分析方法有足够的 自由
去选取初始猜测解 、 辅助线性算子、 辅助 函数 和辅助参数． 但是这种 自由似乎过于宽泛 ， 而且还缺乏一 个严密的数学理论指导．此外 ， 在同伦分析方法 中， 辅助线性算 子 Ｌ 具有如下属性 ， 方程 Ｌ ［ Ｗ （ ｒ ， ｔ ） ］ ＝ ０的解必 须 由基 函数 表达 ．但 是 线性 算子 不一 定都 能具 备 这样 的属性 ， 所 以不具 备该 属性 时 ，只好 取非
们 已经有 效解 决 了多 个非 线性 偏微 分 方程 边值 问题 Ｊ ．
１ 非 线 性偏 微 分 方 程 边 值 问题 的 同伦 级 数 解
我 们考 虑下 面 的非线 性 偏微 分方 程边 值 问题 …
＋
丢 （ ） 一 ２ ｇ ＝ ０ ，
Βιβλιοθήκη Baidu
（ １ ） （ ２ ）
ｇ”一ｗｇ ＋Ｗ ｇ ＝０．
基 函数项 的 系数 为零 … ．
据上述同伦分析方法 中， 选择辅助线性算子存在着两个 问题 ： （ １ ）缺乏严密 的数学理论指导 ； （ ２ ） 线性算子的属性不一定满足解表达原则． 本文针对该问题 ， 研究了如何能克服上述存在的问题 ， 有效选 取辅助线性算子 的方法 ， 即根据基 函数选择辅助线性算子的方法． 将该方法应用到同伦分析方法中， 我
ｏ
（ ＇ ， ）＝一１＋ ｅ 一 ＋ 一 ， ｇ ｏ （ 田 ）＝ｅ 一 ． （ ７ ）＝Ｃ １ ＋Ｃ ２ ｅ 一， ｇ （ ７ ）＝Ｃ ３ ｅ
下面我们根据基 函数选择辅助线性算子．根据基函数假设
为边值问题 （ １ ） 一（ ３ ） 的解 ， 其中 Ｗ （ ． ， ７ ） ， ｇ （ ． ， ７ ） 由基 函数表达 ， 则有 Ｗ （ ７ ）＋ （ ７ ）＝ Ｏ ， ｇ （ ， ， ） ＋ｇ （ ７ ）： ０ ，
内蒙古工业 大学学报
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｉ ＮＮＥＲ ＭＯＮＧＯＬ Ｉ Ａ
第３ ２ 卷
第４ 期
ＵＮＩ ＶＥＲＳ ｎｌ Ｙ ０Ｆ ｒ ＥＣＨＮ０Ｌ ０ＧＹ
文章 编号 ： １ ０ ０ １ —５ １ ６ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ ０ １— ０ ５
由基 函数 选 择 辅 助 线 性算 子 的方 法
苏道毕 力格 ， 王晓 民 ， 盖立涛
（ 内蒙古工业大学理学 院 ， 呼和浩特 ０ １ ０ ０ ５ １ ） 摘要 ： 本文研究 了同伦分 析方法中 由基 函数选择有效 的辅 助线 性算 子的方法 ，并将其应 用到 同伦
分析方法 中 ， 求解 了一个非 线性 偏微分方程边值 问题 ， 并且获得 了收敛 的级数解． 结果表 明此方
同伦 分析 方法 具有 其特 有 的一 些优 点 ， 如： （ １ ）对 强非 线 性 问题 有 效 ， 即使 给定 的非 线性 问题 不含
小（ 大） 参数 ； （ ２ ）能够调节级数解 的收敛 区域和收敛速度 ； （ ３ ）具有选择基函数 的自由；（ ４ ）同伦分析 法在逻辑上包含了 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 人工小参数法 、 ８ 展开法和 Ａ ｄ ｏ ｍ ｉ ａ ｎ 分解法 ， 统一 了这些摄动方法， 更具有
利用该方法选择辅助线性算子克服 了上一 目 所说的两个存在 的问题 ， 如： ① 由基函数构造出线性算 子， 符合数学理论推导 ； ②辅助线性算子的属性（ ８ ） 中的表达式 Ｃ 。 ＋ Ｃ ２ ｅ 和 Ｃ ３ ｅ 是由基函数表示 出来 的．这一点不同于文献［ ７ ］ 中辅助线性算子的属性．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ９—１ ２
基金项 目： 内蒙古 自治区高等学校科学技术研究项 目（ Ｎ ｏ ， Ｎ Ｊ Ｚ Ｙ １ ２ ０ ５ ６ ） ； 内蒙古 自然科学 基金项 目（ Ｎ ｏ ． ２ ０ １ １ Ｂ Ｓ Ｏ １ ０ ６ ）
作 者简介： 苏道 毕力 格 （ Ｊ ９ ７ ５ ．～） ，男 ，副教授 ，博士． 研究 方向： 偏微 分方程 ．
２ ４ ２
内蒙古工业大学学报
２ ０ １ ３ 正
满足边界条件
ｗ（ Ｏ ）＝ ｏ ｔ （ ０ ） ＝ｔ ｔ ７ （＋∞ ） ＝ ０， ｇ （ ０ ）＝ｌ ， ｇ （＋∞ ）＝ ０ ． （ ３ ）
在文献［ ７ ］ 中， 作者利用 同伦分析方法首次给出了该边值问题含有多项式和指数 函数 的显式级数解．