由基函数选择辅助线性算子的方法
同伦分析法推求Green_Ampt方程显格式精确解_唐岳灏
N 为非线性算子。 式 中， 令 为辅助参数， 且 ≠ 0； 令 H（ τ） 为辅助函数且 H（ τ） ≠ 0 ； 构造如下一族方程： （ 1 － q） L［ Ω（ τ； q） － φ0 （ τ） ］ = qH（ τ） N［ Ω（ τ； q） ］
（ ψ + h0 ） θ d （ 1） F（ t） f（ t） = dF（ t） / dt， L / T］ ； K e 是饱和 式中， 为入渗速率［ L］ ； θ d 是土壤的水分亏值 导水率， ψ 是湿润锋吸力［ ［ L / L］ ； h0 是初始的积水深度［ L］ ； F （ t） 是累计入渗深 f（ t） = K e 1 + L］ 。 度［ θ d 可以表示为 （ 2） θd = η － θi L / L］ ， L / L］ 。 其中， η 是有效孔隙率［ θ i 是初始含水率［ 对（ 1 ） 式分离变量并积分， 可以得到 K e t = F （ t） － （ ψ + h0 ） θ d ln 1 +
[
]
（ 11 ） 其中 和 H（ τ） 的作用都是帮助（ 11 ） 式收敛， 其 0， 1］ 为一个嵌入变量。 选择也比较自由。 式中 q ∈ ［ HAM 的基本思想是基于这样一种连续映射 Φ（ τ） → Ω（ τ ； q ） ， 当嵌入变量 q 从 0 增大到 1 时， Ω（ τ； q） 从初 即当 q = 0 和 q 始猜测解 φ0 （ τ） 变化到精确解 Φ（ τ） ， = 1 时， 上述方程变成： （ 12 ） Ω （ τ ； 0 ） = φ0 （ τ ） ， Ω（ τ ； 1 ） = φ（ τ ） 当嵌入变量 q 从 0 增大到 1 时， Ω（ τ； q） 从初始猜 测解 φ0 （ τ） 变化到精确解 Φ（ τ） 。 在拓扑学上， 这种连 方程 （ 11 ） 称为零阶形变方程。 根据 续变形成为形变， Taylor 展开定理， 将 Ω（ τ； q） 按照嵌入变量 q 展开成如 下幂级数：
MOM.FDTD.FEM三种
时域有限差分方法（Finite Difference Time Domain），简称FDTD。
FDTD方法是把Maxwell 方程式在时间和空间领域上进行差分化。
利用蛙跳式(Leap frog algorithm)--空间领域内的电场和磁场进行交替计算，通过时间领域上更新来模仿电磁场的变化，达到数值计算的目的。
用该方法分析问题的时候要考虑研究对象的几何参数，材料参数，计算精度，计算复杂度，计算稳定性等多方面的问题。
其优点是能够直接模拟场的分布，精度比较高，是目前使用比较多的数值模拟的方法之一。
矩量法（MoM）是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，对求解微分方程和积分方程均适用。
由于求解过程中需要计算广义矩量，故得名。
矩量法包括如下三个基本过程：（1）离散化过程主要目的是将算子方程化为代数方程，具体步骤是：①在算子L定义域内适当的选择一组线性无关的基函数fn；②将待求函数f表示为该组基函数的线性组合；③利用算子的线性，将算子方程化为代数方程。
（2）取样检测过程主要目的是将求解代数方程的问题转化为求解矩阵方程的问题。
基本步骤是：①在算子L的值域内适当的选择一组线性无关的权函数Wm；②将Wm与代数方程取内积进行N次抽样检验；③利用算子的线性和内积的性质，将N次抽样检验的内积方程化为矩阵方程。
（3）矩阵求逆过程。
R. F. Harrington在《计算电磁场的矩量法》一书中对其原理及过程进行了详尽的介绍.它所做的工作是将积分方程化为差分方程,或将积分方程中积分化为有限求和,从而建立代数方程组,故它的主要工作量是用计算机求解代数方程组.所以,在矩量法求解代数方程组过程中,矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少,在很大程度上影响了计算的速度.如何尽可能的减少矩阵存储量,成为加速矩量法计算的关键.频域方法起步较早，发展也相对比较成熟，有对基函数方面的发展，有对阻抗矩阵的压缩及预处理技术的发展，有对矩阵方程求解的加速改进方法，也有对频域积分方程加以改进的。
径向基函数及其应用
若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。
学位论文题目：盈鱼生迄：数丑是色２豁
作者签名： 茎整ｒＪ
日期：—珥年—≯月－１世日
大连理工大学硕士学位论文
１ 引言
人们经常用函数来定量化地描述应用或工程中所考察的实际对象，而用方程来描述 各对象之间的关系．一个非常重要的任务就是如何用合适的函数来描述实际的对象和如 何解这些方程．
２．１径向基函数
据Ｅ．Ｍ．Ｓｔｅｉｎ和Ｇ．Ｗｅｉｓｓ的定义，径向函数（ｒａｄｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）就是满足（［２】）：如果 ＩＩ而１１４１ ｘ２¨，那么妒（而）＝妒（而）的函数驴．即，仅依赖于产ｌＩ ｘＩＩ的函数．（注：本文中的范数皆 为Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数１
散乱数据拟合一直是计算几何研究的焦点内容之一，本文主要介绍径向基函数的基 本理论及其在散乱数据插值与拟合中的应用．对常用的Ｇａｕｓｓ函数与Ｍｕｌｔｉ—Ｑｕａｄｒｉｃ函数 列举大量实例，对其参数进行分析与比较．并对径向基函数拟插值在数值积分与数值微 分中的应用进行了尝试。
大用
近年来国际上比较认可的处理多元问题的函数基有两种：楔形基（ｒｉｄｇｅ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）和径向基（ｒａｄｉａｌ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）．这两种基有一个共同的特点：就是用事实上的一 元函数来描述多元函数．用它们在计算机里表现多元函数就有明显的储存及运算简单的 优点．楔形基较多地应用在发展型方程、动力系统的求解上．径向基则利用一个一元函数 作用在欧几里得距离上，然后作平移，从而比较适用于物理上各向同性的问题．
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现代信号理论讲义4(信号空间的线性算子)
(t , s )
例：信号的频域表示
(t , s ) e j 2 st
X , Y 表示输入信号x(t )和输出信号y (t )的傅里叶变换; 若网络的冲激响应为h(t ) 则对基函数 (t , s ) e j 2 st的响应为
(t , s ) h(t , )e j 2 s d ,
S
t T
傅立叶变换
X ( f ) U ( f ) ( f ) 1 U( f ) X(f ) ( f )
代表什么？
u (s) x(t ) ( s t )dt ,
T
sS
例：Hilbert变换
x(t ) 1 H [ x ](s ) H [ x]( s ) dt x(t ) ds s t s t 1
7. 算子的谱表示
什么是算子的最佳表示方式？
算子的特征矢量： S {x; Lx x
算子的特征值
C}
特征矢量
M n是由{i S,i=1,2,...,n}张成的空间，则 x(t ) aii (t )
i 1 n n
xMn
n
Lx(t ) ai Li (t ) ai ii (t )
T
sS
其中
u ( ) L( s, )d
S
y(t ) u (s) (t , s)ds,
S
t T
L( s, )= (t , ) ( s, t ) d dt
T
变换核函数
x (t ) u (s) y (t )
线性网络 L ( s, )
v( s )
(t , s )
数乘算子+时延算子
信号空间算子的实例:
第六章 线性算子的表示方法
3．几种典型的核函数
3.1 线性系统的几种常用核函数形式 ①L 是冲击响应为 h(t , ) 的线性系统
(t , s) (t s)
( s, t ) ( s t )
(t , s) (t s)
(s, t ) (s t )
其核函数为：
M f span{xm1, xm2 xn }
结论： a. 值域空间的维数为 L 的秩 m，且 m n ； b. 当 m n 时，L 存在一个 n m 维的零空间。 c. 当 m=n 时，称 L 为非奇异的，存在逆映射 L1 。
2.2 线性泛函序列表示法 设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A、B 空间 的基与对偶基分别为
{x, Lx x A}
故非线性算子的表示十分困难。
线性算子的表示方法就简单得多， 而且实际使用中的算子大都是 线性算子，或可进行线性化近似。 如下图中的线性系统可用冲击响应来表示， 冲击响应是线性系统 的一种表示方法。
x (t) f t,) h(
y (t ) x( )h(t , )d
i 1 i 1 m m
其中 wi (i , L j ) j
j 1
n
2.3 矩阵表示法 与泛函序列表示法相同，设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A 与 B 的基分另为 {1 , 2 n } {1 ,2 n } 和 {1,2 m}
对 x(t ) 进行线性变换得到 y(t )
y (t ) Lx(t ) L u ( s ) (t , s )ds
s
u ( s ) L (t , s )ds
s s
微分方程的算子算法
微分方程的算子算法算子算法的基本思想是将微分方程中的微分算子用一种离散化的方式表示出来，然后将微分方程转化为一个线性代数方程组，通过求解方程组得到微分方程的近似解。
下面将详细介绍算子算法的具体步骤和关键技术。
1.离散化：首先将微分方程中的连续变量离散化，将其表示为一组有限个离散点的集合。
通常采用等间距离散方法，即将求解区间分为若干个等距的小区间，然后在每个区间内选择一个离散点作为离散点。
2.近似：通过逼近方法将微分算子离散化。
主要有两种常用的逼近方法：有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将微分算子用差分算子代替，即用离散点的函数值来逼近函数在该点处的导数。
有限元方法是将微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过在每个小区间内选择一个基函数，然后通过调节基函数的系数，使得近似解在离散点处的值与微分方程的解尽可能接近。
3.矩阵表示：将离散化后的微分方程转化为一个线性代数方程组。
通过将微分方程中的导数替换为近似值，得到一个线性代数方程组，其中未知数为离散点的函数值，系数矩阵和常数向量由离散化和逼近所确定。
4. 求解：通过求解线性代数方程组得到微分方程的近似解。
通常采用数值线性代数方法求解，如Gauss消元法、LU分解法、迭代法等。
求解得到的是离散点的函数值，可以通过插值方法将离散点的函数值插值到整个求解区间，得到微分方程的近似解。
算子算法的优点是可以适用于各种类型的微分方程，可以求解高阶的微分方程，并且有较好的数值稳定性和收敛性。
但是算子算法也存在一些问题，如离散化带来的误差问题、边界条件的处理问题等，需要根据具体问题进行合理的选取和处理。
总之，算子算法是一种重要的求解微分方程的数值计算方法。
通过将微分方程离散化和逼近，转化为一个线性代数方程组，然后通过求解方程组得到微分方程的近似解。
算子算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用前景。
偏微分方程解存在性的计算机辅助证明
偏微分方程解存在性的计算机辅助证明蔡姝婷【摘要】针对具有初值的非线性的偏微分方程，首先，采用牛顿法求出方程的近似解。
接着，利用计算机软件Matlab的帮助，证明在这个近似解的附近存在精确解。
主要的方法是将偏微分方程的解转化为一个紧算子的不动点，然后在计算机中构造一个候补的集合，验证该算子在这个集合中存在一个不动点。
这个过程是通过将不动点定理转化为可以计算的条件，然后在计算机软件中进行验算。
最后，将理论应用在两类偏微分方程上，得出相应方程的近似解，以及相应的数值验算结果。
%For nonlinear partial differential equations with initial value, firstly, we use Newton ’ s method to obtain an approximate solution. Then, by Matlab, we prove that there exists an exact solution near the approximate solution. This can be achieved by letting the solution of the equation be a fixed-point of a compact operator, and then constructing a candidate set so that we prove there exists a solution in the set. We create some computable criteria so that the proof can be applicable in a computer. Lastly we apply our theory to the Emden equation and get some numerical verification results.【期刊名称】《龙岩学院学报》【年(卷),期】2016(034)002【总页数】5页(P34-38)【关键词】非线性;偏微分方程解的存在性;计算机辅助证明;不动点定理【作者】蔡姝婷【作者单位】福建江夏学院福建福州 350108【正文语种】中文【中图分类】O242偏微分方程在生物、化学领域都有所应用［1－2］。
线性代数
九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际 上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九 章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施 行初等变换，消去未知量的方法。
凯莱矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式 定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空 间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。
学术地位
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机 广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基 础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的 逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们 不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性 化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代 数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容。
所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符 号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统 一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪 几类，以及他们分别都有什么性质。
椭圆问题的块中心有限差分多重网格法
椭圆问题的块中心有限差分多重网格法01 有限元法有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。
同伦分析方法_研究背景和现状_廖世俊
1 研究背景自然科学和工程中的大部分问题都是非线性的，其求解比线性问题要困难得多。
高性能计算机的出现，大大提高了人类求解复杂非线性问题的能力，使得数值计算和模拟成为目前广泛使用的手段。
但数值计算也存在其局限性，特别是在处理无限区域、多解、奇性等方面颇为困难。
而解析近似方法在处理无限域、多解、奇性等方面具有较大的优势。
因此，解析近似方法与数值计算方法一样，具有重要的科学价值，一直得到国际学术界的高度重视。
几乎所有的传统解析近似方法都将一个非线性问题以某种方式转化为一系列线性子问题，并用这些子问题之解的线性组合逼近原始非线性问题之解。
因此，对一个解析近似方法之优劣可用如下三个标准来评判：(1)是否总能将任意一个非线性问题转化为一系列线性子问题？(2)线性子问题是否总能方便地求解？(3)是否能保证线性子问题解的线性组合总能逼近原始非线性问题？摄动方法是使用最为广泛的解析近似方法，已成功求解了科学和工程中的许多非线性问题。
本质上，摄动方法将非线性方程之解按某个物理小参数展开为无穷级数，并以该物理小参数为基础进行量级分析，将原始非线性问题转化为一系列线性子问题。
这里，物理小参数的存在是摄动方法之必要前提。
遗憾的是，许多非线性问题，特别是强非线性问题，不具有任何物理小参数，从而传统的摄动方法失效。
其次，即使存在一个物理小参数，其高阶摄动方程完全由原始非线性方程和物理小廖世俊上海交通大学 上海 200240E-mail: sjliao@参数所确定，常常不易求解。
此外，当原始方程的最高导数项正好与物理小参数相乘时，高阶摄动方程的阶数比原始方程的小，从而出现剩余的初、边值条件，导致所谓的“奇异性”问题。
特别是，摄动级数一般都无法确保其收敛到原始方程的解，且绝大多数摄动解仅当物理小参数取值很小时有效。
所以，从方法论角度而言，摄动方法不满足上述三个评判标准。
这些局限性大大限制了摄动理论的应用范围，是摄动方法通常仅适用于弱非线性问题的根本原因。
实变函数与泛函分析
实变函数的定义
实变函数是定义在实 数集上的函数，其值
域也是实数集。
实变函数具有连续性、 可微性、可积性等性
质。
实变函数的定义域可 以是有限区间、无限 区间或者整个实数轴。
实变函数的值域可以 是有限区间、无限区 间或者整个实数轴。
实变函数的性质
实变函数是一类特殊的数学函数，具 有连续性、可微性和可积性等性质。
实变函数的连续性
实变函数的连续性与极限存 在性有关
实变函数在定义域内是连续 的
实变函数的连续性是函数的 一种基本性质
实变函数的连续性与可微性 密切相关
03 实变函数的应用
实变函数在数学物理方程中的应用
实变函数在求解偏微分方程中的应用 在解决波动方程、热传导方程等数学物理方程中的作用 实变函数在数值分析中的重要地位 实变函数在解决物理问题中的应用实例
求解中。
添加标题
05 泛函分析的应用
泛函分析在微分方程中的应用
微分方程的求解：通过泛函分析中的变分法，求解微分方程的近似解。 稳定性分析：利用泛函分析中的算子谱理论，研究微分方程解的稳定性。 近似方法：利用泛函分析中的逼近理论，构造微分方程的近似解。 数值计算：通过泛函分析中的数值分析方法，对微分方程进行数值模拟和计算。
添加标题
随机积分与微分 方程：在概率论 中，随机积分与 微分方程是非常 重要的研究方向， 而泛函分析中的 积分和微分理论 为此提供了重要
的数学基础。
添加标题
泛函分析在量子力学中的应用
描述了量子力学中的波函数和 概率幅
提供了量子力学中算子的表示 和分类方法
揭示了量子力学中的一些重要 定理和原理，如不确定性原理 和量子纠缠
研究对象：实变函数研究的是具体的、有限的、离散的数学对象，而泛函分析则研究 的是抽象的、无限的、连续的数学对象。
物理学中的伴随算子及其计算方法
物理学中的伴随算子及其计算方法伴随算子是物理学中一个非常重要的概念，它在哈密顿力学、量子场论、相对论等领域中都扮演着重要的角色。
伴随算子是一种将函数映射到函数的线性算子，它可以用于求解各种物理问题。
本文将介绍伴随算子的定义、性质以及计算方法。
一、伴随算子的定义在物理学中，伴随算子是一种将一个函数映射到另一个函数的线性算子。
具体地说，如果有两个函数f(x)和g(x)，并且有一个算子A，使得A(f(x))=g(x)，那么我们称A是f(x)的伴随算子。
简而言之，伴随算子就是一个线性算子，它可以将一个函数映射到另一个函数，并且该函数和原来的函数之间存在特定的关系。
二、伴随算子的性质伴随算子有很多重要的性质，其中最基本的是它的线性性。
也就是说，对于任意的函数f(x)和g(x)，以及任何标量a和b，都有：A(af(x)+bg(x))=aA(f(x))+bA(g(x))此外，伴随算子还满足以下两个重要的性质：1. 内积性质：对于任意的两个函数f(x)和g(x)，有：∫f(x)A(g(x))dx = ∫g(x)A*(f(x))dx其中，A*表示A的伴随算子。
2. 自伴随性质：如果一个线性算子A的伴随算子也是它本身，即A=A*，那么我们称A是自伴随的。
三、伴随算子的计算方法计算伴随算子是一项重要的任务，它可以帮助我们解决很多物理问题。
下面我们将介绍如何计算伴随算子。
1. 基本方法：对于一个线性算子A，其伴随算子A*可以通过以下公式计算：∫f(x)A(g(x))dx = ∫g(x)A*(f(x))dx其中f(x)和g(x)是任意给定的两个函数。
这个公式可以用于计算A的伴随算子A*。
2. 自伴随算子：如果一个线性算子A是自伴随的，即A=A*，那么我们可以直接求解A的伴随算子，方法如下：a) 将A表示为一个微分算子或者积分算子的形式；b) 反转微分或者积分算子中的所有系数；c) 将反转后的系数代入原来的微分或者积分算子中得到伴随算子。
神经网络与模糊控制考试题及答案汇总
神经⽹络与模糊控制考试题及答案汇总⼀、填空题1、模糊控制器由模糊化接⼝、解模糊接⼝、知识库和模糊推理机组成2、⼀个单神经元的输⼊是 1.0 ，其权值是 1.5，阀值是-2，则其激活函数的净输⼊是-0.5 ，当激活函数是阶跃函数，则神经元的输出是 13、神经⽹络的学习⽅式有导师监督学习、⽆导师监督学习和灌输式学习4、清晰化化的⽅法有三种：平均最⼤⾪属度法、最⼤⾪属度取最⼩/最⼤值法和中位数法，加权平均法5、模糊控制规则的建⽴有多种⽅法，是：基于专家经验和控制知识、基于操作⼈员的实际控制过程和基于过程的模糊模型，基于学习6、神经⽹络控制的结构归结为神经⽹络监督控制、神经⽹络直接逆动态控制、神⽹⾃适应控制、神⽹⾃适应评判控制、神⽹内模控制、神⽹预测控制六类7．傅京逊⾸次提出智能控制的概念，并归纳出的3种类型智能控制系统是、和。
7、⼈作为控制器的控制系统、⼈机结合作为控制器的控制系统、⽆⼈参与的⾃主控制系统8、智能控制主要解决传统控制难以解决的复杂系统的控制问题，其研究的对象具备的3个特点为、和。
8、不确定性、⾼度的⾮线性、复杂的任务要求9．智能控制系统的主要类型有、、、、和。
9、分级递阶控制系统，专家控制系统，神经控制系统，模糊控制系统，学习控制系统，集成或者（复合）混合控制系统10．智能控制的不确定性的模型包括两类：(1) ；(2) 。
10、(1)模型未知或知之甚少；(2)模型的结构和参数可能在很⼤范围内变化。
11．控制论的三要素是：信息、反馈和控制。
12．建⽴⼀个实⽤的专家系统的步骤包括三个⽅⾯的设计，它们分别是、和。
知识库的设计推理机的设计⼈机接⼝的设计13．专家系统的核⼼组成部分为和。
知识库、推理机14．专家系统中的知识库包括了3类知识，它们分别为、、和。
判断性规则控制性规则数据15．专家系统的推理机可采⽤的3种推理⽅式为推理、和推理。
15、正向推理、反向推理和双向推理16．根据专家控制器在控制系统中的功能，其可分为和。
rayleigh-ritz 方法
rayleigh-ritz 方法
Rayleigh-Ritz 方法是一种近似解决线性代数问题的方法，如特
征值问题和泛函极值问题。
该方法通过构造一个试探函数空间，并选取满足一些特定条件的试探函数，来逼近原问题的解。
具体步骤如下：
1. 选取一个试探函数空间，通常是由一组基函数构成的函数空间。
这些基函数必须能够表示出原问题的解空间。
2. 使用基函数展开原问题的解，即假设原问题的解可以表示为基函数的线性组合。
3. 将基函数的系数作为未知量，将原问题转化为一个待求解的系数向量的问题。
4. 使用Rayleigh-Ritz方法，通过最小化残差或泛函来确定待
求解系数向量的值。
通常使用变分法或最小二乘法来实现。
5. 得到系数向量后，将其代入试探函数空间中，得到近似解。
Rayleigh-Ritz方法的优点是简单易懂，易于实现。
它可以用于
求解常微分方程的特征值问题、梁的挠度分布、杆件的位移分布等问题。
然而，其缺点是对于问题的试探函数的选择较为困难，不同的试探函数可能得到不同的近似解，需要经过一些经验和数值调试来选择合适的试探函数。
另外，由于试探函数空间的维度和基函数的数目较大，计算复杂度较高，需要进行大量数值计算。
第10章 矩量法
第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。
如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。
数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。
数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。
随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。
现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。
典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。
本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。
矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。
20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。
目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。
通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。
如今很多商用软件的开发都基于矩量法。
但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。
对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。
为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。
因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。
10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式 h Lf =（10-1-1） 式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。
这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。
因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。
矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。
下面详述矩量法的具体步骤。
非线性分数阶微分方程的同伦分析解法
非线性分数阶微分方程的同伦分析解法∗许天亮;樊晓敏;张跃进【摘要】针对非线性分数阶微分方程的求解问题，提出一种利用同伦分析法(H AM)的近似求解方法。
首先，合理选择辅助参数构建同伦方程。
然后，通过构建零阶形变方程和高阶形变方程将原问题分解为多个线性问题，并分别求解。
最后，获得在较大范围内收敛的级数解析解。
数值实验表明该方法能够有效地求解非线性分数阶微分方程。
%For the issue that the solution of nonlinear fractional differential equations,an approxi-mate method based on homotopy analysis method (HAM)is proposed.Firstly,the auxiliary parameters are reasonable chosen according to the problem itself to construct the homotopy equation.Then,the original problem is decomposed into a number of linear problems by constructing the zero order deformation equation and the higher order deformation equation.Finally,the analytic solutions of a wide range of convergent se-ries are obtained.The numerical results show that this method can effectively solve the nonlinear fractional differential equation.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2016(038)004【总页数】4页(P6-9)【关键词】非线性分数阶微分方程;同伦分析法;形变方程;近似解【作者】许天亮;樊晓敏;张跃进【作者单位】郑州财经学院信息工程学院，河南郑州 450000;郑州财经学院信息工程学院，河南郑州 450000;华东交通大学信息工程学院，江西南昌 330013【正文语种】中文【中图分类】O175常用的非线性微分方程在求解过程中，经常涉及变量的离散化，从而需要进行四舍五入[1]，增加了求解误差.为此，人们引入了分数阶微积分来建模非线性现象.分数阶微积分[2]是一种整数微积分的自然扩展，允许微积分的阶次是任意阶，在流体力学、化学物理、控制动系统理论、电力网络等领域有广泛应用.对于分数阶微积分方程的近似求解，目前主要的方法有Adomian分解法[3]、变分迭代法、有限元方法、有限差分方法和同伦摄动法等[4].同伦分析法(Homotopy Analysis Method, HAM) [5]是一种求解非线性问题近似解的方法，其基本思想是通过构建零阶和高阶形变方程将一个非线性问题转化为一系列线性问题进行求解[6].HAM具有较强的近似级数解的收敛性，且能够解决传统同伦摄动法依赖于小参数的缺陷[7].为此，本文介绍了一种基于同伦分析法来求解非线性分数阶微分方程的方法，列举了对一种齐次时间分数阶KdV-mKdV方程和非齐次时间分数阶微分方程求解的过程.1.1 分数阶微积分以Caputo分数阶微积分[8]为例，给出了分数阶微积分的主要概念和性质.定义1 令函数f∈L(0,T)在时间方向上的α阶Caputo分数阶积分()的表达式为：其中α>0，Γ为Gamma函数，且I0f(x)=f(x).定义2 令函数f∈L′(a,b)在时间方向上的α阶Caputo分数阶微分()的表达式为：我们有：1) DuDvf(t)=Du+vf(t);2) DuJuf(t)=f(t),m-1<u≤m;3) JuDuf(t)=f(t)(0),m-1<u≤m.1.2 同伦分析法考虑一般形式的微分方程[9]：其中T为非线性算子，表示在[0,t]上的α次Caputo分数阶微分，(x,t)为自变量，u为未知函数.根据同伦方法思想，首先将其构造成一个零阶形变方程：其中n≥1，q∈为嵌入参数，L为辅助线性算子，h≠0为辅助参数.可以清楚地看到，当q=0和q=1/n时，(1)分别变为：所以，随着q从0增加到1/n，X(x,t;q)从初始解u0(x,t)逐渐变到原方程的解u(x,t).如果适当选择了u0(x,t)、L、h，则q∈时，方程(1)的解X(x,t;q)存在.将解φ(x,t;q)进行泰勒级数展开，有其中，um(x,t).假设辅助线性算子L、初始解u0和辅助参数h选取合适，那么该泰勒级数(2)收敛于q=1/n，即原方程的解为：u(x,t)(x,t).为了计算um(x,t)，定义向量un如下：将(1)两边对参数q求m阶偏导，并除以m!，然后令q=0，从而得到的m阶形变方程如下：其初始条件为：(x,0),k=0,1,…,m-1.其中然后，只要对式(3)两端进行L逆算子操作，即可计算出um(x,t).以时间分数阶齐次KdV-mKdV方程[10]为例，利用上述同伦分析方法来求解齐次分数阶微分方程，其表达式为：服从初始条件：u(x,0) .当ε=1且α=1时，这个问题的精确解为：为了使用HAM来解决(5)中的问题，选择辅助线性算子X(x,t;q).当c1为常数时，L(c1)=0.由初始近似值u0(x,t)，可将非线性算子定义为根据同伦方法思想，将其构造成一个零阶形变方程：选择H(x,t)=1来获得m阶形变方程：L[um(x,t)-χmum-1(x,t)]=hRm(um-1), 对于初始条件：m≥1，um(x,0)=0，χm如式(4)中定义且Rm(um-1)()(u(m-1-k)x+u(m-1)xxx) .那么，当m≥1时方程(5)的解变为：um(x,t)[Rm(um-1)].然后，使用HAM可成功地获得解的各级数解，即m=3,4,…时的um(x,t)，其中：u1(x,t) =χ1u0+hIα[((u0)x+(u0)xxx][1+(4-3ε2)cosh(x)-3(-1+ε2)sinh(x)]×,u2(x,t) =χ2u1+hIα×[(u1)x+6u1((u1)x+12ε2u0u1+(u1)xxx][1-(3ε2-4)cosh(x)-3(ε2-1)sinh(x)].利用HAM可将级数解表达式写成以下形式：方程(6)为问题(5)关于收敛参数h和n的最终解.考虑以下形式的时间分数阶非齐次微分方程：上式的初始条件为u(x,0)=x2，精确解为：u(x,t)t2α .初始值u0(x,t)=x2，与上述齐次微分方程的步骤一样，将其构造成一个零阶形变方程：选择H(x,t)=1来获得m阶形变方程，为L[um(x,t)-χmum-1(x,t)]=hRm(um-1).对于初始条件：m≥1，um(x,0)=0，χm如方程(4)中定义且那么，当m≥1时，方程(7)的解变为：um(x,t)[Rm(um-1)].然后，使用HAM可成功地获得解的各级数解，即m=3,4,…时的um(x,t)，其中：.接着，利用HAM可将级数解表达式写成以下形式：(8)为问题(7)关于收敛参数h和n的最终解.注意，这里使用了式(8)中HAM的前两项，且当n=1时，选择h=-1，以此获得：u(x,t).由此，本文获得了由两项级数表示的式(7)非齐次微分方程的近似解.本文利用HAM求解了齐次和非齐次分数阶微分方程，根据初始条件合理确定基函数，然后通过选择合适的辅助算子来构建零阶和高阶形变方程，得到该问题的近似解，并给出了m阶近似解的一般形式.级数解中含有辅助参数h，可用来调整级数的收敛性.数值实验表明了本文方法在求解非线性分数阶微分方程方面的优越性，进一步扩展了HAM的应用范围.【相关文献】[1] 陈一鸣, 孙艳楠, 刘立卿,等. 基于拟Legendre多项式求解一类分数阶微分方程[J]. 计算数学, 2015, 37(1):21-33.[2] 兰永红, 李亨博, 刘潇. 分数阶非线性系统高阶P型迭代学习控制收敛性分析[J]. 湘潭大学自然科学学报, 2015, 37(2): 1-9.[3] CHEN Y, YI M, YU C. Error analysis for numerical solution of fractional differential equation by Haar wavelets method[J]. Journal of Computational Science, 2012, 3(5): 367-373.[4] 吴玥. 利用一种新的同伦摄动方法对一类偏微分方程求解[J]. 湘潭大学自然科学学报, 2012,34(2): 7-11.[5] 郑敏毅, 胡辉, 郭源君,等. 应用优化的同伦分析法求解非线性Jerk方程[J]. 振动与冲击, 2012,31(5): 21-25.[6] ABBASBABDY S, HASHEMI M S,HASHIM I. On convergence of homotopy analysis method and its application to fractional integro-differential equations[J]. Quaestiones Mathematicae, 2013, 36(1):93-105.[7] KUMAR S, KUMAR D. Fractional modelling for BBM-Burger equation by using new homotopy analysis transform method[J]. Journal of the Association of Arab Universities for Basic & Applied Sciences, 2013, 16(3):16-20.[8] HENDERSON J, KOSMATOV N. Eigenvalue comparison for fractional boundary value problems with the Caputo derivative[J]. Fractional Calculus & Applied Analysis, 2014, 17(3): 872-880.[9] 谭璐芸. 时-空分数阶扩散方程的同伦近似解[J]. 延安大学学报:自然科学版, 2014, 33(2): 6-9.[10] MANAFIANHERIS J, AGHDAEI M F. Application of the Exp-function method for solving the combined KdV-mKdV and Gardner-KP equations[J]. Mathematical Sciences, 2012, 6(1): 1-8.。
遗传算法选择算子的类型和具体操作步骤
一、概述遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，其本质是通过模拟自然选择、交叉和变异等遗传机制来搜索问题的最优解。
在遗传算法的求解过程中，选择算子是其中非常重要的一部分，它直接影响着算法的搜索能力和收敛速度。
选择算子的类型和具体操作步骤对算法的性能有着重要的影响，因此选择合适的选择算子对于遗传算法的应用至关重要。
二、选择算子的类型在遗传算法中，选择算子主要分为两种类型：比例选择和锦标赛选择。
1. 比例选择比例选择是一种按照个体适应度来选择的算子，其选择概率与个体的适应度成正比。
常见的比例选择算子有轮盘赌选择和排名选择两种方式。
(1) 轮盘赌选择轮盘赌选择是一种按照个体适应度来选择的方式，其核心思想是将适应度较高的个体分配一个较大的选择概率，适应度较低的个体分配一个较小的选择概率。
具体操作步骤如下：a. 对每个个体计算其适应度值；b. 根据适应度值计算每个个体被选择的概率；c. 生成一个0到1之间的随机数，根据随机数的大小选择相应的个体。
(2) 排名选择排名选择是一种根据个体的适应度排名来选择的方式，它不直接使用个体的适应度值，而是将个体按照适应度大小进行排序，然后按照一定概率选择排名较高的个体。
具体操作步骤如下：a. 将个体按照适应度大小进行排序；b. 根据个体的排名分配选择概率；c. 根据选择概率选择个体。
2. 锦标赛选择锦标赛选择是一种通过在候选个体中进行比较来选择出最优个体的方式，它不考虑个体的具体适应度值，而是通过比较选择出最优的个体。
具体操作步骤如下：a. 随机选择一定数量的个体作为候选个体；b. 从候选个体中选择出适应度最优的个体。
三、选择算子的具体操作步骤选择算子的具体操作步骤对于遗传算法的性能有着重要的影响，下面分别介绍比例选择和锦标赛选择的具体操作步骤。
1. 比例选择的具体操作步骤比例选择是一种按照个体适应度来选择的方式，其具体操作步骤如下：a. 对每个个体计算其适应度值：根据问题的具体要求，计算每个个体的适应度值，该值可以是问题的目标函数值。
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利用该方法选择辅助线性算子克服 了上一 目 所说的两个存在 的问题 ， 如： ① 由基函数构造出线性算 子， 符合数学理论推导 ； ②辅助线性算子的属性（ ８ ） 中的表达式 Ｃ 。 ＋ Ｃ ２ ｅ 和 Ｃ ３ ｅ 是由基函数表示 出来 的．这一点不同于文献［ ７ ］ 中辅助线性算子的属性．
苏道毕 力格 ， 王晓 民 ， 盖立涛
（ 内蒙古工业大学理学 院 ， 呼和浩特 ０ １ ０ ０ ５ １ ） 摘要 ： 本文研究 了同伦分 析方法中 由基 函数选择有效 的辅 助线 性算 子的方法 ，并将其应 用到 同伦
分析方法 中 ， 求解 了一个非 线性 偏微分方程边值 问题 ， 并且获得 了收敛 的级数解． 结果表 明此方
２ ４ ２
内蒙古工业大学学报
２ ０ １ ３ 正
满足边界条件
ｗ（ Ｏ ）＝ ｏ ｔ （ ０ ） ＝ｔ ｔ ７ （＋∞ ） ＝ ０， ｇ （ ０ ）＝ｌ ， ｇ （＋∞ ）＝ ０ ． （ ３ ）
在文献［ ７ ］ 中， 作者利用 同伦分析方法首次给出了该边值问题含有多项式和指数 函数 的显式级数解．
由此 我们 可 以选择 （ ）＝ ” ＋ ， （ ）＝ ＋ ， 作 为辅助 线性算 子 ， 它们 具 有如下 属性 （ ７ ）
￡ 仲 ［ ｃ ｌ ＋ Ｃ ２ ｅ ］ ＝ ０ ， Ｌ ｇ ［ Ｃ ３ ｅ ］ ＝ ０ ，
其中 Ｃ 。 ， ， 为 系数．
（ ８ ）
基 函数项 的 系数 为零 … ．
据上述同伦分析方法 中， 选择辅助线性算子存在着两个 问题 ： （ １ ）缺乏严密 的数学理论指导 ； （ ２ ） 线性算子的属性不一定满足解表达原则． 本文针对该问题 ， 研究了如何能克服上述存在的问题 ， 有效选 取辅助线性算子 的方法 ， 即根据基 函数选择辅助线性算子的方法． 将该方法应用到同伦分析方法中， 我
们 已经有 效解 决 了多 个非 线性 偏微 分 方程 边值 问题 Ｊ ．
１ 非 线 性偏 微 分 方 程 边 值 问题 的 同伦 级 数 解
我 们考 虑下 面 的非线 性 偏微 分方 程边 值 问题 …
＋
丢 （ ） 一 ２ ｇ ＝ ０ ，
（ １ ） （ ２ ）
ｇ”一ｗｇ ＋Ｗ ｇ ＝０．
加（ ， ， ）＝ｎ ｏ ｏ ＋
口
，
ｅ—
，
ｇ （ 叼 ） ＝ Ｌ＿ ｘ ＿ ｏ ６ ｅ ，
（ ４ ）
（ ５ ） （ ６ ）
其中 口 和 为系数．根据边界条件（ ３ ） 和解表达 （ ４ ） ， 选取 ｌ ｔ Ｉ （ ７ ） 和ｇ （ ＇ ７ ） 的初始猜测解为
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ９—１ ２
基金项 目： 内蒙古 自治区高等学校科学技术研究项 目（ Ｎ ｏ ， Ｎ Ｊ Ｚ Ｙ １ ２ ０ ５ ６ ） ； 内蒙古 自然科学 基金项 目（ Ｎ ｏ ． ２ ０ １ １ Ｂ Ｓ Ｏ １ ０ ６ ）
作 者简介： 苏道 毕力 格 （ Ｊ ９ ７ ５ ．～） ，男 ，副教授 ，博士． 研究 方向： 偏微 分方程 ．
内蒙古工业 大学学报
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｉ ＮＮＥＲ ＭＯＮＧＯＬ Ｉ Ａ
第３ ２ 卷
第４ 期
ＵＮＩ ＶＥＲＳ ｎｌ Ｙ ０Ｆ ｒ ＥＣＨＮ０Ｌ ０ＧＹ
文章 编号 ： １ ０ ０ １ —５ １ ６ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ ０ １— ０ ５
由基 函数 选 择 辅 助 线 性算 子 的方 法
ｏ
（ ＇ ， ）＝一１＋ ｅ 一 ＋ 一 ， ｇ ｏ （ 田 ）＝ｅ 一 ． （ ７ ）＝Ｃ １ ＋Ｃ ２ ｅ 一， ｇ （ ７ ）＝Ｃ ３ ｅ
下面我们根据基 函数选择辅助线性算子．根据基函数假设
为边值问题 （ １ ） 一（ ３ ） 的解 ， 其中 Ｗ （ ． ， ７ ） ， ｇ （ ． ， ７ ） 由基 函数表达 ， 则有 Ｗ （ ７ ）＋ （ ７ ）＝ Ｏ ， ｇ （ ， ， ） ＋ｇ （ ７ ）： ０ ，
法是有效 的 ， 也有利 于同伦 分析方法 的进一步研究 ．
关键 词 ： 同伦分析方 法 ； 辅助线性算子 ； 非线性偏微分方程 边值 问题
中图分类号 ： ０１ ７ ５ ．２ ９ 文献标 志码 ： Ａ
０ 引言
１ ９ ９ ２年 ， 廖世俊基于拓扑学理论中同伦 的思想 ， 提 出了同伦分析方法 的初步框架ｕ Ｊ ．随后的这些 年， 随着同伦分析方法的逐步发展和完善， 已成为求解非线性 问题的一种一般方法．目 前 国内外研究者 应用同伦分析方法求解了诸多在科学工程和流体力学等领域中重要的非线性问题 ．
Hale Waihona Puke 下面我们同样利用同伦分析方法求解边值问题 （ １ ） 一（ ３ ） 含有多项式和指数函数的级数解 ， 不 同于 文献 ［ ７ ］ 的是我们根据基 函数选择辅助线性算子．
１ ． １ 零 阶形 变方 程
我们选择基函数 ｛ ， ７ ｅ 一 研ｌ ｍ ０ ， ｎ ０ ｝ 表达 Ｗ （ ） 和ｇ （ ） 含有多项式和指数函数的级数解
同伦 分析 方法 具有 其特 有 的一 些优 点 ， 如： （ １ ）对 强非 线 性 问题 有 效 ， 即使 给定 的非 线性 问题 不含
小（ 大） 参数 ； （ ２ ）能够调节级数解 的收敛 区域和收敛速度 ； （ ３ ）具有选择基函数 的自由；（ ４ ）同伦分析 法在逻辑上包含了 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 人工小参数法 、 ８ 展开法和 Ａ ｄ ｏ ｍ ｉ ａ ｎ 分解法 ， 统一 了这些摄动方法， 更具有
一
般性． 但是该方法也存在着 自身的局限性和需在理论上需完善之处 ， 如： 同伦分析方法有足够的 自由
去选取初始猜测解 、 辅助线性算子、 辅助 函数 和辅助参数． 但是这种 自由似乎过于宽泛 ， 而且还缺乏一 个严密的数学理论指导．此外 ， 在同伦分析方法 中， 辅助线性算 子 Ｌ 具有如下属性 ， 方程 Ｌ ［ Ｗ （ ｒ ， ｔ ） ］ ＝ ０的解必 须 由基 函数 表达 ．但 是 线性 算子 不一 定都 能具 备 这样 的属性 ， 所 以不具 备该 属性 时 ，只好 取非