关于两类解析函数及其积分算子

摘 要：S 表示在单位圆 U= {z：| z| < 1}内解析函数 f(z)= z+ a2z2+ …的全体所组成的类. 本文引进并研究特殊解析函数类 sτ （λ，β）和 覬（τ λ，β），讨论两类函数上的积分算子凸性问题.
关键词：解析；算子 中图分类号：O174.51 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）01- 0010- 02
第 28 卷 第 1 期（上） 2012 年 1 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 1 Jan. 2012
关于两类解析函数及其积分算子
李书海
（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）
1 引言
S 表示在单位圆盘 U={z：|z|<1}内解析函数 f(z)=z+z2a2+… +anzn+…的全体所成的类.Sp (p∈N) 表示在单位圆盘 U={z：
∞
Σ |z|<1} 内解析函数 f (z)=zp+ zp+nap+n 的全体所成的类. 显然 n=1
S1=S.用 P(β)(0≤β<1)表示 β 级正实部函数，S*(β)和 K(β)分别
在 Sp 上引进一类新的积分算子：
定义 ３ 设 λ≥0，αi>0，fi(z)∈Sp，i=1,2,…,n;则积分算子
Fn,α1 ,…,αn (λ;p,τ,z)定义为
乙仪∈∈ ∈ ∈∈ ∈∈∈ z n
Fn,α1 ,…,αn (λ;p,τ,z)= 0 i = 1
Dτfi(t) α(1- λ)i tp
(Dτfi(t))' pzp- 1
i=1
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
n
- αi+1， (8)
i=1
利用 fi(z)∈覬τ(λ,ρi),ρi>1,i=1,2,…,n，从上式得到
Σ ΣΣ Σ Re
1+ zF"n,α1,…,αn(λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
λαi
dt. （3）
从（3）式还得到
乙仪 ∈ ∈ Fn,α1,…,αn(0;1,0,z)=
zn 0i = 1
Dτfi(t) λαi t
乙仪 Fn,α1 ,…,αn (1;1,0,z)=
z n ((Dτfi(t))')λαidt
0i = 1
（4） （5）
算子(4)和(5)式为文[3][4][5]中引进并研究的积分算子，
算子（3）修改了[6]中的定义 3 引进的算子.
本文中我们讨论 Sτ(λ,β)和 覬τ(λ,β)上的积分算子 Fn,α1,…,αn (λ;1,τ,z)的性质，修改[1]中的错误.
２ 主要结果及其证明
定理 １ 设 λ≥0,αi>0,fi(z)∈覬τ(λ,ρi)ρi>1,i=1,2,…,n;则积
n
Σ 分算子 Fn,α1,…,αn(λ;1,τ,z)∈η(γ)，其中 γ= αi(ρi- 1)+1 i=1
表示 S 中的 β 级星象函数类和 β 级凸象函数类.令
Σ Σ μ(ρ)=
f(z)∈S:Re
zf'(z) f(z)
<ρ,ρ>1
;
∈ ∈ ∈ Σ η(ρ)=
f(z)∈S:Re
1+ zf'(z) f'(z)
<ρ,ρ>1
.
文[1]- [3]中讨论了函数类 μ(ρ)和 η(ρ)的性质.
本文引进两类解析函数：
-1
∈∈ ∈ ∈∈ Σ <Re
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
-β
（2）
称 f(z)属于函数类 Sn(λ,β).其中 Dτf(z)为 Salagean 算子：
∞
Σ Dτf(z)=z+ nτan. n=2
- 10 -
在文[4][5]中研究了函数类 Sn(0,β).
∞
Σ Dτf(z)=z+ nτan. n=2
显然 覬（0 λ，ρ）奂S，覬（0 0，ρ）=μ(ρ)，覬（0 1，ρ）=η(ρ). 定义 ２ 设 λ≥0,- 1≤β<1，若函数 f(z)∈S，满足条件：
∈∈ ∈ ∈∈ Σ (1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
Σ Σ Σ ΣΣΣ n
= αi
i=1
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
n
- αi，
i=1
(7)
从(7)式推出
Σ Σ Re
1+ zF"n,α1,…,αn(λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
Σ Σ Σ ΣΣΣ n
= αiRe
Sτ(λ,β),i=1,2,…,n;则积分算子 Fn,α1,…,αn(λ;1,τ,z)∈K(γ)，其中 γ=对(3)式两端，用定理 1 相同的方法得到
zF"n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
Σ Σ Σ ΣΣΣ n
证明 对(3)式两端微分，得到
F"n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
∈ ∈ ∈ ∈ ∈∈ Σn
= αi
i=1
(1- λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
-1 z
+λ
(z(Dτf(z))')' (Dτf(z))'
-
1 z
（6）
即
zF"n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
定义 １ 设 λ≥0,ρ>1,若函数 f(z)∈S 满足条件
∈ ∈ ∈∈ Re
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
<ρ,τ∈N0=N∪{0} （1）
称 f(z)属于函数类 覬（τ λ，ρ）. 其中 Dτf(z)为 Salagean 算 子[7]：
n
n
< αiρi- αi+1
i=1
i=1
n
Σ = αi(ρi- 1)+1,
(9)
i=1
由此推出 Fn,α1,…,αn(λ;1,τ,z)∈η(γ).证毕.
注 当定理 1 中分别取 τ=0,λ=,λ=1 时就得到文[3]中的
定理 1 和定理 2.
n
Σ 定理 ２ 设 λ≥0,αi>0,- 1≤βi<1,0< αi(1- βi)≤1,fi(z)∈ i=1
= αi
i=1
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)