2020年红对勾一轮数学理人教版创新方案高考解答题专项训练3

高考解答题专项训练(三) 数列

1．(2019·咸阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝60°，三边a ，b ，c 成等比数列，且面积为43，在等差数列{a n }中，a 1＝4，公差为b .

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)数列{c n }满足c n ＝16a n a n ＋1

，设T n 为数列{c n }的前n 项和，求T n . 解：(1)由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，

因为S △ABC ＝43＝12ac sin B ，所以b ＝4，

所以{a n }是以4为首项，以4为公差的等差数列，

其通项公式为a n ＝4n .

(2)由(1)可得c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 2．(2019·安徽淮南一模)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 5

＝9，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23b n ＋13.

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

(2)设c n ＝a n |b n |，求数列{c n }的前n 项和T n .

解：(1)∵数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 5＝9，

∴d ＝a 5－a 35－3

＝9－52＝2， ∴a 1＝a 3－2d ＝5－4＝1，

∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.

∵数列{b n }的前n 项和为S n ＝23b n ＋13，

∴n ＝1时，S 1＝23b 1＋13，

由S 1＝b 1，解得b 1＝1，

当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝23b n －23b n －1，

∴b n ＝－2b n －1，∴{b n }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴b n ＝(－2)n －1.

(2)c n ＝a n |b n |＝(2n －1)·2n －1，

∴数列{c n }的前n 项和T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，

∴2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n ，

两式相减，得：

－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2×2－2n 1－2

－(2n －1)·2n ＝1＋2n ＋1－4－(2n －1)·2n ＝－3＋(3－2n )·2n ，

∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.

3．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，

S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，

所以由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，

解得a 1＝1，

所以a n ＝2n －1.

(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1

＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)

＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋12n ＋1.

当n 为偶数时，

T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1

. 当n 为奇数时，

T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1

. 所以T n ＝⎩⎨⎧

2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭

⎪⎫或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1 4．(2019·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－

4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1

＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .

解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b ，

由题意知b ＝2n,16n 2a －4nb ＝0，

∴a ＝12，则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *.

数列{a n }满足1a n ＋1

＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ， 又f ′(x )＝x ＋2n ，

∴1

a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n

＝2n ， 由叠加法可得1a n

－14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ， 化简可得a n ＝4(2n －1)2(n ≥2)，

当n ＝1时，a 1＝4也符合，

∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． (2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1

＝2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12n ＋1＝4n 2n ＋1.

5．(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n

＋1，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫b n a n 的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公比为q ，

由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.

又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .

(2)由题意知，S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2

＝(2n ＋1)b n ＋1， 又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.

令c n ＝b n a n

，则c n ＝2n ＋12n ， 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12

n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12

n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝

⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1