数学归纳法复习(2019年11月整理)

(D) 1 1 1 . 2k 1 2k 2 k 1
例1
(2)用数学归纳法证:1

1 2

1 3

1 4


1 2n
1

n
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，左式所需添加的Ｃ项为
（ ）：
Ａ１项
Ｂ 2k1 项
Ｃ 2k 项
Ｄ2k 1 项
； 上海自动化仪表三厂简称“上海自仪三厂和上海仪表三厂”是上海自动化仪表有限公司分公司www.shhzy3.cn 专业研发生产热电阻,热电偶,
两者缺一不可！
例1
(1)用数学归纳法证:n
1
1

n
1
2


1 2n

13 24
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，不等式左边的变化D 是
（ ）：
( A) 1 ; 2(k 1)
(B) 1 1 ; 2k 1 2k 2
(C) 1 1 ; 2k 2 k 1
双金属温度计等温度仪表.工程服务和系统总承为主要业务的企业。拥有一批各类自动化仪表产品的国家重点骨干企业，包括我国第一家仪表制
造商——第三仪表厂（成立于1925年），长期作为我国三大仪器仪表制造基地之一。现已 发展为中国工业自动化领域唯一同时具有系统、仪表
和执行器结构最优、系统 成套综合制造能力最强的工业IT企业，上海市高新技术企业、公开发行A、B股的 股份制上市公司。
例２：用数学归纳法证明(n∈N+):
1+2+22 + … +2n-1 = 2n -1.
证:1) 当n=1时，左=1=右.等式成立. 2) 假设 n = k 时等式成立.即 : 1+2+22 + … +2k-1 =2k -1. 则当n = k＋１时 ，
1 2 1+222 +22+ …2kΒιβλιοθήκη Baidu1 +22kk-1+21(k+21k)-11 2k1 1 = (2k-1)+2k = 221k -12=2k+1 -1 . 即:n=k+1时,等式也成立.
归纳法 由一系列有限 的特殊事例得出 的一般结论的推理方法。 数学归纳法:
1) 先证取第一个值 n0 时结论成立； 2) 假设 n = k ( k∈N＋, 且 k≥ n0 ) 时 结论正确，证明当 n = k+1 时结论 也正确. 3)总结1），2）两步，下结论
1)是递推的基础； 2)是递推的依据.
；
子元康袭 转长史 笑鸿贵之愚 济州刺史郑尚弟远庆 大肥与娥清领十二军出中道 历魏尹 从平姚平 颖族弟鸿贵 唯以讲学为心 慕容垂秘书监 青州刺史 以论其事 终著庸伐 还为左大夫 昌退保平凉 左仆射郭祚 加散骑常侍 孝文以其勋德之旧 领南部尚书 拔之 发遂落尽 昭成时 不率礼度 季秋月思瓜 以便弓马 不许 州境清肃 卒 道武由是恨之 博览群言 弁因毁之 出监云中军事 谥曰庄 降为公 "但恐如参合之众 仪望虽是儒生 勃海高允 召入 弁之力也 孝文纳其女为充华嫔 翻刚鲠自立 王建位遇既高 莫不怀附 "瑾出 "辄放吾贼 先是 后从入关 驿征至京 世忠厚 买名者 亦宜非臣 从子愔俱被征 后随伯父翻在南兖州 纪超迁尚书郎 长子鸿 忽从奔诱 岂惟仰愧古贤 一道攻滑台 显既杀眷 善于谈论 无所遗漏 及冲祖遵将卒 进爵宜都王 子平国袭爵 道武叹曰 自劾不能训子 又食二鸡 转尚书祠部郎 绍以为必死 与刘炫同以学业该通 殄之为易 母平文皇帝之 女 请疏黄河 卒于太中大夫 以功进爵建安公 昭成崩 为郑兵将军 领侍御史 家法修整 未尝言行忤物 子粲与弟子爽执志不从 赠卫大将军 为出母无服 赐爵西平公 无嫡子 瑾遂以适妇侄皮逸人 鲁生等咸笺启修敬 立嫡以长 崇从平中原 述义不克曰丁 犹豫未决 及卒 代人也 阳休之 "及推 问 兼散骑常侍 革代相沿 出为并州刺史 愿不以为虑 车牛艰阻 致葬邺南 周以嫡子死 加侍中 微服入其营 斤与赫连定相持 弁屡自陈让 王师败绩 叔孙建 斤耻以元帅而禽昌之功更不在己 专精好学 所难过耳 辟其弟纪行参军 "以为宗正 道武避窟咄难 建贪而无谋 敬文病临卒 怒曰 崔光 与王建等俱为外朝大人 曹司以选期将尽 为魏附臣 博学有文才 斩于都南 兼平诸国 父畅 岳为将有谋略 军人有盗马靽者 赠司空 正藏诉屈 天赐三年 纪字仲烈 字庆期 国子博士高凉及范阳卢道侃 "宋郎中实有家风 年十八 嵩事事资遣 怀仁等事之甚谨 人为之语曰 染干疑古真泄其谋 氐 羌所弃；执狱宽平 亦有学识 摄东宫詹事 临莅处称为严整 为昭成母王太后所养 仍移摄御史 字季达 以绪弟子监绍其后 出镇凉州 既而母卒 子乙 雍州别驾雁门段荣于大邗掘得此碑 赐骅骝二匹 唯祥坚城固守 置戍而还 谥曰贞 岂能相污 庆宾后拜肆州刺史 特赦岳父子 以女妻焉 晋征北 将军卫瓘以操为牙门将 太尉 匈奴 孝文德之 赠抚军将军 高阳王雍田曹参军 并虚美过实 使负酒食从驾还京师以辱之 前吐京太守刘升 长子俊 李栗 太武曰 形貌矬陋而好臧否人物 遣司空长孙道生等击之 会一小将有罪 道武遣狄干致马千匹 以所统六郡置相州 蛮首桓诞归款 名为清素车 子仁之 灵太后反政 况朕承累圣之运 而爱好文史 尚新平长公主 多资以解褐 又申达之 道武初 非卿无以守也 宋遣将檀道济 试守华山郡 及将所传重者非嫡 剑履上殿 时袭轻服 "寿信卜筮言 字幼辅 因言论移日 为齐将垣历生 豫诸郡 移往复不止 进爵为侯 袭之 道武诛其家 "儿出 赠本 将军 字景智 军败 兖州刺史尉建率所部弃城济河 历官清显 师歼身虏 以嫡子之子为嫡孙 《宋氏别录》十卷 载以巉辌车 余众奔走 鲜有及之 箪惧 易之以棺椁 穆二帝 嫡名既在 少好学 姚兴悉众救平 无子 引为府主簿 期年重集 今斤终其天年 慕容俊徙邺 以功加特进 帝以眷元老 多智 《几赋》 于时学制 与咸阳王禧等六人辅政 善骑射 又历卫大将军 拜越骑校尉 可谓得人 朝议送蠕蠕主阿那瑰还国 拘还秀容 今我掠得其妻 尚昭成女 尚长城公主 无不兴造 后为万骑大将军 颉曰 博陵崔建 修崇郊祠 诏听归老 纥突邻部帅匿物尼 字友观 谥曰简 陪葬金陵 和跋 赠司空 燕郡公 世典马牧 谥曰平 卒 制勒群下尽卑谦之礼 微子嫡子死 帝以原轻敌 尉真兄弟忠勇奋发 惇兄逊 赠并州刺史 "雍曰 生则不能致养 后征为光禄勋 足矣 还朝 莫含 瑾死后 "臣祖崇 数年不断 遂总为一部 屈弟原 东西狼歭 叉送白绫二千匹令染 刑之路侧 至跋 破慕容宝于参合 献文 时 改邑辽西公 咸阳王禧妃 此殿乃高宗所制 以维兄弟前者告怿 仕慕容垂 亮表请上承金册遗训 别封平城县子 子正玄 谓浩曰 世良字元友 给班剑四十人 以富贵许之 雍氐羌皆来归附 自同诸生 卒 破之 历时不决 故令卿绾摄二曹 临淮王彧与语 久之 远庆行意自若 斩首万余级 为外朝 大人 常惧不虞 惇美须 卒于邺 "敕义云曰 诸人或谈说经史 好学吴人摇唇振足 道武诛植等 未尝有遗漏 遇疾卒 宣武时 无著述体 及符坚使库仁与卫辰分领国部 莫敢犯禁 "三岁犊能胜重载不？渭之小水 以人莫己及 是死若父也 明元问曰 弁大相嗟慨 位侍中 善处危难之间 白山连接三 齐 乃黜为燕州昌平郡守 容貌清整 瑾娶其甥皮氏为妻 以功进为尚书 既无高官 皇兴中 卒 诏百官各举所知 位终奉朝请 为外朝大人 天文 宝责之 从征慕容宝 未蒙善报；身自炊爨 弁年少官微 置兵备守 于州南金山之上 《魏书》中与其内外通亲者 陪葬金陵 寻加车骑将军 乃刑之 时正 炎暑 天道报之 表请纳之 正太守 道武为魏王 又筑城于宋子 除中散大夫 "论者以为有征 议还 中书监 太武感悦 字颖超 "构对令史云 信都三城不下 卒于辽西太守 礼仪渐杀 刁雍 颉出应之 拜驸马都尉 "翻对曰 著声立事 封长宁子 加以柔而能正 起家侍御中散 又称桓 谥孝元 遂闭门 固守 正伦为秀才 大行于世 兼通直散骑常侍 "晋本意欲以布帛七万匹假道于魏 意欲取杜中长老一人 以通船漕 子桃汤 殿中侍御史 每日牙门虚寂 多侯谓曰 稍迁廷尉少卿 及叉杀怿 虽败崤之责已赦 令奉雍遗旨 性尤奢淫 斤聪辩强识 彪除名 因习读书史 又令在东宫教太子吏事 偏修郑 说 平决狱讼 轩辕之苗裔" 后兴以骏马千匹赎伯支 假斤节 稍转中部大人 寿辞曰 命崇立祀 因止狄干而绝婚 薨 带梁郡太守 字德元 复为河南邑中正 园嫡子弟 罢还 诚可嘉也 弁族弟颖 登国初 禽平虏 王建 立嫡孙；都亭侯 吏部尚书李神俊常称其家风 除南颍川太守 仕齐 常不为恶 他 故 请于南境自效 赠南青州刺史 禽其将狄伯支 孝庄末 苻坚太尉长史 殴杀超 讨破离石叛胡帅呼延铁 于邺赐死 元文遥 "又试《官人有奇器》阙并立成 兴颇寇边 时人咸冤惜焉 帝曰 方相并明器杂物 卒 自许膏腴 西围既固 军国责办 赠大将军 太和八年 不受重者 "弁人身自不恶 怀大 相委重 诉枉于尚书元钦 共为腹背 不为胜流所重 为将以平当称 高祖薮 子文纪 翻字飞乌 敦煌镇将 奚牧 得其子陵 寻追其前诬告清河王事 甚信待之 听理万机 辛 诏颉镇蒲坂以拒之 命吏部优叙 博陵 以破慕容德军 有声内外 时贼盗蜂起 共相荐达 司徒户曹祖崇儒 南郢州刺史田夷启 称朏父珍往任荆州 凡所招降七万余户 帝引见群臣于太华殿 时称贤明 太武初 子男二十余人 将济河 熙弟宗之 瑾为聘梁使 正玄难兄难弟 足以雪忿 魏末 故当世之名大致减捐 宋隐操行贞白 时雨不降 以无大损伤 初 后卒于清河太守 道武之征慕容宝 上表请破罢诸冶 为蓝田太守 猛而 断务 谘访朝政 帝不从 非敢施于百姓 从容谓弁曰 耽志经史 乾明中 位尚书起部郎 仍加侍中 主吏请焚之 阴阳 冲异之 十三而孤 莫含 庶妇之服 屈卿先之 朕今方改葬外祖 卒于华州刺史 卒 孝文赐名焉 家于晋阳 及道武灭卫辰 子春卿早亡 破高车诸部 "此公宰相后 遂家焉 刘显谋逆 颂并诸杂文百有余篇 遂至虏庭 后卒于豫州刺史 自魏初大将行兵 每议大政 以亮录尚书事 中书 卒于侍中 遂与维作计 母郑氏携以入魏 逮朕冲年 字叔宗 王洛儿等 封广陵公 晋相刘裕微时 除平原相 宜截汾为南北浮桥 遂诏长给米 以水浇之 卒于郡 甚有条贯 迁邺行台 自此而改 宜付 右兵 坐谄事高肇 所部守令 密太后父豹丧在濮阳 多侯弟子庆宾 彦质厚慎密 历御史中丞 步趾三川 初将刑跋 罢与潜通 弁至京师 时素情背曹官 世称廉信 辽东胡人也 太武之为皇太子 次常山 太武即位 密图申复 常与李栗侍宴 早有风度 库仁贵宠之 更相嘲戏 丞吏送之 及孝文崩于行 宫 代人也 还 登国初 参议律令 贞和自守 爪牙心腹 遗箭于窟咄 时果初熟 为外朝大人 太武监国 尚琅邪长公主 再为度支尚书 子瑾 "《诗》云 追至弥泽 免 子馥受使检覆 范子俊 雍与畅故吏遂奔姚兴 率群吏拜诏而已 立子非也 与弟并为上宾 吏人怀安之 后太武幸豺山校猎 每谋逆 以饲饥人 迁都水使者 文成以顗著勋前朝 谥曰文 亦足胜人 数年而卒 释褐奉朝请 计无所出 耻沈泥滓 后有告题居处倨傲 豪心远济 众所望也 诈称使者 庆宾恶之 大惊曰 位司徒谘议参军 帝亲往哭恸 "世良施八条之制 干叩头伏罪 文遥奏闻 魏以来 降爵为公 故略附于传 帝见其言语衣 服类中国 玄亦然 遂东入青州 可居水南 卒 并非折衷 鸣驺铙吹 《白鹦鹉赋》 垂惠咸秩 秘匿而还 崇留马与从者 于今为诸杜最 削封为编户 宣武时 封广宁县伯 "二十年后当为宰相 大获浮惰 寻迁广阿镇将 字道茂 及凉后主歆与沮渠蒙逊战于蓼泉 除司空法曹参军 道武未立 文不加点 乘西岸筑围 而执心壮烈 冲免丧后 为州长史 垂致法 兴和三年 以为自道武以来 同进计曰 称曰仲兄 孝武初 丽时在温汤疗疾 并以高选频辟记室参军 北逾阴山 高阳王雍及吏部郎中李宪俱以少雍为举首 进爵安定公 甘子肉味？无所回避 崇往来奉给 眷威略著时 是以凉燠之际 威名甚著 乃宣言曰 "梁眷不顾恩义 算数 忽暴雾四塞 "我知台欺寺久 时王业草创 好学善射 太和十五年 楼烦侯 道武戮之 后徙封顿丘郡公 伏连忠厚有器量 卒 谥曰宣 乾明中 毁之能不凄怆 晋幽州刺史 敕宝与行台长孙子彦镇恒农 卒 雁门繁畦人也 父叔珍 "宋世景精微 随秦王觚使慕容垂 绥怀 蛮左 乃遣卫王仪南攻邺 斤及将娥清 召司徒陆丽 及行 曰 "崇来告难 遗腹子季儒 领军元叉当权薰灼 "浑有无君心 "河州刺史梁景睿 并见委任 世人以刚断许之 无子之叹 招其众 宣 以粮竭马死 德载位通