把空间让给学生

把学习过程中的思维空间让给学生新课标大力提倡数学教学注重思维能力的培养．思维包括求异思维、逆向思维、对比思维、类比思维、发散思维等．要培养学生的思维能力，就要求教学时给学生留下思维的空间．所谓给学生留下思维空间，可从如下三个方面来看：从教学指导思想上看，教师要给学生留足思考的时间、发表见解的机会；从教学行为上看，教师要安排适当的话题，让学生有机会想人所未想，言人所未言，做人所未做；从教学情感上看，教师要鼓励学生大胆想象，主动质疑，积极陈述，促使学生能按要求进行观察，愿意听取别人的见解，进行评价，进而喜欢与老师和同学交流，不怕困难，勇于尝试自己解决问题或寻求协助的习惯，养成自觉、认真的学习态度．给学生留下思维空间的目的是为了促使学生对对数学产生亲切感，有好奇心，积极动脑“思考”，动口“说话”，自觉地提出问题、思考问题，进而为解决问题进行积极的数学活动．因此，留下思维空间的核心原则是有利于学生思维能力、探究能力的发展，有利于培养学生创新意思，充分关注学生思维发展的过程．在教学过程中，把学习过程中的思维空间让给学生，应注意适度性、探究性、导向性等，本文结合具体案例对此加以说明．一、适度性教学活动的基础是学生的自主活动．把思维空间让给学生的适度性是指：在教学过程中，应根据学生的认知水平、生活体验、知识基础，尽可能结合生活实例或已学的相关学科知识，设计学生活动、思考的平台，让学生有所知、有所议、有所思，降低学生的认知起点，缩小思维的跨度，让学生能从简单的实例中总结、提炼出一般性的数学知识和方法．案例1 “数学归纳法的引入”的教学设计．问题 1 一年一度的校“美食节”马上就要举行了，班主任想在办公室内与每一位同学单独面谈，了解同学们对本班参与“美食节”活动的想法，你能帮助班主任老师设计一个面见同学的程序吗？问题2 一挂合格的鞭炮，要引爆所有的炮仗，应该点燃哪一颗炮仗的引线？学生：老师按照学号面见学生，第一个学生谈完后，请他通知第二个学生到办公室，依次下去，老师就能与班上的每一位同学单独面谈．学生：先点燃第一个炮仗．由于一挂合格的鞭炮在某一个炮仗爆炸后，自然点燃第二颗炮仗的引线，并引起爆炸．因此，一挂合格的鞭炮，点燃第一个炮仗后，就能引爆所有的炮仗．教师：在生活中，像这样的现象，称为“多米诺骨牌效应”．教师播放多米诺骨牌视频．教师：请同学们总结“所有的骨牌都倒下”必须满足的条件．学生：“所有的骨牌都倒下”必须满足的条件是：（1）第一块骨牌必须被推倒；（2）若某一块骨牌倒下了，紧挨着的下一块骨牌也要被倒下的这块骨牌推倒．只要满足了上述两个条件，所有的骨牌就都倒下．教师：上述两个条件是不是都要满足？能不能少一个？为什么？学生：这两个条件都要满足，缺一不可．如果少了第一个条件，即使满足了第二个条件，那么，就是摆好的一副骨牌，不会有一块倒下．即使你推倒了中间的某一块，引起了后面的骨牌倒下，由于第一块骨牌没有倒下，也不能称为“所有的骨牌都倒下”．如果少了第二个条件，即出现某块骨牌倒下了，但紧挨着的下一块骨牌没有被推倒，后面的骨牌也都不会倒下，也就不是“所有的骨牌都倒下”．教师：由此可知，上述两个条件缺一不可．那么，请问：满足了这两个条件，“所有的骨牌都倒下”与骨牌的数量有关吗？学生：没有关系．骨牌的数量可以是无穷多．教师：在我们学习数学的经历中，有没有学过类似“多米诺骨牌效应”的知识？学生：在学习“数列”的通项公式时，我们学过类似“多米诺骨牌效应”的知识．教师：设等差数列{a n}的首项是a1，公差为d，你能不能用“多米诺骨牌效应”解释这个等差数列的通项公式是a n＝a1＋（n－1）d？学生：①由于第1项是a1＝a1＋（1－1）d，所以公式对第1项成立．②如果公式对第k项成立，即a k＝a1＋（k－1）d，那么，根据等差数列的定义，第k＋1＝a k＋d＝a1＋（k－1）d＋d＝a1＋（k＋1－1）d，即公式对第k＋1项也成立．项是a k＋1从而，公式对所有的项都成立，即这个等差数列的通项公式是a n＝a1＋（n－1）d．教师：骨牌数、数列的项数都与正整数有关．许多与正整数有关的命题都可以用这样的方式进行证明，我们称为“数学归纳法”．评析：先从生活中的事例，让学生自主活动，降低了学生的认知起点，使“多米诺骨牌”效应成为众多生活实例的一个模型，为引入数学归纳法铺平了道路，形象而生动，整个过程充满了学生的主体活动，教师让学生总结“所有的骨牌都倒下应满足的条件”就成为可能，给学生留下了足够的思维空间，同时也让学生感受了“数学归纳法来自于生活中的现象”的体验．二、探究性学生是发展的人，是学习的主体，他们有巨大的发展潜能和很强的探索欲望．思维空间的探究性是指：在教学过程中，教师要注意角色定位的转换，由传统的知识传授者转向现代的学生发展的促进者，要结合学生自主活动和思维发展过程，问题探究前为学生提供适当的、有探究价值的背景和充分的信息，激发学生的探究热情和思维活动．问题探究的思路让学生自己设计，探究的过程让学生自己动手，探究过程中出现的问题让学生自己加以分析和思考，结论让学生自己去发现、交流、总结．课堂上应更多地出现师生互动、平等参与的生动场面，这样才能有利于学生逐渐揭示数学的本质，完善对数学概念、方法、思想的理解，使学生的自主性、独立性、能动性和创造性得到真正的体现，更有利于将学生培养成独立的、具有积极参与精神的人．案例2 “函数单调性”的教学设计．问题11）．教师：观察气温曲线可以发现，在这一日内，随着时间t的增大，气温时而上升，时而下降．请同学们用自己的语言描述该市这一日24小时内气温的变化状况．学生：在0时到4时、14时到24时，气温随着时间t的增大而上升；在4时到14时，气温随着时间t的增大而下降．教师：去除其中的物理意义，抽象出气温函数的图像（如图－2）．问题2如何描述气温的数值θ随时间的大小t的变化状况？我们不妨先研究函数θ＝f（t），t∈[0，24]在区间[4，14]上（如图－3）的变化情况．通过对函数图象的观察，我们已经用数学自然语言描述了在区间[4，14]上图象的特征：从“形”的角度来看，图像从左至右逐渐升高；从“数”的角度来看，θ随t的增大而增大．问题3 如何用数学语言来刻画函数θ＝f（t），t∈[0，24]在区间[4，14]上，“θ随t的增大而增大”这一特征呢？学生：在区间[4，14]上，取几个不同的值，例如t1＝5，t2＝6，t3＝8，t4＝10，得到相对应的θ1，θ2，θ3，θ4．若当t1＜t2＜t3＜t4时，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，则在[4，14]上，θ随t的增大而增大．学生：我有不同意见，在区间[4，14]上，θ随t的增大一直在增大．而上述的这种描述只能说明在t1＝5，t2＝6，t3＝8，t4＝10时，θ随t的增大在增大，而不能反映在t取区间[4，14]上其他值时，相应的θ值的变化情况，从而不能说明在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．应该在区间[4，14]上取n个不同的输入值t1，t2，t3，…，t n，得到相对应的θ1，θ2，θ3，…，θn．若在t1＜t2＜t3＜…＜t n时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，则在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．学生：我觉得仍然不妥．在区间[4，14]上取n个不同的输入值t1，t2，t3，…，t n，得到相对应的θ1，θ2，θ3，…，θn，在t1＜t2＜t3＜…＜t n时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，只能说明当t取区间[4，14]内有限个数时θ的变化情况，并不能反映当t取区间[4，14]内其他值时，θ随t的增大而增大．应该在区间[4，14]上取无数个不同的输入值t1，t2，t3，…，t n，…，得到相对应的θ1，θ2，θ3，…，θn，…，在t1＜t2＜t3＜…＜t n＜…时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn＜…，则在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．学生：在区间[4，14]上取无数个不同的输入值t1，t2，t3，…，t n…，得到相对应的θ1，θ2，θ3，…，θn，…．在t1＜t2＜t3＜…＜t n＜…时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn＜…，仍然不能说明在[4，14]上，θ随t的增大而增大．因为[4，14]内除了无数个数外仍然可能有其他的数，不能反映当t取区间[4，14]内其他值时，θ随t的增大而增大．应该在区间[4，14]上取所有的输入值t，得到相对应的θ．在t增大时，有θ也增大，则在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．教师：但是，区间[4，14]内所有的数我们是无法取的．怎么办呢？学生：我们只能任意取，为了表示任意取的t在增大，我们区间[4，14]上任意取两个值t1，t2，当t1＜t2时，总有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．评析：从生活中常见的温度随时间变化的关系这一学生具有切身感受的实例出发，根据学生提出的“数”和“形”这两种不同的观点，结合学生自主活动和思维发展过程，激发学生的探究热情和思维活动，沿着“问题提出——问题解决——数学表达”的轨迹，逐渐揭示函数在区间上单调递增的本质，学生自然地逐步完善了函数在区间上单调递增的概念，为数学地刻画函数的单调性铺平了道路，充分体现了学生在学习过程中的主体地位．学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程．这个过程一方面是暴露学生产生各种疑问、困难和矛盾的过程，另一方面是展示学生发展聪明才智、形成独特个性与创新成果的过程．自主探究让学生充分展示了思维过程，感受了知识发生、发展的全过程，能使学生提高学习能力，体会到发现的惊喜和激动，进一步产生自信心和自豪感；总结出的结论让学生充满兴趣和乐趣，课堂气氛更活跃了，学习的情趣更高了，学习的积极性更强了．正因为如此，教师在教学过程中就应关注学生的情绪生活和情感体验．教学过程应该成为学生一种愉悦的情绪生活和积极情感的体验．三、导向性教师是学生学习的引导者、激发者、辅导者，是学生各种能力和积极个性的培养者．思维空间的导向性是指：在教学过程中，教师的问题指向要明确，要把教学的中心放在如何引导学生“学”上，在鼓励学生创新的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力．无论是课堂教学，还是课外活动，教师都应当以学生为主体，创设一种激活学生思维的情景，引导学生主动认知、质疑问难，把教学过程变成一种师生平等交流、共同研究问题的互动过程，让学生逐步形成迁移知识和能力的本领，为学生一生的可持续发展打下基础．案例3 “不等式证明中的次数平衡”的教学设计．问题1 设正数a，b满足a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4．学生：1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2baab⋅＝4．学生：1a＋1b＝（a＋b）（1a＋1b）＝2＋ba＋ab≥2＋2baab⋅＝4．学生：1a ＋1b ＝（a ＋b ）（1a ＋1b ）≥2ab ×21ab＝4． 学生：1a ＋1b ≥2ab ≥2a ＋b2＝4． 教师：请大家观察上面四位同学的证明过程，你发现了什么共同特点？学生：四位同学的证明过程中都用到了基本不等式．学生：4是1a ＋1b 的最小值．教师：上面两位同学的发现都对，其实1a ＋1b是一个变量，4是一个常数，从“次数”或“幂指数”上来看，结合条件a ＋b ＝1，你发现前四位同学的证明过程有什么共同特点？学生：1a ＋1b 是两个“－1”次式的和，即是一个“－1次齐次式”，4是一个“0次式”，a＋b 是“1次齐次式”．前四位同学的证明过程，从前到后包含了“升一次”的内容．而在条件“a ＋b ＝1”中，从左到右包含了“降一次”的内容．为了达到从“1a ＋1b ”到“4”“升一次”的目的，将“1a ＋1b ”中的“1”替换成“a ＋b ”．教师：我们以第一位同学的证明为例，这样就将要证的不等式转化成了一个“齐次不等式”：2＋b a ＋a b ≥4，而用基本不等式证明这个不等式是很简单的．我们不妨把这样的变形要求称为“次数平衡原则”．请大家利用“次数平衡原则”证明下列不等式．变例1 设两个正数a ，b 满足a ＋b ＝1，求证：1a ＋1＋1b ＋1≥43． 变例2 设两个正数x ，y 满足2x ＋y ＝1，求证：1x ＋1＋1y ＋1≥34＋22． 评析：通过师生合作，利用整体化（换元）的观点，将不等式“b a ＋a b ≥2（其中ab ＞0）”的运用用活了，这是“化归与转化思想”的体现，这种观点在三角、数列、复数、向量、解析几何等领域也具有广泛的应用价值，是唯物辩证法“普遍联系”观点的体现．在教学过程中，指向明确的问题，往往是激发学生学习兴奋点、真正实现培养学生的科学精神、达到“教”就是为了“不教”、使学生成为“会学习”的人的重要因素．新的课程标准，新的教学理念，新的教学形式，无疑不在告诫着我们新时代的每一位教师：放开手，把学习的主动权还给学生，他们能行！学生是学习的主人，只有多做、多动手才能多动脑，才有创新的机遇！给他们一片自由的蓝天，让他们在学习上发挥自己的能力，展开想象的翅膀，创造美好的未来！参考书籍：1．普通高中数学课程标准．人民教育出版社．2．苏教版课程标准实验教科书《数学1》、《数学5》、《数学2－2》．。