第5章 插值法

§1.1 差 商
f [ x1] − f [ x0 ] f ( x0 ) − f ( x1 ) f [ x0 , x1] = = x1 − x0 x0 − x1 f ( x0 ) f ( x1 ) = + = f [ x1, x0 ] x0 − x1 x1 − x0 f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 )
由上式逐次解出f(x), f[x0 ,x], f[x1 ,x0 , x], f[x2 , 由上式逐次解出 x1 ,x0 , x],…,并代入 得： 并代入f(x)得 并代入
f ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f [ x0 , x ] = f ( x0 ) + ( x − x0 )[ f [ x1 , x0 ] + ( x − x1 ) f [ x1 , x0 , x ]] = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x1 , x0 ] +( x − x0 )( x − x1 )[ f [ x2 , x1 , x0 ] + ( x − x2 )[ f [ x2 , x1 , x0 , x ]] = ... = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x1 , x0 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x2 , x1 , x0 ] +... + ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 ) f [ xn , xn −1 , ..., x0 ] +( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn ) f [ xn , xn −1 , ..., x0 , x ] = Pn ( x ) + Rn ( x )
预备知识
多项式的插值问题 构造n次多项式 构造 次多项式 Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn 使满足P 使满足 n(xi)= yi (i=0,1,2,…,n)，及利用 ， 多项式P 进行插值计算的问题。 多项式 n(x)进行插值计算的问题。 进行插值计算的问题
§1 不等距条件下的 牛顿基本差商公式
f [ x] − f [ x0 ] f [ x0 , x] = x − x0 f [ x0 , x] − f [ x1 , x0 ] f [ x1 , x0 , x] = x − x1 f [ x1 , x0 , x] − f [ x2 , x1 , x0 ] f [ x2 , x1 , x0 , x] = x − x2 .....................................
当x=xi(i=0,1, 2,…,n)时， Rn(xi )=0, Pn(xi)= yi 时 当x≠xi(i=0,1, 2,…,n)时， Rn(xi ) ≠ 0, Pn(x)≈ f(x) 时 ≈
§1.2 牛顿基本差商公式
已知x=1,4,9的平方根值，求71/2 的平方根值， 例5.2 已知 的平方根值 解：（ 1 ）建立差商表
结论： 结论： 差商值与变量的排列次序无关。 差商值与变量的排列次序无关。 次多项式时， 当f(x)=Pn(x)为n次多项式时，可以证明它的 为 次多项式时 可以证明它的n 阶差商是一个常量
§1.2 牛顿基本差商公式
• 设x为插值区间内的一个节点，按照差商 为插值区间内的一个节点， 为插值区间内的一个节点 定义， 定义，有如下关系式
∏(x− x ) (n+1)!
i=0 i
如果|f 如果 (n+1)(ξ) |≤Mn+1 ξ
Mn+1 n | Rn ( x)|≤ | ∏( Fra Baidu bibliotek − xi )| (n +1)! i =0
§1.1 差 商
试列出f(x 在节点x=0,2,3,5,6上的各阶 例5.1 试列出 i)=x3在节点 上的各阶 差商值。 差商值。
xi f[xi] 0 0 2 8 (27-8)/(3-2)=19 3 27 (125-27)/(5-3)=49 5 125 (216-125)/(6-5)=91 6 216 (91-49)/(6-3)=14 (49-19)/(5-2)=10 (14-10)/(6-2)=1 f[xi,xi+1] (8-0)/(2-0)=4 (19-4)/(3-0)=5 (10-5)/(5-0)=1 f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2]
f ( n) (ξ ) f [ x0 , x1 ,..., xn ] = n!
§1.3 牛顿基本差商公式的余式估计
f ( n) (ξ ) f [ x0 , x1 ,..., xn ] = n!
余式的估计
(ξ∈ 0,x1,…,xn]) ξ∈[x ξ∈
增加新节点x，并且 阶可导时， 增加新节点 ，并且f(x)为(n+1)阶可导时，有 为 阶可导时
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) = + + ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
§1.1 差 商
f [ x0 , x2 , x1] = f ( x0 ) f ( x2 ) f ( x1 ) + + ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )
f(x)在[xi,xj,xk]区间上一阶差商之差商为二阶差商 在 区间上一阶差商之差商为二阶差商 区间上一阶差商之差商为
xk − xi f [ x1, x2 ] − f [ x0 , x1] 例如： 例如：f [ x0 , x1, x2 ] = x2 − x0 f [ xi , x j , xk ] = f [ x j , xk ] − f [ xi , x j ]
§1.1 差商 f [ x2 , x3 ] − f [ x1, x2 ] 例如： 例如：f [ x1, x2 , x3 ] = x3 − x1
区间[x ]上的 阶差商为： 上的n阶差商为 区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为：
f [ xi , xi +1,..., xi +n−1, xi +n ] f [ xi +1, xi +2 ,..., xi +n ] − f [ xi , xi +1,..., xi +n−1] = xi +n − xi
xi 1 4 9 f[xi] 1 0.33333 2 0.2 3 -0.01667 f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2]
§1.2 牛顿基本差商公式
（2）根据差商表建立牛顿基本差商插值公式 ）根据差商表建立牛顿基本差商插值公式
xi 1 4 9 f[xi] 1 2 0.2 3 P2(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1, x0]+ (x-x0) (x-x1) f[x2, x1 , x0] P2(7)=1+(7-1)×0.33333+ (7-1)×(7-4)×(-0.01667)= × × × 2.69992 f[xi,xi+1] 0.33333 -0.01667 f[xi,xi+1,xi+2]
§1.1 差商
差商表
xi x0 x1 x2 f[xi] f(x0) f(x1) f[x1,x2] f(x2) f[x2,x3] x3 f(x3) … … … f[x1,x2,x3] f[xi,xi+1] f[x0,x1] f[x0,x1,x2] f[x0,x1,x2 ,x3] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2]
§1.3 牛顿基本差商公式的余式估计
Rn(n)(x) =f (n)(x)- Pn(n)(x) =f (n)(x)- n! f[x0,x1,…,xn] Rn(xi)=0 R’n(ξi)=0 (i=0,1,..,n) (i=0,1,..,n-1) n+1个零点 个零点 n个零点 个零点
Rn(n)(ξ)=0 (ξ∈ 0,x1,…,xn]) 1个零点 ξ∈[x ξ∈ 个零点 Rn(n)(ξ)=0=f (n)(ξ)- n! f[x0,x1,…,xn] ξ ξ 差商和导数 的关系
§1.1 差 商
如以x代表时间 代表路程s,则一阶差商为 如以 代表时间t,f(x)代表路程 则一阶差商为 代表时间 代表路程 它相当于在[t ∆si/ ∆ti=Vi，它相当于在 i, ti+1]范围内的一 范围内的一 种平均速度， 种平均速度，二阶差商则为上述平均速度 的平均变化率，即平均加速度,…,所以差商 的平均变化率，即平均加速度 所以差商 表的数值可以直接反映出函数值的变化情 况。 • 差商的重要特性 差商的重要特性——对称性，即差商的值 对称性， 对称性 与同组节点排列的次序无关。 与同组节点排列的次序无关。
§1.3 牛顿基本差商公式的余式估计
差商与导数的关系 f(x)=Pn(x)+ Rn(x)
对余式求其n阶导数 对余式求其 阶导数: 阶导数 Rn(n)(x) =f (n)(x)- Pn(n)(x) Rn(x) =f(x)- Pn(x)
=f (n)(x)- { f(x0)+(x-x0) f[x0, x1] +(x-x0)(x-x1) f[x0, x1 , x2] +…+(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)f[x0,x1,…,xn]}(n)
第五章 插值法
预备知识
• 实践中有些函数解析式未知，或虽有明确 实践中有些函数解析式未知 函数解析式未知， 解析式， 计算复杂， 解析式，但计算复杂，这时需要用比较简 单且易于计算的函数p(x)去近似代替它，使 去近似代替它， 单且易于计算的函数 去近似代替它 得 p(xi)= yi (i=0,1,2,…,n) 这类问题称为插值问题 函数p(x 称为 插值问题。 称为插 这类问题称为插值问题。函数 i)称为插 值函数。 称为插值节点 插值节点或简称节 值函数。 x0,x1,… xn称为插值节点或简称节 插值节点所在的区间称为插值区间 插值区间。 点。插值节点所在的区间称为插值区间。 p(xi)= yi 称为插值条件。 称为插值条件 插值条件。
f (n+1) (ξ ) f [ x0 , x1,..., xn , x] = (n +1)!
=
(ξ∈ 0,x1,…,xn,x]) ξ∈[x ξ∈
Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn ) f [ x0 , x1,..., xn , x] (n+1) f (ξ) n
§1.2 牛顿基本差商公式
§1.2 牛顿基本差商公式
其中P 称为牛顿基本差商公式 其中 n(x)称为牛顿基本差商公式， Rn(x)称 称为牛顿基本差商公式， 称 牛顿基本差商公式的余式。 为牛顿基本差商公式的余式。 若用P 近似f(x),则误差为Rn(x)。 若用 n(x)近似 近似 则误差为 。
x2 − x1 − x1 − x0 x2 − x0
f [ x1, x2 ] − f [ x0 , x1] f [ x0 , x1, x2 ] = = x2 − x0
f ( x0 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) = − − + ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( x2 − x0 )( x1 − x0 ) ( x1 − x0 )( x2 − x0 ) = f ( x0 ) f ( x1 ) x1 − x0 + x2 − x1 f ( x2 ) − [ ]+ ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 )( x1 − x0 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )
§1.1 差 商
• 差商的定义
f(x)在xi点的零阶差商为 在 点的零阶差商 零阶差商为 (i=0,1,2,…,n) f[xi]= f(xi) f(x)在[xi,xj]上的一阶差商为 在 上的一阶差商 上的一阶差商为
f [ x j ] − f [ xi ] f ( x j ) − f ( xi ) f [ xi , x j ] = = x j − xi x j − xi