快速傅里叶变换(FFT)精品PPT课件

x2 (r)WNkr/ 2 X1(k ) WNk X 2 (k )
r 0
r 0
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即
N / 21
X1(k)
x1(r)WNkr/2 DFT[x1(r)]
r0
N / 21
X 2 (k)
x2 (r)WNkr/2 DFT[x2 (r)]
kN
WN 2
WNk
X1(k)
A
X1(k)+ WNK X2(k)
A＋ BC
X2(k)
B
C WNK
X1(k)- WNK X2(k)
A－ BC
图4.2.1 蝶形运算符号
经过一次分解后，计算复数乘和复数加的次数：
复数乘： 2 （ N ）2 N N (N 1) N 2
22
2
2
复数加： 2[ N ( N -1)]+2 N N 2
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
N 1
X (k) x(n)WNkn, k 0,1,, N 1
n0
(4.2.1)
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接 按(4.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复 数加法。 因此，N点DFT的复乘次数等于N2,加法次数N(N-1).
) WNk / 2 X 4 (k ) X 3(k ) WNk /
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施 4.4 分裂基FFT算法 4.5 离散哈特莱变换(DHT)
4.1 引言
DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因 直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平 方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在 快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用 DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切 实际的。直到1965年Cooley和Tukey发现了 DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本 的变化。
设序列x(n)的长度为N，且满足
N 2M , M 为自然数
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r),
r 0,1, N 1 2
x2(r) x(2r 1),
r 0,1, N 1 2
则x(n)的DFT为
X (k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
WNm
Nk
WN2
(1)k
可约性表现在：
WNnk WmmNnk WNnk WNnkmm
WNn(N k ) WN(N n)k WNnk
WNN 2 1
(k
WN
N
2
)
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WNk
4.2.2 时域抽取法基2 FFT基本原理
FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法 FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频 域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称 DIF-FFT)。下面介绍DIT-FFT算法。
N / 41
N / 41
X1(k)
x1(2l)WN2/k2l
x1
(2l
1)WNk
(2l 1) /2
l0
l0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk/ 2
x4 (l)WNkl/ 4
l0
l0
X3 (k) WNk/2 X 4 (k), k 0,1,N / 2 1
(4.2.9)
r0
(4.2.5) (4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
kN
WN 2
WNk
，所以X(k)又可表示为
X (k ) X1(k ) WNk X 2 (k )
k 0,1, N 1 2
X
(k
N 2
)
X1(k )
WNk
X 2 (k )
k 0,1, N 1 2
(4.2.7) (4.2.8)
W
2 N
X(6)
x(7)
X2(3)
W
3 N
X(7)
图4.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)
与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长 的子序列x3(l)和x4(l)，即
x3 (l) x4 (l)
x1 (2l ) x1(2l
1)
,
l
0,1, ,
N 4
1
那么，X1(k)又可表示为
22
22
一次分解后，运算量减少近一半，故可以对N/2点 DFT再作进一步分解。
x(0)
X1(0)
X(0)
x(2)
N/2点 X1(1)
X(1)
x(4)
X1(2)
X(2)
DFT
x(6)
X1(3)
X(3)
x(1)
X2(0)
W
0 N
X(4)
x(3)
N/2点 X2(1)
W
1 N
X(5)
x(5)
DFT
X2(2)
当N>>1时，N 2 N (N 1) ，即N点DFT的乘法和加法运 算次数均与N2成正比，当N较大时，运算量相等可观。
注意：
通常将算术乘法和算术加法的次数作为计算复杂性的度 量，因为这种方法使用起来很简单。如果在计算机上用 软件实现这些算法，则乘法和加法的次数就直接与计算 速度有关。
但是，在常用的VLSI实现时，芯片的面积和功率要求 往往是最重要的考虑因素，而它们有可能与算法的运算 次数没有直接的关系。
式中
N / 41
X3(k)
x3 (l)WNkl/4 DFT[x3 (l)]
l0
N / 41
X 4 (k)
x4 (l)WNkl/4 DFT[x4 (l)]
l0
同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和WNm2 的对称
性 W kN N2
4
WNk 2
，最后得到：
X X
1 1
(k (k
) X3(k N / 4)
N / 21
N / 21
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk (2r1)
r0
r0
由于 所以
N / 21
N / 21
x1(r)WN2kr WNk
x2 (r)WN2kr
r0
r0
W 2kr N
j 2 2kr
e N
j
2 N
kr
e 2
W kr N/
2
N / 21
N / 21
X (k)
x1(r)WNkr/ 2 WNk
显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次 数大大减少。另外，旋转因子WmN具有明显的周期性、 对称性和可约性。其周期性表现为
W mlN N
j 2 (mlN )
eN
j 2 m
e N
WNm
(4.2.2)
其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ] WNm
m N
WN 2