中考数学复习指导：例析追击和相遇问题的解题方法

x = 6 处，代入计算可知，当 x = 1.5 时，两人距离最远，最远为15km 。
点拨 对于一次函数的追击类问题， 只要围绕图形结合题设便可迅速求解。 值得注意的 是必须看清图形坐标轴信息，理清图形语言的几何意义，为解题提供捷径。 二、相遇类问题 例 2 甲乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小 亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地后停留一段时间，原路原速返回，追 上小明后两人一起步行到乙地。设小明与甲地的距离为 y1 ，小亮与甲地的距离为 y2 ，小明
例析追击和相遇问题的解题方法
一、追击类问题 例 1 甲乙两人同时去 B 地，甲骑自行车，乙骑摩托车中途摩托车出现故障改步行，下 图是他们的路程随时间变化的图线。(1)求出甲乙两人路程与时间的关系函数；(2)甲到达终 点用了多长时间?(3)两人何时相距最远，最远距离是多少?
解析
(1)对于第一问，Baidu Nhomakorabea求甲乙的路程 - 时间关系函数，利用图中给出的数据即可求
yDE = kx + b ， 已知小亮 的骑行 速度，结 合已知 点 E (24， 0) ，可得 DE 段 的关 系式 为 y DE = 200 x − 4800 ，同时可以得到 yOC = 50 x 。此时，小亮与小明相遇的 s 与 x 的关系即
是 OC 与 DE 之间的纵坐标之差， s = 50 x − 200( x − 24) = −150 x + 4800 。 (3) 首 先 ， a 值 表 示 两 人 第 一 次 相 遇 时 间 ， 已 知 两 地 距 离 与 两 人 速 度 ，
小亮之间的距离为 s ，小明行走时间为 x ， y1、y2 与 x 之间的函数图象如图 1， s 与 x 之间 的部分图形如图 2。(1)求小亮从乙到甲的 y2 与 x 之间的函数关系；(2)求小亮由甲返回到与 小明相遇的 s 与 x 的函数关系；(3)补全图 2 的信息，并求出 a 值。
解析
图 1 是小明与小亮的路程 - 时间图象，结合题目背景可知， AB 段是小亮从乙
出。设甲路程随时间变化的关系式为 y = k1 x ，由于甲图过点（1.5，15） ，解出 k = 10 ，代 回上式可得甲的路程 - 时间关系函数为 y1 = 10 x 。 从图中可以看出乙的曲线呈现分段变化， 设第一段时乙的关系函数为 y2 = k2 x ，则当 x ∈ [0,1.5] 时，将已知点（1.5，30）代入，得 到乙的关系函数为 y2 = 20 x 。在第二段中，当 x ∈ [1.5, 7.5] 时，设其关系函数表达式为
地到甲地的过程，设其关系式为 y2 = kx + b ，将已知点代人可得 k = −200 、b = 2000 ，得 到其关系式为 y2 = −200 x + 2000 。 (2) BE 段 为 小 亮 在 甲 地 停 留 的 过 程 ， ED 段 则 是 小 亮 与 小 明 相 遇 的 过 程 ， 设
对题目图形的理解，务必做到图形与情境的一一对应。
a = 2000 /(200 + 50) = 8 。 GF 段： ：当 x = 10 时，小亮到达甲地，此后 14 分钟，小亮停
留在甲地，此时，两人之间的距离 s 满足关系： s = 500 + 50 x(10 ≤ x ≤ 24) 。 FM 段：此 时，小亮出发往乙地，直至与小明相遇，两人之间的距离。满足关系式 s = −150 x + 4800 ， 最终状态两人相遇即 s = 0 ，此段的时间 x ∈ [24,32] 。 MC 段：此时两人已经相遇，且同 时步行至乙地，故两人之间的距离 s 始终为 0。至此，对两人的运动过程的分析全部完成， 将对应的关系式与区间段代入图形即可得到对应的图 2。 点拨 遇到复杂类型的相遇追击问题，切忌慌乱，此时可以多读题目，将题目背景与图 形进行反复关联对照。同时，将已知的信息尽可能多的标注在图形上，从而提高审题效率。 一次函数类的相遇与追击问题常常与学生的生活实际相联系， 有条件时我们不妨安排学 生进行模拟实验，在生动趣味的实验过程中深化学生理解。在教学过程中，尽可能追求学生
y3 = k3 x + b ，将点（1.5,，30） 、 （7.5，60）代入得到表达式 y3 = 5 x + 22.5 ，综上可知乙
的路程 - 时间关系函数为
0 ≤ x ≤ 1.5 20 x， 。(2)已知甲的路程 - 时间关系函数， 5 x + 22.5， 1.5 < x ≤ 7.5
将 y = 60 代入，即可求出对应的时间 x = 6 。(3)从路程 - 时间关系图的几何意义出发，甲 乙两人的距离即是两图线之间的纵向距离，观察图形，两人距离最值可能出现在 x = 1.5 及