放缩法技巧全总结

放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑

=-n

k k 121

42的值; (2)求证:

35112

<∑=n

k k

. 解析:(1)因为

121121)12)(12(2142

2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111

4212

+=+-=-∑=n n n k n

k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-

<1211212144

4

111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n

k 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=12112121444412

22n n n n n (2))

1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1

11)1(1!11)!(!!11

≥--=-<<⋅-=⋅

=+r r r r r r n r n r n n

C T

r r

r

n r (4)1111

(1)1132132(1)

n n n n +<++++

+

<⨯⨯-

(5)

n

n n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+22

1

(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n

n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1

(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2

1

212121222)1212(21-++=

-++=--+

21

121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n

n n n n n n n n n n n n (12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(1112

3

--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<

⋅=n n n n n n n n n n n n 1

111211111

1+--<-++⋅

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221

n

n n n

n

n

n

n

n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+

(14)

!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15) )2(1)

1(1≥--<+n n n n n

(15) 11

1)

11)((112

2

2

2

2

22

2<++

++=

++

+--=

-+-+j i j i j i j i j i j

i j i

例2.(1)求证:)2()

12(21

67)12(1513

1122

2≥-->-+

+++n n n

(2)求证:

n n

41

2141361161412-

<++++ (3)求证:

1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n

n (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n

解析:(1)因为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)

12(12

n n n n n ,所以 )

1

2131(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i (2))111(4

1)12

11(4

14136

116

14

12

22n

n

n

-+<+++=++++

(3)先运用分式放缩法证明出1

212642)12(531+<

⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n

n ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先n

n n n n

++=

-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n

n 13

12

11)11(2+

++

+

<-+

再证2

1

2121

2122

2)1212(21

-++

=

-++=

--+

而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以)112(213

12

11-+<+

++

+

n n

例3.求证:3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

解

析

: 一方面: 因为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=-=

-

<121121

2144

4

111

222

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k

n

k

另一方面: 1

111)1(14

313

21119

14

112+=

+-=++

+⨯+⨯+>++++n n n n n n

当3≥n 时,

)

12)(1(61++>

+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,

当2=n 时,21

91411)12)(1(6n

n n n ++++<++ ,

所以综上有

3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1

()n n a f a +=.

设1(1)b a ∈，

，整数11ln a b

k a b

-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m

≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,