盘点平面几何常考五大模型

盘点平面几何常考五大模型

令狐采学

（一）等积变换模型性质与应用简介

导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。

等积变换模型例题讲解与课后练习题

（一）例题讲解与分析

•【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积是1平方厘米，那么三

角形ABC的面积是多少？

【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，

S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形

ABC的面积是ABD的3倍，是12.

【总结】要找准那两个三角形的高相同。

【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD 相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC 的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？

【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。

【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会

一下。

（二）课后练习题讲解与分析

（二）鸟头定理（共角定理）模型

导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织

而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。

o（三）蝴蝶定理模型

导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题

目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目

都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的

变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一

下五大模型第三块——蝴蝶定理模型。

蝴蝶定理模型练习题

▪【练习1】：在直角梯形ABCD中，

AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的

面积为15平方厘米。梯形ABCD的面积

是多少平方厘米？

【解答】：连接AE,根据蝴蝶定理可得S△AEF=S阴=15，

因为S△ABC=15×12÷2=90,所以

S△ABF=90－15=75

再次用蝴蝶定理可求

S△EFC=15×15÷75=3

所以SABCD=12×15+15+3=198

【练习2】：如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？

【解答】：本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况。

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6*1.5/2*4+2*2=22，阴影部分的面积为6*6-22=14。

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2：6=1：3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比

为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9/16，阴影部分的面积占该梯形面积的7/16，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7/16，那么阴影部分的面积为14。

【例】已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为：

120÷5=24(平方厘米)，由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.

方法一：连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等，又因为ABC的面积为120÷4=30(平方厘米)，所以BAF、AEF 和EFC的面积为：30÷3=10(平方厘米)，所以阴影部分的面积为：24-10=14(平方厘米).

方法二：本题用沙漏也可以解答能看见BAF和CDF是沙漏(形象演

示)AB:CD=BF:FC=1:2所以以BF为底的

三角形ABF占整个三角形的1/3,为

30×1/3=10(平方厘米).所以阴影面积为：24-10=14(平方厘米).

（五）燕尾定理模型

导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一期我们讲解一下五大模型最后一个——燕尾定理模型。

▪【练习】：已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，F

是DE的中点。求△DFG的和四边

形AEFG的面积的比是多少？

【解析】因为F为DEF的中点，所以

△CFD=△CEF△AFE=△AFD

因为E为AC的中点，所以△CEF=△AEF

所以△CFD=△CEF=△AEF

所以△CFA:△CFD=2:1

根据燕尾定理：

△AGF:△DGF=△CFA:△CFD=2:1

所以△DFG：AEFG=1：（2+1+2）=1：5