初中分式知识点总结及复习

分式知识点

知识点一：分式的定义

一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B

A 叫做分式，A 为分子，

B 为分母。 《补充》单项式和多项式统称为整式。是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。

有理式：包括整式和分式，这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。 知识点二：与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（0B ≠）

②分式无意义：分母为0（0B =）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩

⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩

⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0

0B A ）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

经典例题

1、在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24

x y -中，分式的个数为（ ） A .1 B .2 C .3 D .4 2、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ）

A .

1a a + B .21a a + C .211a a ++ D .211

a a +- 3、当1x =时，分式①11x x +-，②122x x --，③211x x --，④311x +中，有意义的是（ ） A .①③④ B .③④ C .②④ D .④ 4、当x = 时，分式132x x +-的值为1. 5、分式1

111x

++有意义的条件是（ ） A .0x ≠ B .1x ≠-且0x ≠ C .2x ≠-且0x ≠ D .1x ≠-且2x ≠-

6、如果分式33

x x --的值为1，则x 的值为（ ） A .0x ≥ B .3x > C .0x ≥且3x ≠ D .3x ≠

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ∙∙=A B A ，C

B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B

B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意

C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

经典例题

1、把分式a a b

+的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ） A .不变 B .扩大2倍 C .缩小2倍 D .扩大4倍

2、下列各式正确的是（ ）

A .11a x a b x b ++=++

B .22y y x x =

C .n na m ma

=，（0a ≠） D .n n a m m a -=- 3、不改变分式的值，把分式0.010.20.5x y x y

-+的分子与分母中的系数化为整数.

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

经典例题

1、约分：①222________20ab a b =；②229________69

x x x -=-+； 2、下列各式与分式

a a b

--的值相等的是（ ） A .a a b --- B .a a b + C .a b a - D .a b a -- 3、化简2293m m m --的结果是（ ）A 、3+m m B 、3

+-m m C 、3-m m D 、m m -3 知识点五：分式的通分

① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，

叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

经典例题

1、通分： 2216,211

a a a a -++-.

知识点六分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

d

b c a d c b a ∙∙=∙ 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为c c ∙∙=∙=÷b d a d b a d c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n

b a b a =⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 经典例题 1、下列运算正确的是（ ） A .62x x x = B .0x y x y +=+ C .1x y x y -+=-- D .a x a b x b

+=+ 2计算： ②222222221_______()

a b a ab b a b ab ab b a --+÷⋅=+- 3、计算：； ②232()()()______b

a c a c b

--÷⨯=. 4、先化简，再求值：2322322432()[]()1(1)(1)2x x x x x x x x x x x --+÷⋅++-+++，其中13

x =-. 5、已知27x y =，求分式22

22322x xy y x xy y

-+++的值.

6、已知

0345

x y z ==≠，那么223x y x y z -+-的值