2021年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)(1)

2021年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：
1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（ ）
A ．47
B ．59
C ．916
D ．1225
3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（ ）
A ．62
B ．2
C ．3
D ．6
4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）
A ．12
B ．25
C ．23
D ．34
5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x
3＝18，则 {x }＋{1x
}＝（ ） A ．12 B ．3－5 C ．12
(3－5) D ．1
6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（ ）
A ．4－23
B ．2－3
C ．12
(3－1) D ．3－1
二、填空题：
1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，
1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__
2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815
对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________．
3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________．
F
B D 4．已知正整数a ，b ，c 满足: 1＜a ＜b ＜c ，a ＋b ＋c ＝111，b 2＝ac ，则b ＝________．
第一试 参考答案
一、选择题
1.C
2.A
3.B
4.B
5.D
6.A
二、填空题
1. 0
2. 144
3. 48°
4. 36
第二试 （A ）
一、 设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b
+的值．
二、如图，在□ABCD 中， D 为对角线BD 上一点，且满足∠ECD ＝∠ACB , AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：∠DFE ＝∠AFB
三、设n 是整数，如果存在整数x ，y ，z 满足n ＝x 3＋y 3＋z 3－3xyz ，则称n 具有性质P . 在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.
第二试 （A ）答案
一、解 由已知条件可得222
()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.
设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=，
联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =.
若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根；
若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以 22222222222
11()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====.
二、证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.
又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ，所以ED CD AB DF AF AF
==.又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故 DFE AFB ∠=∠.
三、解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .
取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P . 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333
(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则 33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-
3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++
＝3
()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++ 2221()()2
x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2
x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2
x y z x y y z z x =++-+-+- ① 不妨设x y z ≥≥，
N 如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；
如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .
因此，1，5和2014都具有性质P .
若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P .
第二试 （B ）试题及答案
一．同（A ）卷第一题.
二．如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .
解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点E ，由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以DE 为BDC ∠的平分线.
又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =.
延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==.
又FNM FAB ∠=∠，FBA FMN ∠=∠，所以△ABF ≌△NMF ，所以MF BF =，FN AF =.
因此，AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+ 7310=+=，即210AH =，所以5AH =.
三．设n 是整数，如果存在整数x ，y ，z 满足n ＝x 3＋y 3＋z 3－3xyz ，则称n 具有性质P ..
（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；
（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？
解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P ； 取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-⨯⨯⨯，所以2具有性质P ；
若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++， 从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P .
（2）记333
(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则 33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-
3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++
＝3
()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++ 2221()()2
x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2
x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2
x y z x y y z z x =++-+-+- ① 不妨设x y z ≥≥，
如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；
如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .又若33|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则33|()x y z ++，从而
3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.
综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P . 又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数共有224×2＝448个.。