人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-1练习2.五 与圆有关的比例线段

1．圆内两条相交弦AB 和CD 交于点P ，AB ＝8，AB 把CD 分成两部分的线段长分别为3和4，那么AP 等于( )

A ．2

B ．6

C ．2或6

D ．3或

5

解析：选C.如图所示，由相交弦定理，得

AP ·(8－AP )＝3×4

，解得AP ＝2或6.

2．如图，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，那么AF 、BD 、CE 的长分别为( )

A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cm

B ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cm

C ．AF ＝5 cm ，B

D ＝4 cm ，C

E ＝9 cm D ．A

F ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm

解析：选A.∵BC 、AC 、AB 分别切圆于点D 、E 、F ， ∴AF ＝AE ，BF ＝BD ，CD ＝CE .

设AF ＝x cm ，BD ＝y cm ，CE ＝z cm ，则 ⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ＝13，y ＋z ＝14，z ＋x ＝9.

解得x ＝4，y ＝9，z ＝5.

∴AF ＝4 cm ，BD

＝9 cm ，CE ＝5 cm.

3．如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∶BC ＝1∶2，AB ＝35，PD ＝40，

则过点P 的⊙O 的切线长是( ) A ．60 B ．40 2 C ．35 2

D ．50

解析：选A.由圆内接四边形的性质定理，可得△PAD 与△PCB 相似．∴AD BC ＝PD PB ，即

40

PA ＋35＝1

2，解得PA ＝45.若设过点P 的⊙O 的切线长为x ，则x 2＝PA ·PB ＝45×80，∴x ＝60，故选A.

4．(2012·高考北京卷)如图， ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )

A ．CE ·C

B ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·AB

C ．A

D ·AB ＝CD 2 D ．C

E ·EB ＝CD 2

解析：选A.在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD ·DB .又CD 是圆的切线，故CD 2＝CE ·CB . ∴CE ·CB ＝AD ·DB .

5．如图，P 为半圆O 的直径AB 延长线上一点，且PB ＝OB ＝2，PC 切半圆O 于C ，CD ⊥AB 于D .则CD 长为( )

A ．2 3 B. 3 C.3

2

D ．4 3

解析：选B.连接OC .∵PC 为半圆O 的切线， ∴∠OCP ＝90°.

又由切线长定理，得PC 2＝PB ·PA . 又∵PA ＝PB ＋AB ＝PB ＋2OB ＝6， ∴PC 2＝2×6，即PC ＝2 3. 又∵Rt △PCD ∽△Rt △POC ，

∴CD OC ＝PC PO ，即CD 2＝234，∴CD ＝ 3. 6．(2013·高考湖北卷)

如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE

EO

的值为________．

解析：设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R

3.

由相交弦定理，得CD 2＝AD ·DB ，所以CD ＝22

3

R .

在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R 9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CE

EO ＝

8.

答案：8

7．(2013·北京市西城区高三质检)如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若PA BC ＝32，则PB

BC

＝________.

解析：根据切割线定理有：PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )，而PA BC ＝32，即PA ＝32BC ，

将其代入上式得：PB 2＋PB ·BC －34BC 2＝0，即(2PB ＋3BC )(2PB －BC )＝0，可得PB BC ＝－3

2(舍

去)或PB BC ＝1

2

.

答案：12

8．(2012·高考湖南卷)

如图，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于__________．

解析：设⊙O的半径为r(r>0)，

∵PA＝1，AB＝2，

∴PB＝PA＋AB＝3.

延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.

设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.

由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，

∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.

答案： 6

9．如图，弦AD和CE相交于⊙O内一点F，延长EC与过点A的切线相交于点B，且AB＝BF＝FD，BC＝1 cm，CE＝8 cm，求EF和AF的长．

解：AB2＝BC·BE，

AB2＝1×9，所以AB＝3(cm)＝BF＝FD.

所以CF＝2(cm)，FE＝6(cm)．

又因为AF ·FD ＝CF ·FE ， 所以AF ×3＝2×6， 即AF ＝4(cm)．

10．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．

(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；

(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB ＝∠A . 由题设知BC FA ＝DC EA

，

故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA . 因为B ，E ，F ，C 四点共圆，

所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EFA ＝∠CFE ＝90°， 所以∠CBA ＝90°.

因此CA 是△ABC 外接圆的直径．

(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，

所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE . 由DB ＝BE ，有CE ＝DC . 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.