信号与系统全解举例2

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最后得全解
自由响应
全解
强迫响应
Байду номын сангаас
y(t) 2e2t e3t 2 cos(t ) t 0
4
瞬态响应
稳态响应
前两项随t的增大而逐渐消失，称为瞬态响应；
后一项随t的增大，呈现等幅振荡，称为稳态响应。
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2 cos(t )
4
全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。
2 cos(t )
4
y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 +1= 0
解得 C1 = 3 ，C2 = – 2
y’(t)= - Psint + Qcost
y”(t)= - Pcost - Qsint 代入原式，得
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将其代入微分方程得
(-P+5Q+6P) cost+ (-Q-5P+6Q)sint=10cost
于是有： 5P+5Q =10 -5P+5Q =0
所以 P=Q=1
于是特解为 yp(t) = cost+sint=
全解举例2
例 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求 当f(t) = 10cost，t≥0；y(0)=2，y’(0)= 0时的全响应；
解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 当f(t) = 10cost 时，其特解可设为 yp(t) = Pcost+Qsint 其一、二阶导数分别为：