疲劳寿命计算

疲劳分析的数值计算方法
及实例
第一节引 言
零件或构件由于交变载荷的反复作用，在它所承受的交变应力尚未达到静强度设计的许用应力情况下就会在零件或构件的局部位置产生疲劳裂纹并扩展、最后突然断裂。

这种现象称为疲劳破坏。

疲劳裂纹的形成和扩展具有很大的隐蔽性而在疲劳断裂时又具有瞬发性，因此疲劳破坏往往会造成极大的经济损失和灾难性后果。

金属的疲劳破坏形式和机理不同与静载破坏，所以零件疲劳强度的设计计算不能为经典的静强度设计计算所替代，属于动强度设计。

随着机车车辆向高速、大功率和轻量化方向的迅速发展，其疲劳强度及其可靠性的要求也越来越高。

近几年随着我国铁路的不断提速，机车、车辆和道轨等铁路设施的疲劳断裂事故不断发生，越来越引起人们的重视。

疲劳强度设计及其研究正在成为我国高速机车车辆设计制造中的一项不可缺少的和重要的工作。

金属疲劳的研究已有近150年的历史，有相当多的学者和工程技术人员进行了大量的研究，得到了许多关于金属疲劳损伤和断裂的理论及有关经验技术。

但是由于疲劳破坏的影响因素多而复杂并且这些因素互相影响又与构件的实际情况密切相关，使得其应用性成果尚远远不能满足工程设计和生产应用的需要。

据统计，至今有约90%的机械零部件的断裂破坏仍然是由直接于疲劳或者间接疲劳而引起的。

因此，在21世纪的今天，尤其是在高速和大功率化的新产品的开发制造中，其疲劳强度或疲劳寿命的设计十分重要，并且往往需要同时进行相应的试验研究和试验验证。

疲劳断裂是因为在零件或构件表层上的高应力或强度比较低弱的部位区域产生疲劳裂纹，并进一步扩展而造成的。

这些危险部位小到几个毫米甚至几十个微米的范围，零件或构件的几何缺口根部、表面缺陷、切削刀痕、碰磕伤痕及材料的内部缺陷等往往是这种危险部位。

因此，提高构件疲劳强度的基本途径主要有两种。

一种是机械设计的方法，主要有优化或改善缺口形状，改进加工工艺工程和质量等手段将危险点的峰值应力降下来；另一种是材料冶金的方法，即用热处理手段将危险点局部区域的疲劳强度提高，或者是提高冶金质量来减少金属基体中的非金属夹杂等材料缺陷等局部薄弱区域。

在解决实际工程问题时，往往需要结合运用以上两种方法进行疲劳强度设计和研究。

合理地利用各种提高疲劳强度的手段，可以有效地提高构件的疲劳强度或延长其疲劳寿命，并起到轻量化的作用。

关于疲劳问题的研究，基本上可分为疲劳裂纹的形成和扩展机理、规律方面的基础性研究和疲劳强度设计以及提高疲劳强度的有效途径等应用性研究。

应用性研究虽然借鉴了基础性研究的成果，但因为它需要考虑更多的实际影响因素，所以它的研究更为复杂和困难。

因此相比之下关于疲劳寿命的预测和疲劳强度设计等应用性研究要少得多，远远落后于实际工程的需求。

过去，疲劳强度设计和寿命预测的研究主要是以试验为基础进行的。

随着计算机应用技术和有限元数值计算理论及其应用的迅速发展，现在又兴起了基于大量试验数据的疲劳强度设计和寿命计算的有限元数值计算方法，有力地推动着零部件疲劳强度设计的研究及
应用的发展。

当前，业已发展形成了专用的疲劳分析软件，如MSC/FA TIGUE 等。

此外许多著名的有限元分析软件也嵌套有功能较为齐全的疲劳强度计算模块，如MARC ，ANSYS ，以及I-Deas 中的CAE 等。

这些软件疲劳强度计算模块的细节虽然不尽相同，但是其基本思路与算法大都相似。

本章将阐述疲劳强度设计的基本概念、疲劳强度的主要影响因素、疲劳强度设计的有关理论、基本设计方法等。

最后，还将对疲劳强度分析的实例进行介绍。

第二节 疲劳载荷类型与S-N 曲线：
一、疲劳载荷的类型与基本术语
使零件或构件发生疲劳破坏的动载荷称为疲劳载荷，可分为为两类。

一类是其大小和正负方向随时间周期性地变化的交变载荷，另一类是大小和正负方向随时间随机变化的随机载荷。

交变载荷又称为循环载荷，是最为简单和基本的疲劳载荷形式。

所研究结构部位因交变载荷引起的应力称为交变应力。

图14-1（a）是一个典型的交变应力-时间的变化历程。

图中循环应力的大小和正负方（拉压）向随着时间的变化而作周期性的变化。

一个周期的应力变化过程称为一个应力循环。

应力循环特点可用循环中的最大应力σmax 、最小应力σmin 和周期T（或频率f=1/T）来描述。

因为最大应力和最小应力的绝对值相等而正负号相反，故称这种交变载荷为对称循环应力。

典型的循环载荷如圆轴类杆件的旋转弯曲、轴向拉压和平板零件的双向弯曲等，都可以在零件的表面或内部产生这样的交变应力。

另外，轴类零件的双向扭转也可以产生类似的交变应力。

图14-1（a） 对称循环交变载荷
图14-1（b） 不对称循环交变载荷
在疲劳载荷的描述中经常使用应力幅σa 和应力范围△σ（也称为应力振幅、应力幅度）的概念，定义如下。

（14-1）
（14-2） 应力幅σa 反映了交变应力在一个应力循环中变化大小的程度，它是使金属构件发生疲a σσσσ2=-=∆min max 2min max a σσσ-=
劳破坏的根本原因。

当研究的部位除承受有动载荷外，还有静载分量荷时，动静载荷的共同作用下的应力-时间变化曲线如图14-1（b）所示。

此时的载荷时间-变化曲线相当于把图14-1（a）的对称循环应力曲线向上平移一个了静应力分量。

这种的循环载荷称为不对称循环载荷，并用最小应力与最大应力的比值R 来描述循环应力的不对称程度，R 称为应力比，有时又称为不对称系数，即
（14-4）
由定义可知，当R =-1时的循环应力即为对称循环应力，
当R ≠0时统称不对称循环应力。

其中，R =0时为拉伸脉动应力，R =-∞时为压缩脉动循环。

循环应力中的静载分量通常称为平均应力，用σm 表示，可由下式求出。

（14-5） 静载分量或平均应力对构件的疲劳强度有一定的影响。

压缩平均应力往往提高构件的疲劳强度，而拉伸平均应力往往降低构件的疲劳强度。

因此，在疲劳强度和疲劳寿命的研究中，
给定一个循环应力水平时，需要同时给出应力幅σa 和应力比R 、
或者同时给出最大应力σmax 和平均应力σm ，也有时直接给出最大应力σmax 和最小应力σmin 来表示循环应力水平。

由以上各式可知，在应力幅、平均应力、应力比、最大应力和最小应力的参数中，只要已知其中的两个便可求出其它。

如当已知σa 、R 时，其它参数便可由下式得到。

（14-6） 或者已知或σa 、σm 时，
（14-7）
二、材料的S-N 曲线与基本术语
一般情况下，材料所承受的循环载荷的应力幅越小，到发生疲劳破断时所经历的应力循环次数越长。

S-N 曲线就是材料所承受的应力幅水平与该应力幅下发生疲劳破坏时所经历的应力循环次数的关系曲线。

S-N 曲线一般是使用标准试样进行疲劳试验获得的。

如图14-2所示，纵坐标表示试样承受的应力幅，有时也表示为最大应力，但二者一般都用σ表示；横坐
标表示应力循环次数，常用N f 表示。

为使用方便，
在双对数坐标系下S-N 曲线被近似简化成两条直线。

但也有很多情况只对横坐标取对数，此时也常把S-N 曲线近似简化成两条直线。

S-N 曲线中的水平直线部分对应的应力水平就是材料的疲劳极限，其原意为材料经受无
max min σσ=R a m a a R R R
R R σσσσσσ-+=-=-=1121212min max 2
min max m σσσ+=a m a m σσσσσσ-=+=min max
图14-2 S-N 疲劳曲线
数次应力循环都不发生破坏的应力极限，对钢铁材料此“无限”的定义一般为107次应力循环。

但现代高速疲劳试验机的研究成果表明，即使应力循环次数超过107材料仍然有可能发生疲劳断裂。

不过107次的应力循环次数，对于实际的工程中的疲劳强度设计已经完全能够满足需要。

疲劳极限又称持久极限，对于无缺口的光滑试样，多用σw0表示，而应力比R =-1时的疲劳极限常用σ-1来表示。

某些不锈钢和有色金属的S-N 中没有水平直线部分，此时的疲劳极限都一般定义为108次应力循环下对应的应力幅水平。

疲劳极限是材料抗疲劳能力的重要性能指标，也是进行疲劳强度的无限寿命设计的主要依据。

斜线部分给出了试样承受的应力幅水平与发生疲劳破断时所经历的应力循环次数之间的关系，多用如幂函数的形式表示。

（14-8）
式中σ为应力幅或最大应力，N 为达到疲劳破断时的应力循环次数，m ，C 材料常数。

如果给定一个应力循环次数，便可由上式求出或由斜线量出材料在该条件下所能承受的最大应力幅水平。

反之，也可以由一定的工作应力幅求出对应的疲劳寿命。

因为此时试样或材料所能承受的应力幅水平是与给定的应力循环次数相关联的，所以称之为条件疲劳极限，或称为疲劳强度。

斜线部分是零部件疲劳强度的有限寿命设计或疲劳寿命计算的主要依据。

材料或构件到发生疲劳破坏时所经历的应力循环次数称为材料或构件的疲劳寿命，通常它包括疲劳裂纹的萌生寿命与扩展寿命之和。

疲劳裂纹萌生寿命为构件从开始使用到局部区域产生疲劳损伤累积、萌生裂纹时的寿命；裂纹扩展寿命为构件在裂纹萌生后继续使用而导致裂纹扩展达到疲劳破坏时的寿命。

在疲劳强度设计中，疲劳破坏可能被定义为疲劳破断或规定的报废限度。

S-N 曲线又称为应力-寿命曲线，主要用于构件的变形在弹性变形范围内的情形。

一般说
来，这种应力状态下的疲劳达到破坏时的循环次数比较高，往往达到106以上，所以这种疲
劳又称为高周疲劳。

相对地，达到疲劳破坏的循环次数较低时的疲劳称为低周疲劳，发生低周疲劳时构件在局部位置发生了塑性变形。

近三十年来，对于低周疲劳，基于塑性应变幅εa
C N m =σN
的疲劳寿命曲线（εa -N）在工程中得到应用。

对于带缺口的零件，其工作载荷变动较大时，在应力集中的局部区域将会发生塑性变形，此时疲劳寿命估算则要求基于应力和基于塑性应变的两种材料疲劳性能曲线。

这种方法目前还不能用于高周疲劳的寿命估算。

第三节、疲劳强度的影响因素
通常我们通过手册所获得的S-N 曲线大多是无缺口的标准试样的试验结果。

但是实际零部件的形状、尺寸、表面状态、工作环境和工作载荷的特点都可能大不相同，而这些因素都对零部件的疲劳强度产生很大的影响。

疲劳强度的影响因素可分为力学、冶金学和环境三个方面。

这些因素互相联系影响，使得在疲劳强度设计和疲劳寿命预测时，综合评价这些因素影响变得复杂。

三类因素中，力学因素从根本上讲可归结为应力集中和平均应力的影响；冶金学因素可归纳为冶金质量即材料的纯净度和材料的强度；而环境因素主要有腐蚀介质和高温的影响。

对于铁路车辆零部件大多数的情况是在大气和常温环境下工作的，所以一般情况下应主要考虑力学和冶金学两类因素。

它们包括缺口形状的影响、尺寸的影响、表面状态的影响和平均应力的影响等。

关于这些因素对疲劳极限影响的具体数据相关的经验公式，可查阅有关手册和资料。

这里主要讨论疲劳强度设计和疲劳寿命预测时需要了解的一些比较重要的影响规律或现象，以及必须或应该考虑到的注意事项。

一、缺口形状效应
零件或构件常常带有如轴肩类的台阶、螺栓孔和油孔、键槽等所谓的缺口。

如图2-1所示，它们的共同特点是零件的横截面积在缺口处发生了突变，而在这些缺口根部应力会急剧升高，这种现象叫做应力集中。

缺口处的应力集中是造成零部件疲劳强度大幅度下降的最主要的因素。

应力集中使得缺口根部的实际应力远大于名义应力，使该处产生疲劳裂纹，最终导致零件失效或破坏。

应力集中的程度用应力集中系数（又称理论应力集中系数）K t 来描述，表达式如下。

（14-9）
这里，σmax 为最大应力，σ0为载荷除以缺口处净截面积所的得平均应力，又称名义应力。

在一定范围内，缺口根部的曲率半径ρ越小，应力集中程度越大，疲劳强度降低的程度也就越大。

但是，对于低中碳钢等塑性材料，当缺口根部的曲率半径进一步减小甚至小于零点几个毫米时，疲劳强度的降低程度会变的越来越小甚至不再降低。

此时应力集中系数就无法真实地反映缺口对疲劳强度的影响。

因此常用疲劳缺口系数K f （fatigue notch factor ，过去又被称为有效应力集中系数）来更直接地反映疲劳强度的真实的降低程度。

（14-10）
这里，σw0，σw 分别为无缺口光滑试样和缺口试样的疲劳极限。

0σσmax =t K w wo f K σσ=
图14-4为钢的应力集中系数K t 与疲劳缺口系数K f 之间的关系。

由图可见，对于低中碳钢，在应力集中系数小于2～2.5时K t 与K f 基本相同，但当超过此数值时，K f 的增长速度明显
变慢。

而对于高碳钢等强度比较高的钢，
K f 随K t 线性递增的关系保持很长的范围。

由此可知，高强度钢的疲劳强度对缺口的敏感性高而低中强度钢的疲劳强度对缺口的敏感性较低。

一般情况下，K f ＜K t ，但对于高碳钢尖锐缺口，还有可能存在K t ＞K f 的现象。

对于螺栓类零件也存在这种现象，有时出现K t 为约4左右而K f 为8～10的情况。

这主要是因为每个螺纹所分担的载荷不均甚至载荷几种在某扣螺纹上所致。

对于光滑材料，通过表面淬火、表面渗碳、表面氮化等表面热处理可以有效地提高其疲劳强度。

但是对于缺口材料，这些方法可能变的没有效果甚至使疲劳强度反而降低。

这是因为通过热处理使其表面强度提高的同时，使缺口敏感性也变高的缘故。

图14-5为高强度钢和塑性较好的低强度钢的缺口材料的疲劳强度随应力集中程度的增加而变化的情况。

在应力集
中K t 较小的范围内，
高强度钢的疲劳强度明显比低强度钢的高。

但随着应力集中系数的增加，高强度钢的疲劳强度的降低速度明显大于低强度钢者，以致于高强度钢的疲劳强度与低强度钢的疲劳强度相差无几。

对于焊接构件，由于焊接热影响区在许多情况下恰好处于结构性缺口部位或在其附近，加之焊接缺陷、焊接残余拉应力的作用等，使得疲劳强度可能大幅下降几倍甚至十几倍。

疲劳缺口系数还受零部件尺寸大小的影响，一般地在具有相同缺口的情况下，随着尺寸的增大其疲劳缺口系数也有所增大。

因此对于缺口材料或带有缺口的零部件，为了提高其疲劳寿命，最有效的方法是合理地
応力集中系数K t 图14-4
钢的应力集中系数K t 与疲劳缺口系数K σ的关系
疲劳缺口系数K f
图14-5 缺口材料的疲劳强度随应力集中程度的变化
进行结构设计和工艺选择等手段来设法降低或改进它的应力集中情况。

而一味地选用高强度钢材，未必能够达到目的，相反在表面较粗糙和尺寸较大的情况下有可能反而使构件的疲劳强度下降。

二、零件尺寸效应
用于疲劳试验的式样的直径一般都在5～10mm 的范围内，这和实际零部件的尺寸有很大的差异。

一般地，对于弯曲和扭转载荷下的零件，随着尺寸的增大疲劳强度降低。

但是对于轴向拉伸和压缩载荷的情况，尺寸大小的影响不大。

尺寸对疲劳极限影响的大小用尺寸影响系数ε来表示。

（14-11）
这里，σd ，σd0分别为任意尺寸和标准尺寸光滑试样的疲劳极限。

高强度钢的尺寸效应比低强度钢的尺寸效应大，表面粗糙的零件的尺寸效应较大。

尺寸效应的产生主要是因为较大尺寸的材料的组织状态和应力梯度对疲劳强度产生了影响。

材料的尺寸越大制造工艺过程越难控制，材料组织的致密性和均匀性等越差、冶金缺陷越多，表面积越大这些缺陷的数量也越多，因此大尺寸试样表面产生疲劳、裂纹的机会也就越大。

而这些从根本上来说又都可以归结为冶金缺陷造成了局部应力集中而导致了疲劳裂纹的产生。

关于应力梯度的影响，在承受弯曲、扭转等载荷的情况下，零件的尺寸越大工作应力的梯度越小，单位面积内的平均应力就越高，疲劳裂纹越易产生。

三、表面状况的影响 表面状况包括表面粗糙度、表面应力状态、表面塑性变形程度和表面缺陷等因素。

在试0d d σσε=
应力集中系数K t
疲劳缺口系数K
验中采用的是表面磨光（或抛光）的标准试样，但实际的零部件的表面则往往是机械加工表面锻造表面和铸造表面。

机械加工会在零件表面产生塑性加工硬化。

切削加工往往会在零件表面产生一定的残余压应力，这对疲劳强度是有利的但效果有限。

但是在磨削时往往会产生对疲劳强度不利的残余拉应力。

另一方面，机械加工表面的显微尺度上的凸凹不平引会起应力集中而使疲劳强度降低。

这些因素综合作用的结果，使疲劳强度比标准试样的要降低一些。

而锻造或铸造表面一般具有更高的表面粗糙度，且部存在表面加工硬化层和表面残余压应力，因此会更加明显地降低疲劳强度。

因此从形式上看，越是粗糙的表面加工方法，对疲劳强度的降低影响就越大。

表面加工状况对疲劳强度的影响用表面加工系数β来表示。

（14-12）
这里，
σβ为某种表面状态下标准光滑试样的疲劳极限，σβ0为磨光标准光滑试样的疲劳极限，国外为表面磨光的标准光滑试样。

从冶金角度看，粗加工对高强度材料的疲劳强度的影响更大，以至于在粗加工状态下高强度钢可能起不到丝毫的提高疲劳强度的作用。

这主要是因为高强度材料对粗糙表面的缺口敏感性高的缘故，加之机械加工对于高强度钢的表面的加工硬化作用也很小。

关于表面脱碳、表面碰磕伤痕和划伤等表面缺陷等对疲劳强度的影响的研究较少，但这些偶然原因造成的表面缺陷会对疲劳强度造成很大的影响。

因此，在设计尤其是制造过程中需要给予足够的重视。

对于光滑材料，表面热处理等表面改性方法可以提高疲劳强度，但对于实际零部件等带有缺口的材料，这些方法都效果不大，甚至产生相反的作用。

因此多用喷丸、辊压的方法使表面产生加工硬化和残余压应力，从而提高构件的疲劳强度，但是这两种方法一般对孔口类缺口的零件的疲劳强度的提高作用并不明显。

最新的研究表明，用简单的金属模具对孔口边缘进行少量倒角从而使缺口部位残生局部塑性变形的方法，对疲劳强度有明显的提高，甚至可以完全消除缺口降低疲劳极限的影响。

过去大多认为，表面塑性加工的方法提高疲劳强度的主要原因是在表面产生了残余压应力从而抵消了部分工作应力的缘故。

实际上是残余压应力在缺口部位产生的压缩集中应力抵消了缺口的不利影响；塑性变形使得缺口附近组织中的微小薄弱区域得到强化，使组织性能变的更加均匀一致，整体强度得到提高，从而使产生疲劳裂纹的应力水平得到提高。

同时，残余压应力还使疲劳裂纹扩展停止而成为停留裂纹。

四、平均应力的影响
如前所述，产生疲劳破坏的根本原因是动应力分量，但静应力分量即平均应力对疲劳极限也有一定的影响。

在一定的静应力范围内，压缩的静应力提高疲劳极限，拉伸的静应力降低疲劳极限。

一般认为，残余应力对疲劳极限的作用同平均应力的作用相同。

对一种材料， 可根据它在各种平均应力或应力比R 下的疲劳极限结果画出疲劳极限图。

图14-6的横坐标为平均应力σm （或残余应力）和强度极限σb 的比值，纵坐标为应力
0ββσσβ=
图14-6 钢在107次循环寿命下的疲劳极限线图
幅σa 和对称循环疲劳极限σ-1的比值，两者都是无量纲的量。

从图中可以看出，多数试验数据点落在直线与曲线之间。

这条直线称为古德曼(Goodman)线，见式(14-13)；曲线就是杰柏(Gerber)抛物线，见式(14-14)；用屈服极限σs 代替σb 得到索德柏格(Soderberg)线，见式(14-15)；用断裂真应力σf 代替σb ，得到摩儒(Morrow)线，见式(14-16)。

Goodman 线 （14-13） Gerbe 线 （14-14） Sodeberrg 线 （14-15） Morrow 线 （14-16）
古德曼(Goodman)线对于延性金属略偏保守且简单方便，在疲劳设计中应用最广。

常用的还有另一种叫做理想的改进Goodman 图。

图14-7为工字形型钢对接梁弯曲疲劳载荷下理想的改进Goodman 图。

横坐标表示最小应力σmin ，纵坐标表示最大应力σmax ，其直线方程式为
（14-17）
式中，m 是Goodman 线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距，它是最小应力等于零时即脉动循环的疲劳极限。

疲劳极限用最大应力表示时，即σw =σmax ，考虑到应力比R =σmax /σmin ，由式（14-6）有
)(b m a σσσσ-=-11])([211b m a σσσσ-=-　)(s m a σσσσ-=-11)(f m a σσσσ-=-11b m +=min max
σσ
图14-7 理想的改进Goodman 图
（14-18）
由式(14-18)即可求出应力比为R 时的疲劳极限。

实际车辆的具体结构要远比获得S-N 曲线时的试验条件复杂，例如焊接形式及应力集中等等，美国AAR 标准为我们提供了许多典型焊接结构疲劳强度方面的有价值的参考，所以，实际计算中的b 与m 均取自于AAR 标准。

试验研究表明，静载分量对应力集中系数、尺寸系数、表面系数的影响较小，可以忽略。

第四节 疲劳强度设计
通过设计计算来预测构件或零件的疲劳强度和疲劳寿命，是多少年来无数学者和工程技术人员孜孜以求的目标。

但是至今还没能够形成一种对实际工程适用的、比较准确的疲劳强度和寿命的计算方法。

这是因为，研究对象在结构上的千变万化、加工制造工艺及其质量的不稳定性、材料组织性能不稳定性和内部及表面缺陷的不确定性、外部载荷的复杂和随几性以及结构的动态响应问题等等，诸如这些因素很难归纳成为一个统一的物理或数学模型。

因此至今关于疲劳强度的计算都有一定的误差存在甚至误差很。

即使计算结果是比较准确的，其结果也具有统计性，而不是针对每一个零部件而言。

对于新产品的开发，应至少对于某些重要零部件等，同时进行试验研究和试验验证。

如果受试验条件等的限制，可以根据零部件的特点进行合理简化来进行模拟性试验，这也是非常有用的。

诸多纷杂的因素中，对于疲劳强度危害最大的是应力集中。

因此，从设计和制造的过程来看，危害最大的第一是结构的不合理性；第二是工艺缺陷如焊接缺陷、机械加工缺陷、材料内部缺陷，还包括偶然因素造成的表面伤痕等等；第三是材料的选择。

因此如果为提高疲劳强度，在设计和制造过程中最重要的就是降低应力集中。

对于实际零部件还需要注意的是，因为其往往带有形状缺口，所以未必选择高强度钢就可提高其疲劳强度。

到目前为止，疲劳强度的设计实质上还是基于大量试验结果的估算。

近年来已经出现了有关疲劳强度设计的专用软件，使得这项工作的效率更高和更易趋于合理准确，但对于它的mR b w -=1σ。