找等量关系式的四种方法

找等量关系式的四种方法
１、根据题目中的关键句找等量关系;
应用题中反映等量关系的句子,如“合唱队的人数比舞蹈队的３倍多１５人”、“桃树和杏树一共有１８０棵”这样的句子叫做应用题的关键句;在列方程解应用题时,同学们可以根据关键句来找等量关系;
２、用常见数量关系式作等量关系;
我们已学过了如“工效×工时＝工作总量”、“速度×时间＝路程”、“单价×数量＝总价”、“单产量×数量＝总产量”等常见数量关系式,可以把这些常见数量关系式作为等量关系式来列方程;
３、把公式作为等量关系;
在解答一些几何形体的应用题时,我们可以把有关的公式作为等量关系;
４、画出线段图找等量关系
对于数量关系比较复杂,等量关系不够明显的应用题我们可以先画出线段图,再根据线段图找出等量关系;
例如：东乡农场计划耕6420公顷耕地,已经耕了５天,平均每天耕780公顷,剩下的要３天耕完,平均每天要耕多少公顷
根据题意画出线段图：
从图中我们可以看出等量关系是：“已耕的公顷数＋剩下的公顷数＝6420”列出方程：
设：平均每天要耕Ｘ公顷
780×５＋３Ｘ＝6420
想一想：根据上面的线段图还可以找出哪些等量关系;
1．牢记计算公式,根据公式来找等量关系;
这种方法一般适用于几何应用题,教师要让学生牢记周长公式、面积公式、体积公式等,然后根据公式来解决问题;
2．熟记数量关系,根据数量关系找等量关系;
这种方法一般适用于工程问题、路程问题、价格问题,教师在教学这三类问题时,不但要让学生理解,还应让学生记熟“工作效率×工作时间=工作总量；速度×时间=路程；单价×件数=总价”等关系式;
如“汽车平均每小时行45千米,从甲地到乙地共225千米,汽车共需行多少小时”
就可以根据“速度×时间=路程”这一数量关系,列出方程45X=225;
3．抓住关键字词,根据字词的提示找等量关系;
这种方法一般适用于和差关系、倍数关系的应用题,在题中常有这样的提示：“一共有”、“比……多少”、“是……的几倍”、“比……的几倍多少”等;在解题时,可根据这些关键字词来找等量关系,按叙述的顺序列出方程;
如“四年级有学生250人,比三年级的2倍少70人,三年级有学生多少人”,根据题中“比……少”可知：三年级的2倍减去70人等于四年级的人数,从而列出方程2X－70=250;
4．找准单位“1”,根据“量率对应”找等量关系;
这种方法一般适用于分数应用题,有时也适用“倍比关系”应用题;对于分数应用题来说,每一个分率都对应着一个具体的量,而每一个具体的量也都对应着一个分率;在倍比关系的应用题中,也应找准标准量;因此,正确地确定“量率对应”是解题的关键;
5．补充缺省条件,根据句子意思找等量关系;
这类应用题的特征是含有“比……多少”、“比……增加减少”等特定词,如：甲比乙多“几分之几”、少“几分之几”、增加“几分之几”、减少“几分之几”等类型的语句,题目中由于常缺少主语,造成学生理解上的困难;因此,教师在平时一定要强调让学生说“谁与谁比”、“以谁为标准”等,在缺少主语的情况下,让学生先把主语补充完整;
如“小明第一天看书60页,比第二天少看 ,第二天看了多少页”一题中,就缺少了“第一天”这个主语,通过读题、析题,要让学生明白“这里的少的 是指第二天的 ”,于是可列方程X － X=60;
6．利用好线段图,根据线段图找等量关系;
有些应用题光从字面上来看,不容易理解,有时教师可辅以线段图帮助学生理解;当然,如果学生会画线段图,题目往往很容易解开;画线段图的关键仍是找准谁是单位“1”,其它量都是与单位“1”相比较而言的;而理解单位“1”,又往往可以从“比”、“是”等词语后面找到,也即“比”、“是”后面的量通常是标准量,是单位“1”;
以上所举只是一些比较简单的应用题,如果遇到较复杂的应用题,还要采取灵活的方法,如“抓住不变量解”、“换一种说法解”、“根据题意逐步解”、“逆向思考推导解”等等,这些都要求学生在解决具体问题时,采取不同的方法,以求顺利解答;当然,这里更离不开教师平时的引导与启迪;
方程组是解决实际问题的一个有效数学模型.列方程组的关键是挖掘出隐含在题目中的等量关系.寻找等量关系有三种常用方法：译式法、列表法和图示法.解题时有意识的学习使用这些方法,可以有效的帮助我们分解难点,寻找出等量关系,进而列出方程组求解.
一、译式法
例1 4辆小卡车和5辆大卡车共27吨；6辆小卡车和10辆大卡车共运货51吨.问小卡车和大卡车每辆每次各运多少吨
分析：本题等量关系比较明显,只需要直接按照题意把日常用语译成代数语言即可.设小卡车和大卡车每辆每次分别运x 、y 吨.则“4辆小卡车和5辆大卡车共27吨”可翻译成数学式子：2754=+y x ；“6辆小卡车和10辆大卡车共运货51吨” 可翻译成数学式子：51106=+y x .由这两个式子组合列出二元一次方程组即可求解.
评注: 对实际问题不要产生畏惧心理,不要想一口吃个“胖子”,要一步一步走下去,首先,要多看几遍题目,审清题意,先列出“文字”等量关系,然后用代数式逐步替换,当代数式把“文字”替换完了,方程组也就列出来了.这种将关键词语译成代数式列方程组解决实际问题的方法称为“译式法”.译式法使用非常普遍,对于大多数基础题目较为有效.
二、列表法
例3 某日小伟和爸爸在超市买12袋牛奶24个面包花了64元.第二天他们又去超市时,发现牛奶和面包均打八折,这次他们花了60元却比上次多买了4袋奶3个面包.求打折前牛奶和面包的单价
并根据上表可得方程组⎩⎨⎧=⨯+⨯=+60
8.0278.016642412y x y x
解：略.
评注：列表法是指将题目中数量及其关系填在表格内,再据此逐层分析,找到各量之间的内在相等关系,列出方程组的方法.列表时分类整理排列,条理清晰,优点明显.尤其对于题目较为复杂,等量关系较为隐蔽的题目效果较好.
三、图示法
例4 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步.相向而行,每隔2分二人相遇一次；同向而行,每隔6分相遇一次,已知甲比乙跑得快,求甲乙每分各跑多少圈
分析：根据题意可以分别画出甲、乙相向而行、同
向而行时的示意图如图1和图2 如果设甲每分钟跑x 圈,乙每分钟跑y 圈,根据图1可得12x 2=+y ；根据图2可得166=-y x .
评注：图示法是指将条件及它们之间的内在联系用简单明了的示意图表示出来,然后据图找等量关系列方程组的方法.图示法直观、明了,是解决行程等问题的常用方法.
评注: 对于较为复杂的题目,可把三种方法结合使用.这三种方法在突破等量关系这一难点问题上,体现的是分步、分层、分散的转化思想,不论容易题、难题,都非常适用.同学们开始接触这些方法时可能觉得有些繁琐,如果有意识加强这方面的训练,形成习惯,自然会省时省力,这类问题也就会迎刃而解了.
1.把日常的语言翻译成代数的语言,而代数的语言就是方程,即可得等量关系式;
例如,商店原来有一些饺子粉,每袋5千克,卖出7袋以后,还剩40千克;这个商店原来有多少千克饺子粉
日常语言：原有的重量减去每袋的重量乘以卖出的袋数等于剩下的重量;
代数的语言：χ-5×7=40这里的χ表示原有的重量;
又如,望岳小学买来2个足球和25根跳绳,共用元;每个足球的售价元,每根跳绳的售价是多少元
日常语言：买2个足球的钱加上买25根跳绳的钱等于共用去的钱
代数语言：×2+25χ=这里χ表示每根跳绳的售价;
2.掌握常见的基本数量关系,建立等量关系式;
根据“行程问题”基本数量关系式：
速度×时间=路程
根据“工作问题”基本数量关系式：
工作效率×工作时间=工作总量
3.根据题中关键性词语来理解数量关系从中得到等量关系式;
例如,一个花坛里有3行芍药花,每行5棵;另一个花坛里有3
行牡丹花,芍药花比牡丹花少9棵,牡丹花每行多少棵
根据题中“芍药花比牡丹花少9棵”的关键性词语“比”、“少”,就可以列出：
3χ-5×3=9χ表示每行牡丹花的棵数
4.利用线段图的直观性,从图中发现等量关系;
例如,某农具厂计划生产新式农具144件,现在已经生产了19件,其余的要在4天内完成,平均每天应当生产多少件
19件 χ χ χ χ
┕━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┛
144件
从图中很容易看出：
19+4χ=144;
5.根据一些定义、公式,列出等量关系式;
例如,李家营建造一个养鸡场,用110米长的篱笆围成一个长方形场地;如果长是37米,宽应该是多少米
根据长方形的周长公式,得：
37+χ×2=110这里的χ表示长方形的宽
★方程指的是“含有未知数的等式”;
图1 图2 6x 6y
相向 同向
☆列方程就是要根据题目的意思,设好相关的未知数之后,写出一个含有未知数的等式出来;
则列方程解应用题的关键是——找出
．．．,找出了相等的关系,方程也就可以列出来了．找等
．．相．等关系
量关系常见方式有：
一、抓住数学术语找等量关系
一般和差关系或倍数关系,常用“一共有”、“比……多”、“比……少”、“是……的几倍”、“是……的几分之一”等术语表示．在解题时可抓住这些术语去找等量关系,按叙述顺序来列方程; 习题：1.某数的三分之一比这个数小1,求这个数;
二、根据常见的数量关系找等量关系
最常见的数量关系：
1.速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度
2.单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价
★关于打折的问题：打几折=原价×百分之几十
3.工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率
4.增长后的量=原量1+增长率降低后的量=原量1-降低率
习题：1.已知皮划艇500米最好成绩是分钟,求平均速度
三、根据常用的计算公式找等量关系
最常用的计算公式有：
1.正方形周长＝边长×4 正方形面积=边长×边长=边长2
2.长方形周长=长+宽×2 长方形面积=长×宽
3.三角形面积=底×高÷2 梯形面积=上底+下底×高÷2
4. 圆形周长=π×直径=2π×半径圆形面积=π×半径2
习题：1.长方形的周长为60米,已知长是宽的倍,求它的面积;
四、理解文字找等量关系;
习题：1.一班有48人,在某一次捐款活动中,男生平均每人捐款5元,女生平均每人捐款8元,全班一共捐款285元;问男生有多少人
五、画图分析找等量关系
根据题意画出图形分析图或者是表格分析图,从中找出相关等量列方程;
习题：1.某农场有400公顷小麦,前三天每天收割70公顷小麦,剩下的要在2天内收割完,平均每天要收割小麦多少公顷。