(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.
二阶常系数线性微分方程的解法.ppt
设 y2 / y1 u( x) , 即 y2 u( x)e1x ,
代入方程(2),并约去 e1x ,得
u (21 a)u (12 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
故有 12 a1 b 0 , 21 a 0 ,
u 0 , 取特解 u x , 即得 y2 x e1x ,
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x)erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
称为二阶常系数齐次线性微分方程。
1
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 y C1e x C2e3x 例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解 特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,
故所求通解为 y e x (C1 cos 2x C2 sin2x)
9
例3
求微分
方
程
d2 dt
s
2
2
ds dt
而 ex 0 ,于是有
2 a b 0 (3)
代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第四节 二阶常系数线性微分圆程之阳早格格创做一、二阶常系数线形微分圆程的观念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)p 、q 均为真数,)(x f 为已知的连绝函数.如果0)(≡x f ,则圆程式 (1)形成0=+'+''qy y p y (2)咱们把圆程(2)喊干二阶常系数齐次线性圆程,把圆程式(1)喊干二阶常系数非齐次线性圆程. 本节咱们将计划其解法.二、二阶常系数齐次线性微分圆程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的二个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任性常数.道明 果为1y 与2y 是圆程(2)的解,所以有 将2211y C y C y +=代进圆程(2)的左边,得=0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是圆程(2)的解.定理1道明齐次线性圆程的解具备叠加性. 叠加起去的解从形式瞅含有21,C C 二个任性常数,但是它纷歧定是圆程式(2)的通解.2.线性相闭、线性无闭的观念设,,,,21n y y y 为定义正在区间I 内的n 个函数,若存留没有齐为整的常数,,,,21n k k k 使恰当正在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称那n 个函数正在区间I 内线性相闭,可则称线性无闭.比圆 x x 22sin ,cos ,1正在真数范畴内是线性相闭的,果为又如2,,1x x 正在所有区间(a,b)内是线性无闭的,果为正在该区间内要使必须0321===k k k .对于二个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相闭,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无闭. 3.二阶常系数齐次微分圆程的解法定理2 如果1y 与2y 是圆程式(2)的二个线性无闭的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任性常数)是圆程式(2)的通解.比圆,0=+''y y 是二阶齐次线性圆程,x y x y cos ,sin 21==是它的二个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无闭, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= (21,C C 是任性常数)是圆程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)战它的各阶导数皆只好一个常数果子, 根据指数函数的那个特性,咱们用rx e y =去试着瞅是可采用适合的常数r ,使rx e y =谦脚圆程(2).将rx e y =供导,得把y y y ''',,代进圆程(2),得果为0≠rx e , 所以惟有 02=++q pr r (3)只消r 谦脚圆程式(3),rx e y =便是圆程式(2)的解.咱们把圆程式(3)喊干圆程式(2)的特性圆程,特性圆程是一个代数圆程,其中r r ,2的系数及常数项恰佳依次是圆程(2)y y y ,,'''的系数.特性圆程(3)的二个根为 2422,1q p p r -±-=, 果此圆程式(2)的通解有下列三种分歧的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是二个没有相等的真根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= xr x r e y e y 2121,==是圆程(2)的二个特解,而且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y ,得圆程(2)的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是二个相等的真根.221pr r -==,那时只可得到圆程(2)的一个特解x r e y 11=,还需要出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代进圆程(2), 得 整治,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 果为1r 是特性圆程(3)的二沉根, 所以进而有 0=''u果为咱们只需一个没有为常数的解,无妨与x u =,可得到圆程(2)的另一个解x r xe y 12=.那么,圆程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特性圆程(3)有一对于共轭复根βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧推公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 21,y y 之间成共轭闭系,与-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, 圆程(2)的解具备叠加性,所以-1y ,-2y 仍旧圆程(2)的解,而且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以圆程(2)的通解为综上所述,供二阶常系数线性齐次圆程通解的步调如下:(1)写出圆程(2)的特性圆程(2)供特性圆程的二个根21,r r(3)根据21,r r 的分歧情形,按下表写出圆程(2)的通解.例1供圆程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给圆程的特性圆程为所供通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 供圆程0222=++S dt dS dt S d 谦脚初初条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给圆程的特性圆程为通解为 t e t C C S -+=)(21将初初条件40==t S 代进,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对于其供导得将初初条件20-='=t S 代进上式,得所供特解为例3供圆程032=-'+''y y y 的通解.解 所给圆程的特性圆程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以本圆程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次圆程的解法1.解的结构定理3 设*y 是圆程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对于应的齐次圆程式(2)的通解,则*+=y Y y 是圆程式(1)的通解.道明 把*+=y Y y 代进圆程(1)的左端:=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使圆程(1)的二端恒等,所以*+=y Y y 是圆程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性圆程(1)的左端)(x f 是几个函数之战,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+''(4)而*1y 与*2y 分别是圆程 )(1x f qy y p y =+'+''与)(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 便是圆程(4)的特解, 非齐次线性圆程(1)的特解偶尔可用上述定理去助闲供出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是闭于x 的一个m 次多项式.圆程(1)的左端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为共一典型函数,果此圆程(1)的特解大概为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数. 把 x e x Q y λ)(=*代进圆程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ(5) 以下分三种分歧的情形,分别计划函数)(x Q 的决定要领:(1) 若λ没有是圆程式(2)的特性圆程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的二端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代进(5)式,并比较二端闭于x 共次幂的系数,便得到闭于已知数m b b b ,,,10 的1+m ),,1,0(m i b i =.进而得到所供圆程的特解为(2) 假如λ特性圆程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)创造, 则)(x Q '必须假如m 次多项式函数,于是令用共样的要领去决定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 假如λ特性圆程02=++q pr r 的沉根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式创造,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令用共样的要领去决定)(x Q m 的系数.综上所述,若圆程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 共次多项式,k 按λ没有是特性圆程的根,是特性圆程的单根或者是特性圆程的沉根依次与0,1或者2.例4 供圆程x e y y 232-='+''的一个特解.解)(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对于应齐次圆程的特性圆程为 022=+r r ,特性根根为2,021-==r r .λ=-2是特性圆程的单根, 令x e xb y 20-=*,代进本圆程解得故所供特解为 x xe y 223--=* . 例5 供圆程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先供对于应齐次圆程02=+'-''y y y 的通解. 特性圆程为 0122=+-r r , 121==r r齐次圆程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再供所给圆程的特解由于1=λ是特性圆程的二沉根,所以把它代进所给圆程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=* 所给圆程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,圆程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+''(7)那种典型的三角函数的导数,仍属共一典型,果此圆程式(7)的特解*y 也应属共一典型,不妨道明式(7)的特解形式为其中b a ,为待定常数.k 为一个整数. 当ω±i 没有是特性圆程02=++q pr r 的根,k 与0; 当ω±i 没有是特性圆程02=++q pr r 的根,k 与1; 例6 供圆程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=没有是特性圆程为0322=-+r r 的根，0=k .果此本圆程的特解形式为 于是 x b x a y cos sin +-=*'将*''*'*y y y ,,代进本圆程，得解得 54,52-=-=b a本圆程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 供圆程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解先供对于应的齐次圆程的通解Y .对于应的齐次圆程的特性圆程为再供非齐次圆程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别供出圆程对于应的左端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是本圆程的一个特解. 由于1=λ,ω±i i ±=均没有是特性圆程的根,故特解为代进本圆程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给圆程的一个特解为 所以所供圆程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
2.2二阶常系数线性微分方程的解法
= Pm ( x)e αx ( 其中 pm ( x )是 x 的 m 次多项式 ) 1. f ( x)
这时方程② 这时方程②为 ay ′′ + by ′ + cy = Pm ( x )eαx 方程
可以设 y ∗ = Q( x )eαx ( 其中 Q( x ) 是多项式 ) 。
③
将 y = Q( x )e ， y
10
2.2
二阶常系数线性微分方程的解法
特征方程的根
方程的通解中对应的项
给出一项 Ce
rx
单实根 r
k 重实根 r
一对单复根
r1, 2 = α ± iβ
给出 k 项 e rx (C 1 + C 2 x + L + C k x k −1 )
给出两项 eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
ay′′ + by′ + cy = 0 ，
①
猜想方程① 形式的解， 猜想方程① 具有 y = e rx 形式的解， 其中 r 为待定常数 ，
′ = re rx ， y′′ = r 2 e rx ， y = e rx 代入方程①， 代入方程① 将y
e rx ≠ 0 ， 故有 得 e (ar + br + c ) = 0 ， 但
y
∗
∗
αx
∗
′
= e α x [ Q ′ ( x ) + α Q ( x )] ，
″
= eαx [Q′′( x ) + 2αQ′( x ) + α 2Q( x )] ，
代入③ 代入③后并 约去 eαx ， 得：
aQ′′( x ) + ( 2aα + b)Q′( x ) + (aα 2 + bα + c )Q( x ) = Pm ( x )
二阶常微分方程解
第七节 二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解.本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型,即二阶常系数线性微分方程及其求解方法.先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法.§ 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝0 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程的通解,只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了,下面讨论这样两个特解的求法.我们先分析方程可能具有什么形式的特解,从方程的形式上来看,它的特点是22dx y d ,dx dy,y 各乘以常数因子后相加等于零,如果能找到一个函数y,其22dx y d ,dxdy ,y 之间只相差一个常数因子,这样的函数有可能是方程的特解,在初等函数中,指数函数e rx,符合上述要求,于是我们令y ＝e rx其中r 为待定常数来试解将y ＝e rx,dxdy＝re rx,22dx y d ＝r 2e rx代入方程得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx＝0或 e rxr 2＋pr ＋q ＝0因为e rx≠0,故得r 2＋pr ＋q ＝0由此可见,若r 是二次方程r 2＋pr ＋q ＝0的根,那么e rx 就是方程的特解,于是方程的求解问题,就转化为求代数方程的根问题.称式为微分方程的特征方程.特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程.特征方程的两个根r １,r 2,称为特征根,由代数知识,特征根r 1,r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论.1若特证方程有两个不相等的实根r １,r 2,此时e r １x ,e r2x 是方程的两个特解.因为 x r xr 21e e ＝e x)r r (21-≠常数所以e r1x ,e r2x 为线性无关函数,由解的结构定理知,方程的通解为y ＝C 1e r1x ＋C 2e r2x2若特征方程有两个相等的实根r 1＝r 2,此时p 2－4q ＝0,即有r 1＝r 2＝2p-,这样只能得到方程的一个特解y １＝e r １x,因此,我们还要设法找出另一个满足12y y ≠常数,的特解y 2,故12y y 应是x 的某个函数,设12y y ＝u,其中u ＝ux 为待定函数,即 y 2＝uy 1＝ue r １x对y 2求一阶,二阶导数得dx dy 2＝dxdu e r1x＋r １ue r1x＝dx du ＋r 1uer1x 222dx y d ＝r 2１u ＋2r 1dx du ＋22dx ud e r1x将它们代入方程得r 21u ＋２r 1dx du ＋22dxu d e r1x＋p dxdu ＋r 1uer1x＋que r1x ＝0或22dx u d ＋2r 1＋p dxdu＋r ２１＋pr 1＋que r1x ＝0因为e r1x ≠0,且因r 1是特征方程的根,故有r ２１＋pr １＋q ＝0,又因r 1＝－2p故有2r 1＋p ＝0,于是上式成为 22dxu d ＝0 显然满足22dxud ＝0的函数很多,我们取其中最简单的一个 ux ＝x则y 2＝xe rx 是方程的另一个特解,且y 1,y 2是两个线性无关的函数,所以方程的通解是y ＝C 1e r1x ＋C 2xe r1x ＝C 1＋C 2xe r1x3若特征方程有一对共轭复根 r 1＝α＋i β,r 2＝α－i β此时方程有两个特解y 1＝eα＋i βxy 2＝eα－i βx则通解为y ＝C 1e α＋i βx ＋C 2e α－i βx其中C 1,C 2为任意常数,但是这种复数形式的解,在应用上不方便.在实际问题中,常常需要实数形式的通解,为此利用欧拉公式e ix ＝cosx ＋isinx,e －ix ＝cosx －isinx有 21e ix＋e －ix＝cosxi 21e ix－e －ix＝sinx21 y 1＋y ２＝21e αxe i βx＋e －i βx＝e αxcos βxi 21 y 1－y 2＝i21e αxe i βx－e －i βx＝e αxsin βx由上节定理一知,21 y 1＋y 2,i21y 1－y 2是方程的两个特解,也即eαxcosβx,e αx sin βx 是方程的两个特解：且它们线性无关,由上节定理二知,方程的通解为y ＝C 1e αx cos βx ＋C 2e αx sin βx或 y ＝e αx C 1cos βx ＋C 2sin βx其中C 1,C 2为任意常数,至此我们已找到了实数形式的通解,其中α,β分别是特征方程复数根的实部和虚部.综上所述,求二阶常系数线性齐次方程的通解,只须先求出其特征方程的根,再根据他的三种情况确定其通解,现列表如下特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的根微分方程22dx y d ＋p dx dy＋qy ＝0的通解有二个不相等的实根r 1,r 2y ＝C 1e r1x＋C 2e r2x有二重根r 1＝r 2y ＝C 1＋C 2xe r1x有一对共轭复根β-α=β+α=i r i r 21y ＝e αx C 1cos βx ＋C 2sin βx例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解1 22dx y d ＋3dx dy－１０y ＝0 2 22dx y d －4dx dy ＋4y ＝0 3 22dx y d ＋4dxdy ＋7y ＝0 解 1特征方程r 2＋3r －10＝0有两个不相等的实根r 1＝－5,r 2＝2所求方程的通解 y ＝C 1e －5r＋C 2e 2x2特征方程r 2－4r ＋4＝0,有两重根 r 1＝r 2＝2所求方程的通解y ＝C 1＋C 2xe 2x3特征方程r 2＋4r ＋7＝0有一对共轭复根r 1＝－2＋3i r 2＝－2－3i所求方程的通解 y ＝e －2x C 1cos3x ＋C 2sin 3x§ 二阶常系数线性非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知,求二阶常系数线性非齐次方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝fx 的通解,只要先求出其对应的齐次方程的通解,再求出其一个特解,而后相加就得到非齐次方程的通解,而且对应的齐次方程的通解的解法,前面已经解决,因此下面要解决的问题是求方程的一个特解.方程的特解形式,与方程右边的fx 有关,这里只就fx 的两种常见的形式进行讨论.一、fx ＝p n xe αx ,其中p n x 是n 次多项式,我们先讨论当α＝0时,即当fx ＝p n x 时方程22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝p nx 的一个特解.1如果q ≠0,我们总可以求得一n 次多项式满足此方程,事实上,可设特解~y ＝Q nx ＝a 0x n＋a 1xn －1＋…＋a n,其中a 0,a 1,…a n 是待定常数,将~y 及其导数代入方程,得方程左右两边都是n 次多项式,比较两边x 的同次幂系数,就可确定常数a 0,a 1,…a n .例1. 求22dx y d ＋dxdy＋2y ＝x 2－3的一个特解. 解 自由项fx ＝x 2－3是一个二次多项式,又q ＝2≠0,则可设方程的特解为~y ＝a 0x 2＋a 1x ＋a 2求导数~'y ＝2a 0x ＋a1~"y ＝2a代入方程有2a 0x 2＋2a 0＋2a 1x ＋2a 0＋a 1＋2a ２＝x 2－3比较同次幂系数⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=3a 2a a 20a 2a 21a 2210100 解得 47a 21a 21a 210-=-==所以特解~y ＝21x 2－21x －472如果q ＝0,而p ≠0,由于多项式求导一次,其次数要降低一次,此时~y ＝Q n x 不能满足方程,但它可以被一个n ＋1次多项式所满足,此时我们可设~y ＝xQ n x ＝a 0x n ＋1＋a 1x n ＋…＋a n x代入方程,比较两边系数,就可确定常数a 0,a 1,…a n .例2. 求方程22dx y d ＋4dxdy＝3x 2＋2的一个特解. 解 自由项 fx ＝3x 2＋2是一个二次多项式,又q ＝0,p ＝４≠0,故设特解~y ＝a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x求导数~'y ＝3a 0x 2＋2a 1x ＋a2~"y ＝6a 0x ＋2a1代入方程得12a 0x 2＋8a 1＋6a 0x ＋２a 1＋4a 2＝3x 2＋2,比较两边同次幂的系数⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=2a 4a 20a 6a 83a 1221010 解得 3219a 163a 41a 210=-==所求方程的特解 ~y ＝41x 3－163x 2＋3219x3如果p ＝0,q ＝0,则方程变为22dxyd ＝p nx,此时特解是一个n ＋2次多项式,可设~y ＝x 2Q nx,代入方程求得,也可直接通过两次积分求得.下面讨论当α≠0时,即当fx ＝p n xe αx 时方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝p nxe αx的一个特解的求法,方程与方程相比,只是其自由项中多了一个指数函数因子e αx ,如果能通过变量代换将因子e αx 去掉,使得化成式的形式,问题即可解决,为此设y ＝ue αx ,其中u ＝ux 是待定函数,对y ＝ue αx ,求导得dx dy ＝e αxdxdu＋αue αx 求二阶导数 22dx y d ＝e αx22dx u d ＋2αe αxdxdu＋α2ue αx代入方程得e αx22dx u d ＋2αdx du ＋α2u ＋pe αxdx du ＋αu ＋que αx＝p n xeαx消去e αx得22dx u d ＋2α＋p dxdu ＋α2＋p α＋qu ＝p nx 由于式与形式一致,于是按的结论有：1如果α2＋p α＋q ≠0,即α不是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的根,则可设的特解u ＝Ｑn x,从而可设的特解为~y ＝Q n xe αx2如果α2＋p α＋q ＝0,而２α＋p ≠0,即α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的单根,则可设的特解u ＝xQ n x,从而可设的特解为~y ＝xQ n xe αx3如果r 2＋p α＋q ＝0,且２α＋p ＝0,此时α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的重根,则可设的特解u ＝x 2Q n x,从而可设的特解为~y ＝x 2Q n xe αx例3. 求下列方程具有什么样形式的特解122dx y d ＋5dx dy ＋6y ＝e 3x 2 22dx y d ＋5dx dy ＋6y ＝3xe －2x 3 22dx y d ＋αdxdy ＋y ＝－3x 2＋1e －x解 1因α＝3不是特征方程r 2＋5r ＋6＝0的根,故方程具有形如~y ＝a 0e3x 的特解.2因α＝－2是特征方程r 2＋5r ＋6＝0的单根,故方程具有形如~y ＝xa 0x ＋a 1e －2x的特解.3因α＝－1是特征方程r 2＋2r ＋1＝0的二重根,所以方程具有形如~y ＝x 2a 0x 2＋a 1x ＋a ２e －x的特解.例4. 求方程22dxyd ＋y ＝x －2e 3x的通解.解 特征方程 r ２＋1＝0特征根 r ＝±i 得,对应的齐次方程22dxyd ＋y ＝0的通解为 Y ＝C 1cos x ＋C ２sin x由于α＝3不是特征方程的根,又p n x ＝x －2为一次多项式,令原方程的特解为~y ＝a 0x ＋a 1e 3x此时u ＝a 0x ＋a 1,α＝3,p ＝0,q ＝1,求ux 的导数dxdu ＝a 0,22dx u d ＝0,代入22dx u d ＋２α＋p dxdu＋α2＋αp ＋qu ＝x －2得： 10a 0x ＋10a 1＋6a 0＝x －2比较两边x 的同次幂的系数有⎩⎨⎧-=+=2a 6a 101a 10010 解得 a 0＝101,a 1＝－5013于是,得到原方程的一个特解为~y ＝101x －5013e3x所以原方程的通解是y ＝Y ＋~y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋101x －5013e 3x例5. 求方程22dx y d －2dxdy－3y ＝x ２＋1e －x的通解. 解 特征方程 r 2－2r －3＝0特征根 r 1＝－1,r 2＝3所以原方程对应的齐次方程22dx y d －2dxdy－3y ＝0的通解Y ＝C 1e －x ＋C 2e 3x ,由于α＝－1是特征方程的单根,又p n x ＝x 2＋1为二次多项式,令原方程的特解~y ＝xa 0x 2＋a 1x ＋a 2e －x此时 u ＝a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x,α＝－1,p ＝－2,q ＝－3对ux 求导dx du＝3a 0x 2＋2a 1x ＋a 222dx ud ＝6a 0x ＋2a 1代入22dx u d ＋2α＋p dxdu ＋α2＋pr ＋qu ＝x 2＋1,得－12a 0x 2＋6a 0－8ax ＋2a 1－4a ２＝x 2＋1比较x 的同次幂的系数有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==-0a 8a 6121a 1a 121000 解得 329a 0a 4a 2161a 2011-==--=故所求的非齐次方程的一个特解为~y ＝－4x 3x 2＋4x ＋89e－x二、fx ＝p n xe αx cos βx 或p n xe αx sin βx,即求形如22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝p nxe αx cos βx 22dx y d ＋p dx dy＋qy ＝p nxe αx sin βx 这两种方程的特解.由欧拉公式知道,p n xe αx cos βx,p n xe αx sin x 分别是函数p n xe α＋i βx 的实部和虚部.我们先考虑方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝p nxe α＋i βx方程与方程类型相同,而方程的特解的求法已在前面讨论.由上节定理五知道,方程的特解的实部就是方程的特解,方程的特解的虚部就是方程的特解.因此,只要先求出方程的一个特解,然而取其实部或虚部即可得方程或的一个特解.注意到方程的指数函数e α＋i βx 中的α＋i ββ≠0是复数,而特征方程是实系数的二次方程,所以α＋i β最多只能是它的单根.因此方程的特解形为Q n xeα＋i βx或x Ｑn xeα＋i βx.例6. 求方程22dxyd －y ＝e xcos2x 的通解. 解 特征方程 r 2－1＝0特征根 r 1＝1,r 2＝－1于是原方程对应的齐次方程的通解为Y ＝C 1e x ＋C 2e －x为求原方程的一个特解~y .先求方程22dxyd －y ＝e １＋2ix的一个特解,由于1＋2i 不是特征方程的根,且p n x 为零次多项式,故可设u ＝a 0,此时α＝1＋2i,p ＝0,q ＝－1代入方程22dx u d ＋2α＋p dxdu＋α2＋αp ＋qu ＝1 得１＋2i 2－1a 0＝1 ,即4i －4a 0＝1,得a 0＝)1i (41 ＝－81i ＋1这样得到22dx y d －y ＝e １＋2ix的一个特解y ＝－81i ＋1e １＋2ix由欧拉公式y ＝－81i ＋1e １＋2ix＝－81i ＋1e xcos ２x ＋isin2x＝－81e xcos2x －sin2x ＋icos2x ＋sin2x取其实部得原方程的一个特解~y ＝－81e xcos ２x －sin2x故原方程的通解为y ＝Y ＋~y ＝C 1e x＋C 2e－x－81e x cos2x －sin2x 例7. 求方程22dxyd ＋y ＝x －2e 3x＋xsinx 的通解.解 由上节定理三,定理四,本题的通解只要分别求22dxyd ＋y ＝0的特解Y,22dxy d ＋y ＝x －2e 3x的一个特解~1y , 22dxy d ＋y ＝x sin x 的一个特解~2y 然而相加即可得原方程的通解,由本节例4有Y ＝C 1cosx ＋C 2sinx,~1y ＝101x －5013e3x下面求~2y ,为求~2y 先求方程22dxy d ＋y ＝xe ix由于i是特征方程的单根,且pn x＝x为一次式,故可设u＝xax＋a1＝a0x2＋a1x,此时α＝i,p＝0,q＝1,对u 求导dxdu＝2ax＋a1,22dxud＝2a代入方程22dxud＋2α＋pdxdu＋α2＋pα＋qu＝x得 2a０＋2i2ax＋a1＋0＝x即 4iax＋2ia1＋2a＝x比较x的同次幂的系数有：⎩⎨⎧=+=a2ia21ia41得41a41i41a1=-==即方程22dxyd＋y＝xe ix的一个特解~y＝－4ix2＋41xe ix＝－4ix2＋41cosx＋isinx＝41x2sinx＋41xcosx＋i－41x2cosx＋41xsinx取其虚部,得~2y＝－41x2cos x＋41x sin x 所以,所求方程的通解y ＝Y＋~1y＋~2y＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋101－513e３x－41x ２cosx ＋41xsinx综上所述,对于二阶常系数线性非齐次方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝fx 当自由项fx 为上述所列三种特殊形式时,其特解~y 可用待定系数法求得,其特解形式列表如下：自由项fx 形式特解形式fx ＝p n x当q ≠0时~y ＝Q n x当q ＝0,p ≠0时~y ＝Q n x当q ＝0,p ＝0时~y ＝x 2Q n xfx ＝p n xeαx当α不是特征方程根时~y ＝Q nxeαx当α是特征方程单根时~y ＝xQ n xe αx当α是特征方程重根时~y ＝x 2Q n xe αxfx ＝p n xe αx cos βx 或fx ＝p n xe αx sin βx利用欧拉公式e i βx ＝cos βx ＋isin βx,化为fx ＝p n xe α＋i βx 的形式求特解,再分别取其实部或虚部以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法,当然可以用于一阶,也可以推广到高阶的情况.例8. 求y＋3y ″＋3y ′＋y ＝e x 的通解解 对应的齐次方程的特征方程为r 3＋3r 2＋3r ＋1＝0 r 1＝r 2＝r 3＝－1所求齐次方程的通解Y ＝C 1＋C 2x ＋C 3x 2e －x由于α＝1不是特征方程的根因此方程的特解~y ＝a 0e x代入方程可解得a 0＝81故所求方程的通解为y ＝Y ＋~y ＝C 1＋C 2x ＋C 3x 2e －x＋81e x.§ 欧拉方程下述n 阶线性微分方程a 0xnn n ax y d ＋a 1x n －11n 1n dxyd --＋…＋a n －1x dxdy＋a ny ＝fx 称为欧拉方程,其中a 0,a 1,…a n 都是常数,fx 是已知函数.欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程.下面以二阶为例说明.对于二阶欧拉方程a 0x 222dx y d ＋a 1x dxdy ＋a 2y ＝fx 作变量替换令x ＝e t,即t ＝ln x引入新变量t,于是有dx dy ＝dt dy dx dt ＝dt dy x 1＝x 1dtdy22dx y d ＝dx d x 1dt dy ＝x 1dx d dt dy ＋dt dy dx d x 1 ＝x 122dt y d dx dt －2x 1dt dy ＝2x 122dt y d －2x 1dt dy 代入方程得a 022dt y d －dt dy ＋a 2dtdy＋a 1y ＝fe t即 22dty d ＋002a a a dt dy ＋01a a y ＝0a 1fe t它是yt 的常系数线性微分方程.例9. 求x 222dx y d ＋x dx dy ＝6lnx －x1的通解. 解 所求方程是二阶欧拉方程作变换替换,令x ＝e t ,则dx dy ＝x 1dxdy22dx y d ＝2x 122dt y d －2x 1dt dy 代入原方程,可得 22dty d ＝6t －e －t两次积分,可求得其通解为 y ＝C 1＋C 2t ＋t 3－e －t代回原来变量,得原方程的通解y ＝C 1＋C 2lnx ＋lnx3－x1第八节 常系数线性方程组前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的个数都只有一个,但在实际问题中常遇到含有一个自变量的两个或多个未知函数的常微分方程组.本节只讨论常系数线性方程组,并且用代数的方法将其化为常系数线性方程的求解问题.下面以例说明.例1. 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=--)2(0y 3x 4dtdy)1(e y 2x dtdx t的通解.解 与解二元线性代数方程组中的消元法相类似,我们设法消去一个未知函数,由1得y ＝21 dtdx －x －e t3将其代入2得 21 22dt x d －dt dx －e t－4x －23 dtdx －x －e t＝0 化简得22dt x d －4dtdx －5x ＝－2e t它是一个二阶常系数非齐次方程它的通解为 x ＝C 1e 5t＋C 2e －t＋41e t代入3得 y ＝2C 1e 5t－C 2e －t－21e t即所求方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++=--t t 2t 51t t2t 51e 21e C e C 2y e 41e C e C x例2. 求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+)2(t 2y x dtdy dt dx )1(yt dt dydt dx 2的通解解 为消去y,先消去dtdy,为此将1－2得dtdx ＋x ＋2y ＋t ＝0即有 y ＝－21 dtdx＋x ＋t 3代入2得dt dx －21dt d dt dx ＋x ＋t －x ＋21 dtdx ＋x ＋t －2t ＝0 即 22dt x d －2dtdx＋x ＝3t －1 这是一个二阶常系数线性非齐次方程,解得x ＝C １e t ＋C 2te t －3t －7代入3得 y ＝－C 1e t－C ２21＋te t＋t ＋５ 所以原方程组的通解为⎪⎩⎪⎨⎧+++--=--+=5t e )t 21(C e C y 7t 3te C e C x t2t 1t 2t 1。
二阶常系数线性微分方程的解法版共11页文档
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+''(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y Λ为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k Λ使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k Λ, 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得把y y y ''',,代入方程(2),得因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r(3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 整理,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解那么,方程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为21,y y 之间成共轭关系,取方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得 将初始条件20-='=t S 代入上式,得所求特解为例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式.方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ(5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根,即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10Λ的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i Λ=.从而得到所求方程的特解为(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i Λ=.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令 用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得故所求特解为 x xe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解. 特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再求所给方程的特解由于1=λ是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为 其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0; 当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1; 例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为于是 x b x a y cos sin +-=*' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则**+=*21y y y 是原方程的一个特解.第 11 页 由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为 代入原方程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为所以所求方程的通解为希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
二阶微分方程解法(参考模板)
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y+py +qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx代入方程 y +py +qy =0得(r 2+pr +q )e rx=0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y+py +qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时, 函数y =e(a +ib )x、y =e(a ib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e axcos bx 、y =e axsin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e(a +ib )x和y 2e(a ib )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x )y 2e(aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证, y 1=e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax(C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py +qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y -3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x+C 2e 3x.例2 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0, 即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程: 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应: 单实根r 对应于一项: Ce rx;一对单复根r 1, 2=a ib 对应于两项: e ax(C 1cos bx +C 2sin bx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + +C k x k -1); 一对k 重复根r 1, 2=a ib 对应于2k 项:e ax[(C 1+C 2x + +C k x k -1)cos bx +( D 1+D 2x + +D k x k -1)sin bx ]. 例4 求方程y (4)-2y +5y=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x(C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0.解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f (x )=P m (x )e lx型当f (x )=P m (x )e lx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e lx , 将其代入方程, 得等式 Q(x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则l 2+pl +q 0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P m(x)e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解, 其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式, 而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是P m(x)e lx型(其中P m(x)=3x+1, l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y*=b0x+b1.把它代入所给方程, 得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较两端x同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y-5y +6y =xe 2x的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx型(其中P m (x )=x , l =2). 与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得 ⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x[2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i nx i xi l x ωωωωλ---++=x i nl x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y+py+qy =P (x )e(l +iw )x的特解为y 1*=x k Q m (x )e(l +iw )x,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按l iw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e lx[R(1)m(x )cos wx +R(2)m(x )sin wx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py +qy =f (x )的特解可设为y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R(1)m(x )、R(2)m(x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3 求微分方程y+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0, w =2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=. 提示y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x(2cx +a2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x(4ax4b4c )cos2x(4cx 4a 4d )sin2xy *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
二阶常系数线性微分方程的解法版
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以xC x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程(2).将rxe y =求导,得rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rxe q pr r因为0≠rxe, 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rxe y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1qp p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2422qp p r ---=x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 xr x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解xr e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y=, 即)(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='.将222,,y y y '''代入方程(2), 得[]0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e xr 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e xr由于01≠xr e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 xi xi e y ey )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e ey x x i x xi ββαβαβα+=⋅==+ )sin (cos )(2x i x e e e ey x x i x xi ββαβαβα-=⋅==--21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+,x e y y iy x βαsin )(2121_2=-=方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o ss i n 12常数,所以方程(2)的通解为)sin cos (21x C x C e y xββα+= 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解. 解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-= 所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C ey x+=-.例 2 求方程0222=++S dt dSdtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r 121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22将初始条件20-='=t S 代入上式,得22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r 所以原方程的通解为 xxe C eC y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y =)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m xλ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式.方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为xe x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 xex Q y λ)(=*xe x Q x Q y λλ)]()(['+=*'xe x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*'' 代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的xm e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为xm k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程xey y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是xm e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程xe x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x ex x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y kωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 xb x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*'' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程x e y y y xsin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r 3,121=-=r r x x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于xex x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a .于是所给方程的一个特解为x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
【2019年整理】二阶常系数线性微分方程的解法版
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . =-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
（整理）二阶常系数线性微分方程的解法版.
（整理）⼆阶常系数线性微分⽅程的解法版.第⼋章 8.4讲第四节⼆阶常系数线性微分⽅程⼀、⼆阶常系数线形微分⽅程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的⽅程称为⼆阶常系数线性微分⽅程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则⽅程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把⽅程(2)叫做⼆阶常系数齐次线性⽅程,把⽅程式(1)叫做⼆阶常系数⾮齐次线性⽅程. 本节我们将讨论其解法.⼆、⼆阶常系数齐次线性微分⽅程 1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明因为1y 与2y 是⽅程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代⼊⽅程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是⽅程(2)的解.定理1说明齐次线性⽅程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不⼀定是⽅程式(2)的通解.2.线性相关、线性⽆关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性⽆关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 122≡--x x⼜如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性⽆关的,因为在该区间内要使02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠23.⼆阶常系数齐次微分⽅程的解法定理 2 如果1y 与2y 是⽅程式(2)的两个线性⽆关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是⽅程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是⼆阶齐次线性⽅程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性⽆关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是⽅程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差⼀个常数因⼦,根据指数函数的这个特点,我们⽤rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满⾜⽅程(2).将rxe y =求导,得rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代⼊⽅程(2),得0)(2=++rxe q pr r因为0≠rxe, 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满⾜⽅程式(3),rxe y =就是⽅程式(2)的解.我们把⽅程式(3)叫做⽅程式(2)的特征⽅程,特征⽅程是⼀个代数⽅程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是⽅程(2)y y y ,,'''的系数.特征⽅程(3)的两个根为 2422,1qp p r -±-=, 因此⽅程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2p p r ---=x r x r e y e y 2121,==是⽅程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性⽆关.根据定理2,得⽅程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到⽅程(2)的⼀个特解xr e y 11=,还需求出另⼀个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y=, 即 )(12x u e y x r = )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代⼊⽅程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e xr 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e xr由于01≠xr e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征⽅程(3)的⼆重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从⽽有 0=''u因为我们只需⼀个不为常数的解,不妨取x u =,可得到⽅程(2)的另⼀个解那么,⽅程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征⽅程(3)有⼀对共轭复根βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i xi e y ey )(2)(1,βαβα-+==利⽤欧拉公式 x i x e ixsin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e ey x x i x xi ββαβαβα+=?==+ )sin (cos )(2x i x e e e ey x x i x xi ββαβαβα-=?==--21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+,x e y y iy x βαsin )(2121_2=-=⽅程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是⽅程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以⽅程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y xββα+= 综上所述,求⼆阶常系数线性齐次⽅程通解的步骤如下: (1)写出⽅程(2)的特征⽅程02(2)求特征⽅程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出⽅程(2)的通解.例1求⽅程052=+'+''y y y 的通解. 解: 所给⽅程的特征⽅程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-= 所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C ey x+=-.例 2 求⽅程0222=++S dt dSdtS d 满⾜初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解所给⽅程的特征⽅程为0122=++r r 121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代⼊,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代⼊上式,得22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求⽅程032=-'+''y y y 的通解. 解所给⽅程的特征⽅程为 0322 =-+r r 其根为 1,321=-=r r所以原⽅程的通解为 x xe C eC y 231+=-定理3 设*y 是⽅程(1)的⼀个特解,Y 是式(1)所对应的齐次⽅程式(2)的通解,则*+=y Y y 是⽅程式(1)的通解.证明把*+=y Y y 代⼊⽅程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y =)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y =)()(0x f x f =+*+=y Y y 使⽅程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是⽅程(1)的解.定理4 设⼆阶⾮齐次线性⽅程(1)的右端)(x f 是⼏个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) ⽽*1y 与*2y 分别是⽅程 )(1x f qy y p y =+'+'' 与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是⽅程(4)的特解, ⾮齐次线性⽅程(1)的特解有时可⽤上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m xλ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的⼀个m 次多项式.⽅程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同⼀类型函数,因此⽅程(1)的特解可能为xe x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 xe x Q y λ)(=*xe x Q x Q y λλ)]()(['+=*'xe x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*'' 代⼊⽅程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定⽅法: (1) 若λ不是⽅程式(2)的特征⽅程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另⼀个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代⼊(5)式,并⽐较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个⽅程.联⽴解⽅程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从⽽得到所求⽅程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =⽤同样的⽅法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =. (3) 若λ是特征⽅程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式成⽴,则)(x Q ''必须是⼀个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =⽤同样的⽅法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若⽅程式(1)中的xm e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为xm k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征⽅程的根,是特征⽅程的单根或是特征⽅程的重根依次取0,1或2.例4 求⽅程xey y 232-='+''的⼀个特解.解 )(x f 是xm e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次⽅程的特征⽅程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征⽅程的单根, 令x e xb y 20-=*,代⼊原⽅程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求⽅程xe x y y )1(2-='-''的通解. 解先求对应齐次⽅程02=+'-''y y y 的通解. 特征⽅程为 0122=+-r r , 121==r r 齐次⽅程的通解为 xe x C C Y )(21+=. 再求所给⽅程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征⽅程的⼆重根,所以x e b ax x y )(2+=*e 得126-=+x b ax⽐较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给⽅程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ??sin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,⽅程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三⾓函数的导数,仍属同⼀类型,因此⽅程式(7)的特解*y 也应属同⼀类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y kωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为⼀个整数.当ω±i 不是特征⽅程02=++q pr r 的根, k 取0; 当ω±i 不是特征⽅程02=++q pr r 的根, k 取1; 例6 求⽅程x y y y sin 432=-'+''的⼀个特解. 解1=ω，ω±i i ±=不是特征⽅程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原⽅程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代⼊原⽅程，得=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原⽅程的特解为: x x y sin 54cos 52--例7 求⽅程x e y y y xsin 32+=-'-''的通解.解先求对应的齐次⽅程的通解Y .对应的齐次⽅程的特征⽅程为0322=--r r 3,121=-=r r x x e C e C Y 321+=-再求⾮齐次⽅程的⼀个特解*y .由于xex x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出⽅程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原⽅程的⼀个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征⽅程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x++=+=***代⼊原⽅程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--⽐较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给⽅程的⼀个特解为x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求⽅程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶常系数线性微分方程的解法-19页PPT文档资料
u0
取 u = x , 则得 y2xer1x,因此原方程的通解为 y(C 1C 2x)er1x
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3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 c3 o x 3 s s3 i x )n 所求通解为
x (5 c3 o x 3 s3 ix ) n
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定理 4.
分别是方程
y p y q f y k ( x )( k 1 ,2 , ,n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
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(YpYqY)
f(x ) 0 f(x )
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故 y Y (x ) y * (x )是非齐次方程的解, 又Y 中含有
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程的一般形式二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$y''+ay'+by=f(x)$$其中，$a$和$b$为常数，$f(x)$为一般函数，$y$为未知函数。
二、特征方程为了解二阶常系数线性微分方程，我们需要首先解决特征方程的问题。
特征方程是由原方程的常系数得到的，它的一般形式为：$$r^2+ar+b=0$$关于特征方程的特征根有以下三种情况：（1）特征根为不相等实数：$r_1\eq r_2$。
此时，原方程的通解为：$$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$（2）特征根为相等实数：$r_1=r_2=r$。
此时，原方程的通解为：$$y=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}$$（3）特征根为共轭复数：$r_1=\\alpha+i\\beta$，$r_2=\\alpha-i\\beta$，其中$\\alpha$和$\\beta$均为实数，而且$\\beta\eq 0$。
此时，原方程的通解为：$$y=e^{\\alpha x}(c_1\\cos\\beta x+c_2\\sin\\beta x)$$其中，$c_1$和$c_2$均为常数。
三、常数变易法常数变易法是解非齐次线性微分方程的常用方法。
它的基本思路是先假设非齐次项的解为一个函数的形式，然后将它代入原方程，得到关于未知函数的一个代数方程，通过求解这个方程，就能得到非齐次方程的一个特解。
通过常数变易法，设非齐次项的解为$y_p(x)=u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$均为一般函数。
将$y_p(x)$代入原方程，得到：$$u''v+2u'v'+uv''+au'v+avu'=f(x)$$通过适当的选择$u(x)$和$v(x)$，可以让上式左边的部分消去。
一般可以选择$u(x)$和$v(x)$为特征方程的解，即$u(x)$和$v(x)$满足：$$u''+au'+bu=0$$$$v''+av'+bv=0$$此时，如果特征根为不相等实数或者共轭复数，$u(x)$和$v(x)$可以分别取不同的解，而如果特征根为相等实数，$u(x)$和$v(x)$需要取不同的线性无关解。
2.2二阶常系数线性微分方程的解法
13
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
1. f (x) Pm(x)ex ( 其中 pm ( x)是 x 的 m 次多项式 )
这时方程②为 ay by cy Pm ( x)ex
③
可以设 y Q( x)ex ( 其中Q( x) 是多项式 ) 。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2x 3 的特解。
解： f ( x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f ( x) Pm ( x)e x 型（ m 1, 0 ），
特征方程为 r2 5r 6 0 ， r1 2 ， r2 3 ，
∵ 0 不是特征根，
∴设特解为 y Q1( x)e0x Aox A1 ，
得 erx (ar 2 br c) 0 ，但 erx 0 ，故有
ar 2 br c 0 ，
②
2
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
ar 2 br c 0 ，
②
若 r 是一元二次方程②的一个根，则 y erx 就是 方程①的一个特解。
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况： 1． r1 r2 是两个不相等的实根； 2． r1 r2 是两个相等的实根；
9
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
高阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性齐次方程为
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ， ③
其特征方程为 a0r n a1r n1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程， 有 n 个根。类似二阶常系
Q( x) 应为 m 次多项式 , Q( x) 应为 m 1 次多项式 ,
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第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。