一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 预备知识
文献[3-4]中已给出了二阶线性微分算子的分解及二阶变系数线性微分方程算子解法 的一些结果， 下面引用其中的一些结果．
引理 1[3] 二阶变系数线性微分方程 ［D2 + p（x）D + q（x）］y = 0
收稿日期： 2009 - 05 - 19 作者简介： 方书盛（1945-）， 男， 广东普宁人， 大学本科， 高级教师. 研究方向： 微分方程的解析解.
1991， 64（2）： 124-130.
[6] 李鸿祥． 常微分方程的一些新的可积类型[J]. 数学的实践与认识， 1980， 10（1）： 46-51.
[7] 章 联 生． 高 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 的 一 些 新 的 可 积 类 型 [J] . 数 学 的 实 践 与 认 识 ， 2009， 39（15）：
∫ y（x） = c1e -∫b（x）d x
e d x + c e ∫（b（x）-a（x））d x
-∫b（x）d x 2
∫ -
= c1e
∫d x x
e
∫3 x
d
x
d
x
+
-
c2e
∫d x x
=
c1 x3
+
c2 x
.
例 2 用算子解法求出以下微分方程的通解：
16
汕头大学学报（自然科学版）
第 25 卷
x2y″ + x（1 + 2x）y′ - y = 0.
- ∫b（x）d x 2
∫ ∫ - （ - k）d x
∫ ∫ = c1e
e d x + c e （ - p（x） - 2k）d x x
- ( - k）d x 2
∫ ∫ ∫ ＝ ekx c1
∫ - p（x） d x
ex e2kx
d x + c2 .
推论 2 证毕．
3实例
例 1 用算子解法求出以下微分方程的通解： x2y″ - xy′ - 3y = 0.
方书盛
（汕头市达濠第二中学， 广东 汕头 515071）
摘 要： 运用微分算子的理论和方法研究了二阶变系数线性微分方程的解法； 在一定的条件
下利用算子解法求出一类二阶变系数线性微分方程的通解； 应用所得结果推导出已知类型方
程可用算子解法求出通解的一些可积类型； 举例说明使用算子解法求出已知类型方程通解的
E-mail： sh_fang1212@163.com
第1期
方书盛： 一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
13
可积的充分必要条件是， 已知方程左端微分算子可分解为两个有限形式的一阶微分算子
因式的乘积：
D2 + p（x）D + q（x） = [D + a（x）][D + b（x）]
（1）
引理 2[4] 二阶变系数线性微分算子
d
x
c1
∫p（x） d x
e x d x + c2
.
证明
取函数 a（x），
b（x）分别为 a（x） = 0，
b（x） =
p（x） ， x
则有：
p（x） x
=
a（x） + b（x），
q（x） x2
=
xp′（x） - p（x） x2
=
（
p（x） x
）′
=
b′（x）
=
a（x）b（x）
+
b′（x）.
于是定理 1 的条件满足， 从而由定理的结论可得， 方程（4）是可积的， 其通解是：
∫［b（x） - a（x）］d x
- ∫b（x）d x 2
定理 1 证毕． 作为定理 1 的推论， 可得到以下一些结果． 推论 1[11] 如果已知多项式 p（x）及 q（x）满足条件：
xp′（x） - p（x） = q（x）， 那么方程（4）是可积的， 其通解是：
∫ ∫ ∫ y（x）
=
-
e
∫p（x） x
解 已知方程对应于方程（4）的函数 p（x）及 q（x）分别是：
p（x） = 1 + 2x， q（x） = - 1.
所以可得：
xp′（x） - p（x） = - 1 = q（x）.
这时满足推论 1 的条件， 所以由推论 1 的结论可知， 已知方程是可积的， 其通解为：
乙 乙 乙 乙 乙 y（x） = e-
p（x） x
=
a（x） + b（x），
q（x） x2
=-
kp（x） x
- k2 = a（x）b（x） = a（x）b（x） + b′（x）.
从而定理 1 的条件满足， 所以由定理的结论可得， 已知方程（4）是可积的， 其通解为：
∫ y（x） = c1e -∫b（x）d x
e d x + c e ∫（b（x） - a（x））d x
y=0
（7）
当 p（x）及 q（x）满足已知条件时， 由式（5）得到：
14
汕头大学学报（自然科学版）
第 25 卷
a（x） = p（x） - b（x）. x
将所得式子代入式（6）得到：
b′（x） = b2（x） -
p（x） b（x） + x
q（x） x2
.
于是 Riccati 方程（2）是可积的， 由引理 2 可知， 方程（4）变形后所得方程（7）的左端微分
∫∫ ∫ f（x） = e-∫p（x）dx
D + p（x）
f（x）e ∫p（x）d x d x + c
（3）
其中 c 表示任意一个常数．
2 主要结果
考虑如下形式的二阶变系数线性齐次方程：
x2y″ + p（x）xy′ + q（x）y = 0
（4）
n
m
Σ Σ 其中 p（x）， q（x）分别是 x 的多项式， p（x） = ak xk， q（x） = bk xk， 当 a 0， b0， b1 不
4结语
本文给出的算子解法不仅可用于求解特殊形式的一类二阶变系数线性方程， 同时也 适用于求解一般形式的二阶变系数线性方程， 对于在科学技术中常遇到的二阶变系数线 性方程求解有很大的帮助． 另外， 必须说明的是， 本文所得到的已知类型方程的可积类 型， 只是这类方程的几种较重要的可积类型， 不可能包括各种不同的可积类型. 在实际 应用中， 用同样的方法可推导出其它更多的可积类型， 限于篇幅， 这里不再一一列出．
k=0
k=0
全为零时， x = 0 是已知方程的正则奇点． 这是一类重要的微分方程， 在微分方程这门
学科里占有重要地位的 Basell 方程就是这类方程的一个特例（取 p（x） = 1，q（x） = x2 - n2）.
对于这类方程， 通常可使用级数解法求解[1] ， 但是这种解法较复杂， 并且所得到的解是
∫ y（x）
=
c e- ∫b（x）d x 1
e d x + c e ∫（b（x） - a（x））d x
- ∫b（x）d x 2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = e c - p（x） d x
x
1
e
p（x） x
d
x
d
x
+
c2
.
推论 1 证毕．
第1期
方书盛： 一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
15
[11]
推论 2 如果已知多项式 p（x）及 q（x）满足条件
步骤和方法．
关键词： 二阶； 变系数； 算子解法； 可积类型
中图分类号： O 175.1
文献标识码： A
0引言
二阶变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用[1] ． 因此， 研究 二阶变系数线性微分方程的求解方法， 具有重要的应用价值和理论意义．
由于一个二阶变系数线性微分方程的可积与对应的一个 Riccati 方程的可积是等价 的 （参见本文引理 1 及引理 2）， 然而 Riccati 方程在一般情况下是不可积 的[1-2] ， 因 此 ， 二阶变系数线性微分方程在一般情形下是不可积的， 即在一般情形下， 方程的解不可能 用有限形式的初等积分来表示． 但某些特殊形式的变系数线性方程还是可积的， 例如著 名的 Euler 方程． 为了适应理论研究和工程应用的需要， 近 30 年来， 人们用不同的方 法不断探索二阶变系数线性方程的各种特殊的可积类型， 至今已取得了一系列成果[3-10] ． 本文作者在文献 ［3］中给出了任意阶的变系数线性方程的算子解法， 这种解法是求出某 些特殊形式的变系数线性方程的一种简便实用的方法． 本文运用文献［3］的结果， 研究 了一类重要的二阶变系数线性方程的解法， 得到了已知类型方程的一些可积类型．
2010 年 2 月 Feb. 2010
汕头大学学报 （自然科学版）
Journal of Shantou University ( Natural Science )
文章编号： 1001 - 4217（2010）01 - 0012 - 06
第 25 卷 第 1 期 Vol.25 No.1
一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
参考文献：
[1] 李文荣， 张全信． 函数方程与微分方程的解析解 [M]. 北京： 科学出版社， 2008.
[2] Krasnov M L， Kiselyov A I， MakarenKo G I． A book of problems in ordinary differential equations
算子可分解为有限形式的因式的乘积， 由式（1）得到：
D2 +
p（x） D + x
q（x） x2
= ［D + a（x）］［D + b（x）］.
因此， 方程（7）可表示为：
［D + a（x）］［D - b（x）］y = 0.
利用定义 1， 所得方程两边同除以一阶微分算子 D + a（x）， 由式（3）得到：
［D + b（x）］y = ce-∫a（x）d x.
再次利用定义 1， 所得方程两边同除以一阶微分算子 D + b （x）， 由式 （3）得到已知方程
（4）的通解：
∫∫ ∫ y（x） = e-∫b（x）dx
c e e d - ∫a（x）d x ∫b（x）d x 1
x
+
c2
∫ = c e e d x + c e . -∫b（x）d x 1
∫ y（x）
=
c e- ∫b（x）d x 1
e d x + c e . ∫（b（x） - a（x））d x
- ∫b（x）d x 2
其中 c1， c2 分别是任意的常数． 证明 对于不等于零的 x 值， 方程（4）的两边同时除以 x2 并且用算子形式表示为：
Σ Σ D2 +
p（x） x
D
+
q（x） x2
一个无限形式的特殊函数， 而在一定的条件下， 利用算子解法则可简便地求出这类方程
有限形式的通解．
以下先证明本文主要结果的一个定理.
定理 1 如果多项式 p（x）及 q（x）满足条件：
来自百度文库
p（x） = a（x） + b（x）
（5）
x
q（x） x2
= a（x）b（x） + b′（x）
（6）
其中 a（x）， b（x）分别是 x 的特定函数， 那么方程（4）是可积的， 其通解是：
q（x） = - kxp（x） - k2x2，
其中 k 为不等于零的常数， 那么方程（4）是可积的， 其通解为：
∫ ∫
y（x） = ekx∫∫c1
-
e
∫p（x） x
d
x
d
x
+
c2
∫ ∫∫.
∫
e2kx
∫
证明 取函数 a（x）， b（x）分别为：
a（x） =
p（x） x
+ k，
b（x） = - k，
则有：
c p（x） x
d
x
1
e
p（x） x
d
x
d
x
+
c2
乙 乙 乙 乙 乙 = e-
c 1 + 2x x
dx
1
e
1 + 2x x
d xd
x
+
c2
乙 乙 乙 =
1 xe2x
c1
xe2xd x + c2
乙 乙 =
1 xe2x
c1xe2x（
1 2
-
1 4x
） + c2
=
c1（
1 2
-
1 4x
）+
c2 xe2x
.
[M]. Moscow： Mir Publishers， 1983.
[3] 方书盛． 变系数线性微分方程的算子解法[J]． 数学的实践与认识， 2004， 34（7）： 159-165.
[4] 黎耀善． 二阶线性微分算子的分解及其应用[J]. 数学的实践与认识， 1989（2）： 56-62.
[ 5] Ramankutty P． The complementary funtion and the general solution [J] . Mathematics Magazine，
解 已知方程对应于方程（4）的函数 p（x）及 q（x）分别是： p（x） = － 1， q（x） = - 3，
取 a（x） = -
2 x
，
b（x） =
1 x
，
则有：
p（x） = a（x） + b（x）， x
q（x） x2
= a（x）b（x） + b′（x），
这时满足定理 1 的条件， 所以由定理的结论可得， 已知方程是可积的， 其通解为：
229-234.
[8] 宁荣健， 唐烁， 朱士信． 一 类 二 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 的 积 分 因 子 解 法 [J] . 大 学 数 学 ， 2006， 22
D2 + p（x）D + q（x）
可分解成有限形式分解式（1）的充分必要条件是 Riccati 方程
y′（x） = y2（x）- p（x）y（x） + q（x）
（2）
是可积的， 这时 b（x）= y（x）， a（x） = p（x） - y（x）.
定义 1[3] 一个已知函数 f（x）除以一阶微分算子 D + p（x）所得结果为：
文献[3-4]中已给出了二阶线性微分算子的分解及二阶变系数线性微分方程算子解法 的一些结果， 下面引用其中的一些结果．
引理 1[3] 二阶变系数线性微分方程 ［D2 + p（x）D + q（x）］y = 0
收稿日期： 2009 - 05 - 19 作者简介： 方书盛（1945-）， 男， 广东普宁人， 大学本科， 高级教师. 研究方向： 微分方程的解析解.
1991， 64（2）： 124-130.
[6] 李鸿祥． 常微分方程的一些新的可积类型[J]. 数学的实践与认识， 1980， 10（1）： 46-51.
[7] 章 联 生． 高 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 的 一 些 新 的 可 积 类 型 [J] . 数 学 的 实 践 与 认 识 ， 2009， 39（15）：
∫ y（x） = c1e -∫b（x）d x
e d x + c e ∫（b（x）-a（x））d x
-∫b（x）d x 2
∫ -
= c1e
∫d x x
e
∫3 x
d
x
d
x
+
-
c2e
∫d x x
=
c1 x3
+
c2 x
.
例 2 用算子解法求出以下微分方程的通解：
16
汕头大学学报（自然科学版）
第 25 卷
x2y″ + x（1 + 2x）y′ - y = 0.
- ∫b（x）d x 2
∫ ∫ - （ - k）d x
∫ ∫ = c1e
e d x + c e （ - p（x） - 2k）d x x
- ( - k）d x 2
∫ ∫ ∫ ＝ ekx c1
∫ - p（x） d x
ex e2kx
d x + c2 .
推论 2 证毕．
3实例
例 1 用算子解法求出以下微分方程的通解： x2y″ - xy′ - 3y = 0.
方书盛
（汕头市达濠第二中学， 广东 汕头 515071）
摘 要： 运用微分算子的理论和方法研究了二阶变系数线性微分方程的解法； 在一定的条件
下利用算子解法求出一类二阶变系数线性微分方程的通解； 应用所得结果推导出已知类型方
程可用算子解法求出通解的一些可积类型； 举例说明使用算子解法求出已知类型方程通解的
E-mail： sh_fang1212@163.com
第1期
方书盛： 一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
13
可积的充分必要条件是， 已知方程左端微分算子可分解为两个有限形式的一阶微分算子
因式的乘积：
D2 + p（x）D + q（x） = [D + a（x）][D + b（x）]
（1）
引理 2[4] 二阶变系数线性微分算子
d
x
c1
∫p（x） d x
e x d x + c2
.
证明
取函数 a（x），
b（x）分别为 a（x） = 0，
b（x） =
p（x） ， x
则有：
p（x） x
=
a（x） + b（x），
q（x） x2
=
xp′（x） - p（x） x2
=
（
p（x） x
）′
=
b′（x）
=
a（x）b（x）
+
b′（x）.
于是定理 1 的条件满足， 从而由定理的结论可得， 方程（4）是可积的， 其通解是：
∫［b（x） - a（x）］d x
- ∫b（x）d x 2
定理 1 证毕． 作为定理 1 的推论， 可得到以下一些结果． 推论 1[11] 如果已知多项式 p（x）及 q（x）满足条件：
xp′（x） - p（x） = q（x）， 那么方程（4）是可积的， 其通解是：
∫ ∫ ∫ y（x）
=
-
e
∫p（x） x
解 已知方程对应于方程（4）的函数 p（x）及 q（x）分别是：
p（x） = 1 + 2x， q（x） = - 1.
所以可得：
xp′（x） - p（x） = - 1 = q（x）.
这时满足推论 1 的条件， 所以由推论 1 的结论可知， 已知方程是可积的， 其通解为：
乙 乙 乙 乙 乙 y（x） = e-
p（x） x
=
a（x） + b（x），
q（x） x2
=-
kp（x） x
- k2 = a（x）b（x） = a（x）b（x） + b′（x）.
从而定理 1 的条件满足， 所以由定理的结论可得， 已知方程（4）是可积的， 其通解为：
∫ y（x） = c1e -∫b（x）d x
e d x + c e ∫（b（x） - a（x））d x
y=0
（7）
当 p（x）及 q（x）满足已知条件时， 由式（5）得到：
14
汕头大学学报（自然科学版）
第 25 卷
a（x） = p（x） - b（x）. x
将所得式子代入式（6）得到：
b′（x） = b2（x） -
p（x） b（x） + x
q（x） x2
.
于是 Riccati 方程（2）是可积的， 由引理 2 可知， 方程（4）变形后所得方程（7）的左端微分
∫∫ ∫ f（x） = e-∫p（x）dx
D + p（x）
f（x）e ∫p（x）d x d x + c
（3）
其中 c 表示任意一个常数．
2 主要结果
考虑如下形式的二阶变系数线性齐次方程：
x2y″ + p（x）xy′ + q（x）y = 0
（4）
n
m
Σ Σ 其中 p（x）， q（x）分别是 x 的多项式， p（x） = ak xk， q（x） = bk xk， 当 a 0， b0， b1 不
4结语
本文给出的算子解法不仅可用于求解特殊形式的一类二阶变系数线性方程， 同时也 适用于求解一般形式的二阶变系数线性方程， 对于在科学技术中常遇到的二阶变系数线 性方程求解有很大的帮助． 另外， 必须说明的是， 本文所得到的已知类型方程的可积类 型， 只是这类方程的几种较重要的可积类型， 不可能包括各种不同的可积类型. 在实际 应用中， 用同样的方法可推导出其它更多的可积类型， 限于篇幅， 这里不再一一列出．
k=0
k=0
全为零时， x = 0 是已知方程的正则奇点． 这是一类重要的微分方程， 在微分方程这门
学科里占有重要地位的 Basell 方程就是这类方程的一个特例（取 p（x） = 1，q（x） = x2 - n2）.
对于这类方程， 通常可使用级数解法求解[1] ， 但是这种解法较复杂， 并且所得到的解是
∫ y（x）
=
c e- ∫b（x）d x 1
e d x + c e ∫（b（x） - a（x））d x
- ∫b（x）d x 2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = e c - p（x） d x
x
1
e
p（x） x
d
x
d
x
+
c2
.
推论 1 证毕．
第1期
方书盛： 一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
15
[11]
推论 2 如果已知多项式 p（x）及 q（x）满足条件
步骤和方法．
关键词： 二阶； 变系数； 算子解法； 可积类型
中图分类号： O 175.1
文献标识码： A
0引言
二阶变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用[1] ． 因此， 研究 二阶变系数线性微分方程的求解方法， 具有重要的应用价值和理论意义．
由于一个二阶变系数线性微分方程的可积与对应的一个 Riccati 方程的可积是等价 的 （参见本文引理 1 及引理 2）， 然而 Riccati 方程在一般情况下是不可积 的[1-2] ， 因 此 ， 二阶变系数线性微分方程在一般情形下是不可积的， 即在一般情形下， 方程的解不可能 用有限形式的初等积分来表示． 但某些特殊形式的变系数线性方程还是可积的， 例如著 名的 Euler 方程． 为了适应理论研究和工程应用的需要， 近 30 年来， 人们用不同的方 法不断探索二阶变系数线性方程的各种特殊的可积类型， 至今已取得了一系列成果[3-10] ． 本文作者在文献 ［3］中给出了任意阶的变系数线性方程的算子解法， 这种解法是求出某 些特殊形式的变系数线性方程的一种简便实用的方法． 本文运用文献［3］的结果， 研究 了一类重要的二阶变系数线性方程的解法， 得到了已知类型方程的一些可积类型．
2010 年 2 月 Feb. 2010
汕头大学学报 （自然科学版）
Journal of Shantou University ( Natural Science )
文章编号： 1001 - 4217（2010）01 - 0012 - 06
第 25 卷 第 1 期 Vol.25 No.1
一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
参考文献：
[1] 李文荣， 张全信． 函数方程与微分方程的解析解 [M]. 北京： 科学出版社， 2008.
[2] Krasnov M L， Kiselyov A I， MakarenKo G I． A book of problems in ordinary differential equations
算子可分解为有限形式的因式的乘积， 由式（1）得到：
D2 +
p（x） D + x
q（x） x2
= ［D + a（x）］［D + b（x）］.
因此， 方程（7）可表示为：
［D + a（x）］［D - b（x）］y = 0.
利用定义 1， 所得方程两边同除以一阶微分算子 D + a（x）， 由式（3）得到：
［D + b（x）］y = ce-∫a（x）d x.
再次利用定义 1， 所得方程两边同除以一阶微分算子 D + b （x）， 由式 （3）得到已知方程
（4）的通解：
∫∫ ∫ y（x） = e-∫b（x）dx
c e e d - ∫a（x）d x ∫b（x）d x 1
x
+
c2
∫ = c e e d x + c e . -∫b（x）d x 1
∫ y（x）
=
c e- ∫b（x）d x 1
e d x + c e . ∫（b（x） - a（x））d x
- ∫b（x）d x 2
其中 c1， c2 分别是任意的常数． 证明 对于不等于零的 x 值， 方程（4）的两边同时除以 x2 并且用算子形式表示为：
Σ Σ D2 +
p（x） x
D
+
q（x） x2
一个无限形式的特殊函数， 而在一定的条件下， 利用算子解法则可简便地求出这类方程
有限形式的通解．
以下先证明本文主要结果的一个定理.
定理 1 如果多项式 p（x）及 q（x）满足条件：
来自百度文库
p（x） = a（x） + b（x）
（5）
x
q（x） x2
= a（x）b（x） + b′（x）
（6）
其中 a（x）， b（x）分别是 x 的特定函数， 那么方程（4）是可积的， 其通解是：
q（x） = - kxp（x） - k2x2，
其中 k 为不等于零的常数， 那么方程（4）是可积的， 其通解为：
∫ ∫
y（x） = ekx∫∫c1
-
e
∫p（x） x
d
x
d
x
+
c2
∫ ∫∫.
∫
e2kx
∫
证明 取函数 a（x）， b（x）分别为：
a（x） =
p（x） x
+ k，
b（x） = - k，
则有：
c p（x） x
d
x
1
e
p（x） x
d
x
d
x
+
c2
乙 乙 乙 乙 乙 = e-
c 1 + 2x x
dx
1
e
1 + 2x x
d xd
x
+
c2
乙 乙 乙 =
1 xe2x
c1
xe2xd x + c2
乙 乙 =
1 xe2x
c1xe2x（
1 2
-
1 4x
） + c2
=
c1（
1 2
-
1 4x
）+
c2 xe2x
.
[M]. Moscow： Mir Publishers， 1983.
[3] 方书盛． 变系数线性微分方程的算子解法[J]． 数学的实践与认识， 2004， 34（7）： 159-165.
[4] 黎耀善． 二阶线性微分算子的分解及其应用[J]. 数学的实践与认识， 1989（2）： 56-62.
[ 5] Ramankutty P． The complementary funtion and the general solution [J] . Mathematics Magazine，
解 已知方程对应于方程（4）的函数 p（x）及 q（x）分别是： p（x） = － 1， q（x） = - 3，
取 a（x） = -
2 x
，
b（x） =
1 x
，
则有：
p（x） = a（x） + b（x）， x
q（x） x2
= a（x）b（x） + b′（x），
这时满足定理 1 的条件， 所以由定理的结论可得， 已知方程是可积的， 其通解为：
229-234.
[8] 宁荣健， 唐烁， 朱士信． 一 类 二 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 的 积 分 因 子 解 法 [J] . 大 学 数 学 ， 2006， 22
D2 + p（x）D + q（x）
可分解成有限形式分解式（1）的充分必要条件是 Riccati 方程
y′（x） = y2（x）- p（x）y（x） + q（x）
（2）
是可积的， 这时 b（x）= y（x）， a（x） = p（x） - y（x）.
定义 1[3] 一个已知函数 f（x）除以一阶微分算子 D + p（x）所得结果为：