三角函数习题及答案
第四章 三角函数
§4-1 任意角的三角函数
一、选择题:
1.使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在( )
(A)第一,四象限 (B)第一,三象限 (C)第一、二象限 (D)第二、四象
限
2.角α、β的终边关于У轴对称,(κ∈Ζ)。则
(A)α+β=2κπ (B)α-β=2κπ (C)α+β=2κπ-π (D)α-β=2κπ-π 3.设θ为第三象限的角,则必有( ) (A)tan
cot
2
2
θ
θ
(B)tan
cot
2
2
θ
θ
(C)sin
cos
2
2
θ
θ
(D)sin
cos
2
2
θ
θ
…
4.若4
sin cos 3
θθ+=-,则θ只可能是( )
(A)第一象限角 (B)第二象限角 (C )第三象限角 (D)第四象限角 5.若tan sin 0θθ且0sin cos 1θθ+,则θ的终边在( )
(A)第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 二、填空题:
6.已知α是第二象限角且4sin 5α=
则2α是第▁▁▁▁象限角,2
α
是第▁▁▁象限角。 7.已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sina3,-2cos3),则α角弧度数为▁▁▁▁。 8.设1
sin ,(,)sin y x x k k Z x
π=+
≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。 9.已知cosx-sinx<-1,则x 是第▁▁▁象限角。 三、解答题: …
10.已知角α的终边在直线y =上,求sin α及cot α的值。 11.已知Cos(α+β)+1=0, 求证:sin(2α+β)+sin β=0。 12.已知()()cos ,5
n f n n N π
+=∈,求?(1)+?(2)+?(3)+……+?(2000)的值。 §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
一、选择题: 1.()sin 2cos 22ππ??
---
???
化简结果是( ) (A )0 (B )1- (C )2sin 2 ()2sin 2D - 2.若1
sin cos 5
αα+=
,且0απ,则tan α的值为( )
()43A -
()34B - ()34C ()43D -或34
- 3. 已知1sin cos 8αα=,且42
ππ
α
,则cos sin αα-的值为( ) 、
(
)
2A ()3
4
B (
)2C - (
)2D ±
4. 已知4
sin 5
α=
,并且α是第一象限角,则tan α的值是( ) ()43A - ()34B - ()34C ()43
D 5.
)
()0cos100A ()0cos80B ()0sin80C ()0cos10D
6. 若cot ,(0)m m α=≠
且cos α=
,则角α所在的象限是( )
(A )一、二象限 (B )二、三象限 (C )一、三象限 (D )一、四象限 填空题:
7.化简()()()2
1sin 2sin 2cos αππαα+-+--=▁▁▁▁▁▁。
8.已知1tan 3
α=-,则2
1
2sin cos cos ααα+的值为▁▁▁▁▁▁。 | 9.292925sin
cos tan 634
ππ
π
????+-+- ? ?????
=▁▁▁▁▁。
10.若关于x 的方程2
(5)(25)40m x m x +-++=的两根是直角三角形两锐角的正弦值,则m =▁▁▁▁。 解答题:
11.已知:tan 3α=,求(
()2122sin 3sin cos ααα-的值。
12.已知2
2
tan 2tan 1αβ=+,求证:2
2
sin 2sin 1βα=- 13.已知1sin 24θ=
,且4
2
ππ
θ
,求cos sin θθ-的值。
14.若sin cos 0,sin cot 0,αααα
§4-3:两角和与差的三角函数
1. “()tan 0αβ+=”是“tan tan 0αβ+=”的( )
(A ) # (B ) 充分必要条件 (B )必要不充分条件
(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件
2.
已知sin αβ=
=且,αβ为锐角,则αβ+为( ) ()
4
A π ()
4
B π或
34π ()34
C π
()D 非以上答案 3. 设0
sin15cos15,sin16cos16,a b =+=+则下列各式正确的是( )
()()()()2222
2222
,22,22
a b a b A a
b B a b a b a b C b a
D b a ++++ 4. 已知α3,
22ππ??∈ ???,且3cot ,
4α=-则3cos 4πα??- ?
?
?
的值是( )
()
10
A ()
B (
C ()
D 二、填空题: 5. 已知53cos ,,,
132π
θθπ??=-∈ ??
?
则cos 3πθ??- ???的值为____________
6. &
7.
已知()()4
4cos ,cos 5
5αβαβ-=-+=且()()3,,,222ππαβπαβπ????-∈+∈ ? ?????
则_____________________cos 2β=
8. 已知11
sin sin ,cos cos ,32
αβαβ-=-=则()___________________
cos αβ-=
9. 在ABC ?中,tan ,tan A B 是方程23810x x +-=的两根,则_________________tan C = 三、解答题: 10. 求值()
00sin 501。 11. 求证:
tan tan tan cot cot cot A B B
B A A
-=-
12.
ABC ?中,BC=5,BC 边上的高AD 把ABC ?面积分为12,S S ,又12,S S 是
方程2
15540x x -+=的两根,求A ∠的度数。
§4-4 二倍角的正弦、余弦、正切
一.选择题: 1. `
2.
sin15cos165的值为( )
()14
A ()1
4B - ()12C ()12D -
3. 已知()21tan .tan 544παββ?
?-=
-= ???, 则tan 4πα??- ??
?的值为( ) ()318A ()1318B ()322C ()1322
D
4. 已知57,22ππα??∈????, ) ()2cos 2A α ()2cos 2B α- ()2sin 2C α ()2sin 2D α-
5. 函数()f x =的定义域是( )
().3A x k x k k Z πππ??≤≤+∈????
().124B x k x k k Z ππππ??-≤≤+∈????
()11.412C x k x k k Z ππππ??+≤≤+∈????
().62D x k x k k Z ππππ??-≤≤+∈???? 6. ABC ?中,3sin 4cos 6A B +=, 4sin 3cos 1,B A +=则C ∠的大小为( )
^
()
6
A π ()
56B π ()6C π或56π ()3D π或23
π
二.填空题:
7. 已知sin 2m θ=,若0,
4πθ??
∈ ???
,则sin cos ______θθ-= 若,42ππθ??
∈
???
, 则sin cos ______θθ-= 8. 若3sin 4cos 0θθ+=, 则cot 2______θ= 9. 若
11
1cos sin θθ
-=,则sin 2θ的值为_______ 10.
已知
2sin cos 5sin 3cos θθ
θθ
+=--,则3cos 24sin 2______θθ+=
11.
求值4sin 20tan 20+ 12.
化
简
222cos 12tan(
)sin (
)
4
4
απ
π
αα--+
、
12.设,αβ均为锐角,且
sin cos()sin β
αβα
=+,求tan β的最大值。
§4-5 三角函数的化简和求值
一.选择题:
1. 在ABC ?中,若2
sin sin cos
2
A
B C =,则ABC ?的形状是( ) ()A 等腰三角形 ()B 直角三角形 ()C 等边三角形 ()D 等腰直角三角形 2. 设3
A B π
+=
,tan tan 3A B +=,则cos cos A B 的值为( )
(
A (
B (
C (
)D 3. 22cos 15cos 75cos15cos75++的值为( ) ()
32A ()34B ()5
4
C ()1
D 4. 若()tan sin 2f x x =,则()1f -的值为( )
)
()sin 2A - ()1B - ()
1
2
C ()1
D 5. 已知sin sin sin 0αβγ++=,cos cos cos 0αβγ++=,则()cos αβ-的值为( ) ()1A ()1B - ()12C ()1
2
D - 二.填空题:
6. 函数2
sin cos 2sin 1y z x x x =-+的最小正周期______T = 7. 一个等腰三角形一个底角的正弦值为5
13
,则这个三角形顶点的正切为______ 8. 若1sin cos 2
x x -=
,则33
sin cos ______x x -= 9.sin10sin 30sin 50sin 70______=
10.已知α
是第二,三象限的角,化简:cos sin
'
11.已知60sin cos 169??=
且4
2
π
π
?
,求sin ?和cos ?的值
12sin 40sin 5013tan10
701cos +++13.已知,2
k π
αβπ≠+
k Z ∈,()3sin 20αβ+-=,()5sin 10αβ--=,求
tan tan α
β
的值。 §4-6 三角函数的恒等变形
1. 求值:tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan10++ 2. 求证:()()sin cos 1sin cos 1sin 2tan
2
θθθθθθ+--+= 3. 求证:2
2
21tan 1tan 1cot 1cot A A A A +-??= ?
+-??
4. 试探讨()()1tan 1tan 2A B ++=,,2
A B k π
π≠+
,k Z ∈成立的充要条件(A ,B 所满
足的关系)。
5. 已知ABC ?三个内角成等差数列,且
110cos cos A C +=,求cos
2
A C -的值(参考公式:cos cos 2cos cos 22
αβαβαβ+-+=
()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-????) 6. 已知α,β为锐角,且22
3sin 2sin 1αβ+=,3sin 22sin 20αβ-=,求证
22
π
αβ+=
。
-
§4-7 三角函数的图象
一.选择题: 1.要得到sin
2x y =的图象,只要将函数1sin()24y x π
=+的图象( ) ()A 向左平移4π单位 ()B 向右平移4π单位 ()C 向左平移2
π
单位 ()D 向右平移
2
π
单位
2.以下给出的函数中,以π为周期的偶函数是( )
()22cos sin A y x x =- ()tan B y x = ()sin cos C y x x = ()cos
2
x D y = 3.函数()sin y A x ω?=+在同一区间内的9
x π=
处取最大值
1
2
,在49x π=处取得最小
值1
2
-
,则函数解析式为( ) ()1sin 236x A y π??=
- ???
()1sin 326B y x π?
?=
+ ??
?
()1sin 236x C y π??
=
+ ???
()1sin 326D y x π??=
- ???
4.cot ,
2y =??
) >
^
5. 三角函数式 ① 53sin 26
y x π??=-
??
? ② 73sin 26y x π?
=+
?
③ 53sin 212y x π?
?=-
??
? ④ 23sin 23y x π?
=+
?
其中在2,63ππ??????
上的图象如图所示的函数是( )()A ③ ()B ① ② ()C ① ② ④ ()D ① ② ③ ④
二.填空题: ,
6.把函数cos sin y x x =-的图象向左平移()0m m
个单位,所得图象关于y 轴对称,则
m 的最小值是______
7。若函数具有以下性质:
2
X
3
'
3
3
(C )
X
3
·
⑴关于y 轴对称 ⑵对于任意x R ∈,都有(4)(4)f x f x +=-则()f x 的解析式
为_________________(只须写出满足条件的的一个解析式即可) 8.若[]0,2απ∈,且n cos si αα≤,求角α的取值范围_______________ 9.已知5()sin(
),(0,)33
k f x x k k Z ππ
=+≠∈且()f x 的周期不大于1,则最小正常数____________k =
三.解答题:
10.已知函数2
2
sin 2sin cos 3cos ()y x x x x x R =++∈ (1)求函数的最小正周期
(2)求函数的增区间 【
(3)函数的图象可由函数2()y x x R =
∈的图象经过怎样的变换得出
(1) 若把函数的图象向左平移(0)m m 单位得一偶函数,求m 的最小值
11.已知函数12
()log cos()34
x f x π
=+
(1) 求()f x 的定义域 (2) 求函数的单调增区间 (3) 证明直线94
x π
=是()f x 图象的一条对称轴
12.设()sin cos ,(0)f x a x b x ωωω
=+,周期为π,且有最大值()412
f π
=
(1) 试把()f x 化成()sin()f x A x ω?=+的形式,并说明图象可由sin y x =的图象经
过怎样的平移变换和伸缩变换得到
(2) 若,αβ为()0f x =的两根(,αβ终边不共线),求tan()αβ+的值
|
13.已知函数图象y=sin()A x ω?+(0,0,)2
A π
ω?
上相邻的最高点与最低点的坐
标分别为511(
,3),(,3)1212
ππ
-,求该函数的解析式.
§4-8三角函数的性质
一.选择题:
1.下列函数中同时满足下列条件的是( )
①在0,
2π??
???
上是增函数 ②以2π为周期 ③是奇函数 ()tan A y x = ()cos B y x = 1
()tan 2
C y x = ()tan
D y x =- 2.如果,,2παβπ??
∈
???
且tan cot αβ,则( )
()A αβ ()B βα 3()2
C π
αβ
+ 3()2
D παβ+ 3。已知1sin 3θ=-
且,2πθπ?
?∈-- ???,则θ可表示成( )
1
()arcsin()3
A -- 1
()arcsin()23
B π
-
+- *
1()arcsin()3
C π-+- 1
()arcsin()3
D π---
4.若sin cos 1x x +=,则sin cos n n
x x +的值是( ) ()1A ()1B - ()1C ± (()D 不确定 5。下面函数的图象关于原点对称的是( )
()sin A y x =- ()sin B y x x =- ()sin()C y x =- ()sin D y x = 6.函数sin cos y x x =+的取值范围是( )
()A ?? []()0,2A []()1,2C ()D ??
二.填空题: 7.函数()sin
cos ,2,222
x x
y x ππ=+∈-的增区间为_____________________ 8.设()f x 是以5为周期的函数,且当55,22x ??
∈-
??
?时,()f x x = (
则(6.5)_________________f =
9.设()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++,其中,,,a b αβ均为非零实数,若
(2003)3f =,则(2004)f 的值为_____________
三.解答题:
10.若
{
sin cos sin cos x y θθθθ
=+=,试求()y f x =的解析式
11.已知函数y =(1) 求函数的定义域和值域 (2) 用定义判定函数的奇偶性 (3) 作函数在[]0,π内的图象 (4) 求函数的最小正周期及单调区间 12.设函数()y f x =的定义域为R
(1) 求证:函数()y f x =关于点(,0)a 对称的充要条件是(2)()f a x f x -=- (2) `
(3)
若函数()y f x =的图象有两个不同对称点(,0)a ,(,0)b ,证明函数()y f x =是周期函数.
§4-9 三角函数的最值
一.选择题: 1.若1
()cos 22
f x x =
-的最大值为M ,最小值为N ,则( )
()30A M N -= ()30B M N += ()30C M N -= ()30D M N += 2.在直角三角形中两锐角为,A B ,则sin sin A B 的值( ) (A )有最大值
12和最小值0 (B )有最大值1
2
,但无最小值 (C )既无最大值也无最小值 (D )有最大值1,但无最小值 3.函数()22log 1sin log (1sin )y x x =++-,当,64x ππ??
∈-
????
时的值域为( ) []()1,0A - (]()1,0B - [)()0,1C []()0,1D
{
4.函数3sin cos ,,
2y x x x ππ??
=--∈???
?
,则此函数的最大值,最小值分别为( )
()1,1A - ()1,B - (C (D
1.函数()2sin(3)f x x ?=+在区间[],a b 上是增函数,且()2,()2f a f b =-=,则
()2cos(3)g x x ?=+在区间[],a b 上( )
(A )是增函数 (B )是减函数 (C )可取最大值2 (D )可取最小值2- 2.函数sin 2sin y x x =-的值域为( )
[]()3,1A -- []()1,3B - []()0,3C []()3,0D - 二.填空题:
3.函数y =的定义域为_____________值域为______ 4.函数(1sin )(1cos )y x x =++的最大值为_________最小值为__________ 5.设单位圆上的点(,)P x y ,求过点P 斜率为3
4
-
的直线在y轴上截距的最大值为________________
6.{
7.
设直角三角形两个锐角为A和B,则sin sin A B +的范围是___________
三.解答题:
8.求下列函数的最值
[]sin (1),0,2sin x
y x x π=∈+ cos (2),2sin x y x R x
=∈+ 9.已知关于x的函数2
122cos 2sin y a a x x =---的最小值为()f a ,求
()f a 的解析式。13.设函数253sin cos ,0,8
2
2y x a x a x π??=++-∈??
?
?
的最大值
为1,求实数a 的值。
10.
在某海滨城市附近有一台风,据监测,当台风位于城市O(如图)的东偏南
(θθ=方面的300km 海面P 处,并以20km h 的速度向西偏北45方向移动。台风侵袭范围为圆形区域,当前半径为60km ,并以10km h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭并会持续多长时间
一.选择题: ?
东
1.集合.6k A k Z παα??==
∈????与.36k B k Z ππββ??==+∈????
的关系为( ) ()A B A ? B A B ?)( ()C A B = ()D A B ?
2.下列函数中周期为
2
π
的奇函数是( ) ()tan cot A y x x =+ ()sin B y x = ()tan 2C y x = ()tan
2
x D y = 3.函数cos 24y x π??
=-
???
在下列区间上为增函数的是( ) ()4,4
5A ππ???
???
()5,8
8B ππ???
???
()3,08C π??-
???? ()3,44D ππ??-????
4.将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的
1
2
(纵坐标不变),再把所得图象向左平移
6
π
个单位,得到的函数解析式为( ) ()sin 26A y x π??
=+
??
?
()sin 23B y x π??
=+
?
?
?
()sin 26x C y π??
=+
???
()sin 212x D y π??=+
??
?
5.2
2
sin
cos 12
12
π
π
-的值为( )
()12A -
()1
2
B ()2
C - ()2D
·
6.已知θ为锐角,且sin 2a θ=,则sin cos θθ+的值为( )
(
A ()1)1
B a + ()
C ± (D
7.若cos cos 0,442π
ππθθθ??????
-+=∈
? ? ???????
,则sin 2θ为( )
()
A ()
B ()
C ()D
8.函数3sin 63y x x ππ????=-++ ? ?????
的最大值是( )
(
A ()
B ()
C ()
D 非以上答案
9.要得到函数sin cos y x x =-的图象,可以把函数sin cos y x x =+的图象( )
()A 右移
2π ()B 右移4π ()C 左移2π ()D 左移4
π 10.若对任意实数a ,函数21
5sin 3
6k y x ππ+??=-?
???()k N ∈在区间[],3a a +上的值
54出现不少于4次且不多于8次,则k 的值为( )
()2A ()4B ()3C 或4 ()2D 或3
~
二.填空题:
11.等腰三角形底角的正弦与余弦的和为
2
___________ 12.若θ为锐角,且5sin 313
πθ??
-
= ?
?
?,则sin ______θ= 13.tan 30x -≥的解集区间为_____________________
14.下列命题中正确的序号为______________________(你认为正确的都写出来) ①sin cos y x x =的周期为π,最大值为
12
②若x 是第一象限的角,则sin y x =是增函数 ③在ABC ?中若sin sin A B =则A B =
④()sin cos f x x x =+既不是奇函数,也不是偶函数 ⑤.0,
2παβ??
∈ ???
且cos sin αβ则2
π
αβ
+
!
⑥cos 24y x π??
=+ ??
?
的一条对称轴为8
x π
=-
三.解答题:
15. 化简3131cos cos 33k k παπα+-????+++ ? ?????
16 已知tan ,tan αβ是方程2420x x --=的两个实根,
求2
2
cos ()2sin()cos()2sin ()αβαβαβαβ++++-+的值
17.已知函数(
)25sin cos f x x x x =-+
x R ∈ ⑴求()f x 的最小正周期 ⑵确定函数()f x 的递减区间 ⑶确定()f x 的最大值与最小值,并写出对应的x 的集合 ⑷该函数图象可由函数sin 2y x =图象经过怎样的变换得到
|
18. 已知函数sin(),(0,0)2
y A x A
π
ω?ω
?
=+的图象在y 轴右侧的第一个最高点
为(2,M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点(6,0)N ,求这个函数的解析式。
19.求证:3cos34cos 3cos ααα=-
》
20.如图所示,某市现有自市中心O 通往正西和东北方向的两条重要公路。为解决该市区
交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路。分别在到往正西和东北方向的公路上选取A
.B 两点,使环城公路A .B间为直线段.要求AB路段与市中心O的距离为10
东
北
三角函数参考答案:
ξ4-1.任意角的三角函数.
1.C,2.C,3.A,4.B,5.B,6.三,一或三,7.32
π-
8.
(][),22,-∞-?+∞,9.二,10.
23
或,23
-
,12.0
ξ4-2.同角三角函数的基本关系及诱导公式.
1.A,2.A,3.C,4.A,5.B,6.A,7.2
cos
α-,8.
103,9.0,10.103
,
11.⑴.2-910,13.-2
α
第一象限角时为2sec
2
α
,
当
2
α
是第三象限角时为2sec 2α-
ξ4-3.两角和与差的三角函数.
1.B,2.A,3.B,4.D,5.1-,7.5972
,8.2,9.1,11.4π
ξ4-4.二倍角的正弦、余弦、正切.
1.B,2.B,3.D,4.B,5.A,6.247
,
8.2-+75
,11.1,12.
4
ξ4-5.三角函数的化简与求值.
1.A,2.C,3.C,4.B,5.A,6.π,7.120119-,8.1116,9.1
16
,10.sin cos αα-
或sin cos 2αα+-,11.125
,1313
,13.13
7
ξ4-7.三角函数的图象.
1.D,2.A,3.B,4.C,5.C,6.
34
π,7.cos
4y x π
=,8.357,,4444ππππ????
???????
?,9.2,10.⑴.π,⑵.
3,.88k k k Z ππππ?
?-+∈????
,⑶.左移8π个单位,上移2
个单位,⑷ .
8
π,
11.⑴936,6.44
k k k Z πππ
π??-
+∈ ??
?,⑵.336,6.44k k k Z ππππ?
?
-+∈
??
?
,
12.⑴.
()4sin 23f x x π??=+ ???
,⑵.sin 23y x π?
?=- ??
?
ξ4-8.三角函数的性质.
1.C,2.C,3.D,4.A,5.B,6.D,72,32ππ??
-????
,8.1.5,9.5,10.21.22x y x -=≤,11.⑴.定义域R ,
值域2??,
⑵.偶函数,⑷.周期π,增区间
,2k k ππππ??
++????
,减区间
,.2k k k Z πππ?
?+∈???
?
ξ4-9.三角函数的最值.
1.C,2.B,3.A,4.D,5.C,6.B,7.定义域
5,.44k k k Z ππππ?
?++∈???
?,
值域0,??,
8.
32,9.54
,10.(
,11.⑴.10,3??
????
,⑵.????
12.
()2122142
12
a
a a f a a
a a ?---≤??
=-?-???
,13.3
2
a
=
,14.14小时,持续12小时
单元测试题.
选择题:1.B,2.C,3.C,4.B,5.C,6.A,7.B,8.B,9.A,10.D 填空题:11.6π或56π
arctan3,.2k k k Z πππ?
?++∈???
?,14.①③④⑤⑥
解答题:15.
(
)
(
)
1cos .R
k Z
αα-∈,16.
1
25
,17.⑴.
T π
=,
⑵.
511,.1212k k k Z ππππ??++∈????
,⑶.当.12
x k k Z π
π=-
∈时,()f x 的最小值为
-5,当5.12x k k Z ππ=+
∈时,()f x
的最大值为5,18.8
4y x π
π??=+ ???
20.设,则BAO θ∠=,则
10cot AC θ= ,10tan 4BC πθ??
=+ ???
10cot tan 4AB πθθ??
??=++ ??????
?11tan 10tan 1tan θθθ+??=+ ?-?? 令tan t
θ
=0,2
πθ??
∈ ??
?
0t
∴而111t
y t t
+=+
- 整理得:()2110y t yt +-+=
由0≥?得:2y ≥+1t =(符合条件)
故
(201AB ≥ 即AB 最小值为(201
三角函数知识点及题型归纳
三角函数高考题型分类总结 一.求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->,则cos θ= . 2.α是第三象限角,2 1)sin(= -πα,则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -,,则αcos = tan 2α= 4.下列各式中,值为 2 3 的是 ( ) (A )2sin15cos15?? (B )?-?15sin 15cos 22(C )115sin 22-?(D )?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ,则α的取值范围是: ( ) (A),32ππ?? ??? (B),3ππ?? ??? (C)4,33ππ?? ??? (D)3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+,02 x π ≤< ,则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-,则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ,,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 . 6.将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位,所得图像关于y 轴对称,则n 的最小正值是 A . 6π7 B .3π C .6π D .2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( ) A .1 B .2 C .3 D .2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( ).
高中文科数学三角函数知识点总结
三角函数知识点 一.考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二.知识点 1.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x +
(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。 (2)商数关系: ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2παα??+= ???,cos sin 2παα??+=- ??? . x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o
三角函数经典例题
经典例题透析 类型一:锐角三角函数 本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值,都是中考中的热点.明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义,熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础,通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大,余弦随角度增大而减小. 1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知,BC=2,那 么( ) A.B.C.D. 思路点拨:由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中,又已知AC和BC,故只要求出AB或CD即可. 解析: 解法1:利用三角形面积公式,先用勾股定理求出 ,∴. ∴. 解法2:直接利用勾股定理求出, 在Rt△ABC中,.答案:A 总结升华:求直角三角形中某一锐角三角函数值,利用定义,求出对应两边的比即可. 2.计算:(1)________; (2)锐角A满足,则∠A=________. 答案:(1);(2)75°. 解析:(1)把角转化为值.(2)把值转化为角即可. (1).
(2)由,得, ∴.∴A=75°. 总结升华: 已知角的三角函数,应先求出其值,把角的关系转化为数的关系,再按要求进行运算.已知一个三角函数值求角,先看看哪一个角的三角函数值为此值,在锐角范围内一个角只对应着一个函数值,从而求出此角. 3.已知为锐角,,求. 思路点拨:作一直角三角形,使为其一锐角,把角的关系转化为边的关系,借助勾 股定理,表示出第三边,再利用三角函数定义便可求出,或利用求出 ,再利用,使可求出. 解析: 解法1:如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=,由,可设,. 则, ∴. 解法2:由,得 , ∴. 总结升华:知道一锐角三角函数值,构造满足条件的直角三角形,根据比的性质用一不为0的数表示其两边,再根据勾股定理求出第三边,然后用定义求出要求的三角函数值.或 利用,来求.
三角函数知识点及典型例题
三角函数知识点及典型例题 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合:{} |360,S k k Z ββα==+?∈ . §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l =α. 3、弧长公式: R 4、扇形面积公式: S=21 lr=2 1αr 2. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么: x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点,那么:(设2020y x r +=) _______ sin r y =α,________cos r x =α,_____tan x y =α. 3、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余 和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一: ()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k (Z k ∈) 5、 特殊角0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系:2 2 sin cos 1αα+=.2、 商数关系:sin tan cos α αα =. §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二:()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 2、诱导公式三:()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四: ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五:._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=?? ? ??-=??? ??-
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号 第一章:三角函数 §、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合: {}Z k k ∈+=,2παββ. §、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式:R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式:lR R n S 2 1 3602== π. §、任意角的三角函数 y =α αcos ,sin 1、 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么: 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点,那么: (设r = sin y r α= ,cos x r α=,tan y x α=,cot x y α= 3、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 5、 特殊角 . 1、 平方关系:1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系:α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系:tan cot 1αα= §、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限”Z k ∈) 1、 诱导公式一:、 诱导公式二: ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+(其中:Z k ∈) 3、诱导公式三: 4、诱导公式四: ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五: 6、诱导公式六: .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中 心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为: 30010-1202 2 π π ππ(,)(,,)(,,)(,,)(,,). §、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象: 2、记住余切函数的图象: 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义:对于函数()x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有()(),那么函数()x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 第9课时 三角函数的最值 典型例题 例1. 求下列函数的最值. ⑴ y = x x x cos 1sin 2sin -?;⑵ y =2 cos( 3 π +x)+2cosx ;⑶ x x y cos 3sin 1++= . 解:(1) y =x x x x x x cos 2cos 2cos 1sin cos sin 22 +=-??=2 1)21(cos 22-+ x ∴ 当cosx =2 1-时,y min =2 1-∵ cosx ≠1∴ 函数y 没有最大值。 (2) y =2cos(x +3 π )+2cosx=2cos x x x cos 2sin 3 sin 2cos 3 +-π π =3cosx - 3 sinx=2 3 cos(6 π + x ) ∴当cos(6 π +x )=-1时,y min =-3 2 当cos(6 π + x )=1时,y max =3 2 (3) 由x x y cos 3sin 1++= 得sinx -ycosx =3y -1∴ ) sin(12 ?++x y =3y -1 (tan ?=-y) ∵|sin(x +?)|≤1 ∴|3y -1|≤ 1 2 +y 解得0≤y≤4 3 故x x y cos 3sin 1++= 的值域为[0,43 ] 注:此题也可用其几何意义在求值域. 变式训练1:求下列函数的值域: (1)y= x x x cos 1sin 2sin -;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos ) 3 ( x +π +2cosx. 解 (1)y= x x x x cos 1sin cos sin 2-= x x x cos 1) cos 1(cos 22 --=2cos 2x+2cosx=22 ) 21(cos + x -2 1 . 于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx≠1,∴y <4,且y min =-2 1,当且仅当cosx=-2 1 时取得. 故函数值域为? ? ? ???-4,21.(2)令t=sinx+cosx,则有t 2 =1+2sinxcosx,即sinxcosx= 2 12 -t . 有y=f(t)=t+2 12 -t = 1 )1(2 12 -+t .又t=sinx+cosx= 2 sin ) 4 (π + x ,∴- 2 ≤t≤ 2 . 故y=f(t)= 1 )1(2 12 -+t (- 2 ≤t≤2 ),从而知:f(-1)≤y≤f( 2 ),即-1≤y≤ 2 +2 1 .即函数的值域为?? ??? ?+ -212, 1. (3)y=2cos ) 3 ( x +π +2cosx=2cos 3 π cosx-2sin 3 π sinx+2cosx=3cosx- 3 sinx=23??? ? ??-x x sin 21cos 23=2 3 cos ) 6 (π + x . ∵ ) 6 cos(π +x ≤1∴该函数值域为[-2 3 ,2 3 ]. 例2. 试求函数y =sinx +cosx +2sinxcosx +2的最大值与最小值,又若] 2,0[π ∈x 呢? 解: 令t =sinx +cosx 则t ∈[- 2 , 2 ]又2sinx +cosx =(sinx +cosx)2-1=t 2-1 ∴y =t 2+t +1=(t +2 1 )2+4 3,显然y max =3+2 若x ∈[0, 2 π ] 则t ∈[1, 2 ] y =(t +2 1 )+4 3 在[1, 2 ]单调递增.当t =1即x =0或x = 2 π 时,y 取最小值3.当t =2 即x = 4 π 时,y 取 最大值3+ 2 . 变式训练2:求函数3()co s (sin co s ) , 44f x x x x x x ππ?? =-+∈-???? 的最大值和最小值. 高中数学必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制: (1)在直角坐标系内讨论角: 注意:若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。 (2)①与α角终边相同的角的集合:},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合: ; 与α角终边关于x 轴对称的角的集合: ; 与α角终边关于y 轴对称的角的集合: ; 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合: (3)区间角的表示: ①象限角:第一象限角: ; 第四象限角: ; 第一、三象限角: ; ②写出图中所表示的区间角: (4)由α的终边所在的象限, 来判断2α所在的象限,来判断3 α所在的象限 (5)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零; 任一角α的弧度数的绝对值r l =||α,其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。 (6)弧长公式: ;半径公式: ;扇形面积公式: ; 练习:已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。(22cm ) 二、任意角的三角函数: (1)任意角的三角函数定义: 以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系 I )在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则=αsin ;=αcos ;=αtan (注意r>0) 练习:已知角α的终边经过点P(5,-12),则ααcos sin +的值为__。 角α的终边上一点)3,(a a -,则=+ααsin 2cos 。 II )作单位元交角α的终边上点),(y x P ,则=αsin ;=αcos ;=αtan (2)在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切 线; 练习: (1)若α为锐角,则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ (sin tan ααα<<) (2)函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33x k x k k Z ππππ??∣- <≤+∈???? (3)特殊角的三角函数值: 三、同角三角函数的关系与诱导公式: (1)同角三角函数的关系 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:2 2 2 c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. 角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z (2)终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k∈Z).终边与角α相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z (3)弧度制 ①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= ④若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 2.任意角的三角函数定义 设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ,y ) ,它与原点的距离为( r r = ,那么角α的正弦、余弦、正切 分别是:sin α=错误!,co s α=错误!,tan α=错误!.(三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、 三正切、四余弦) 3.特殊角的三角函数值 三角函数经典题目练习 1.已知α123 1、已知角 2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f 3、已知 象限1. 已知π2 2.设0≤α是 . sin αtan x 若<0___. 5 3 sin +-= m m θ,524cos +-=m m θ(πθπ<<2),则 =θ________. 1tan tan αα,是关于x 的方程2230x kx k -+-=的 个实根,且παπ2 7 3<<,则ααsin cos +的值 . 0)13(22=++-m x x 的两根为 ()πθθθ2,0,cos ,sin ∈,求(1)m =_______ (2)θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________. α )4 15 tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ?? ? ??-θπ23= α终边上P (-4,3), ) 2 9sin()211cos() sin()2 cos(απαπαπαπ +---+= . 已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2,-2cos2),α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θ θtan 1tan 1_________ tan 20tan 4020tan 40?+????= α∈(0, 2π),若sin α=5 3 ,则2cos(α+4π)= . 3 36 cos = ?? ? ??-απ,则?? ? ??+απ6 5cos =______,)6 5απ -- =_____.. 【知二求多】 1、已知cos ??? ??-2βα= -54,sin ??? ? ? -2αβ=135,且 0<β<2π<α<π,则cos 2 βα+=____. 2已知tan α=43,cos(α+β)=-14 11 , α、β为锐角, 则cos β=______. 【方法套路】 1、设2 1sin sin =+βα,31 cos cos =+βα,则 )cos(βα-=___ . 2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0,则 αβαtan )tan(+= . 3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα 【给值求角】 1tan α=7 1 ,tan β=3 1,α,β均为锐角,则 α+2β= . 2、若sinA= 55,sinB=10 10,且A,B 均为钝角, 则A+B= . 【半角公式】 1α是第三象限,2524 sin - =α,则tan 2 α= . 2、已知01342 =+++a ax x (a >1)的两根为αtan , βtan ,且α,∈β ??-2 π,?? ? 2π, 则2 tan βα+=______ 3若 cos 22π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?,则cos sin αα+= . 4、若??????∈27,25ππα,则 ααsin 1sin 1-++= 5x 是第三象限角 x x x x x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++ ++-+=______ 【公式链】 1=+++οοοοΛ89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3(1+tan1o )(1+tan2o )…(1+tan45o )=_______ 六、给值求角 已知3 1 sin - =x ,写出满足下列关系x 取值集合 ] 3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x 七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________ 2、1)3 2tan(-- =π x y 定义域为_________ 【值域】 1、函数y =2sin ???? πx 6-π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________ 2、若函数g (x )=2a sin x +b 的最大值和最小值分别为6和2,则|a |+b 的值为________ 3、函数x x y sin 2sin 1+-= 的值域 4、函数x x y cos 1sin 21+-=的值域 5、函数x x y sin 2cos -=的值域 【解析式】 1、已知函数f (x )=3sin 2ωx -cos 2ωx 的图象关于直 线x =π 3 对称,其中ω∈????-12,52.函数f (x )的解析式为________. 2、已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π 2 ) 的图象在y 轴上的截距为1,在相邻两最值点(x 0, 2),??? ?x 0+32,-2(x 0>0)上f (x )分别取得最大值和最小值.则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移 10 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是___________ 4、()()sin f x A x h ω?=++(0,0,)2A π ω?>>< 的图象 如图所示,求函数)(x f 的解析式; 三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值: (1)平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= (2)倒数关系:sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, (3)商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 = = αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-, 2()()αβαβα=+--,22 αβαβ++=?,()( ) 222αββ ααβ+=---等), (2)三角函数次数的降升(降幂公式:21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式:21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=)。如 (; (3)常值变换主要指“1”的变换(221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等),. 。 (4)周期性:①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π;②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 (5)单调性:()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增,在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减;cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒,别忘了k Z ∈! (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数: 1几个物理量:A ―振幅;1 f T =―频率(周期的倒数); x ω?+― 相位;?―初相; 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定:A 由周 期确定;?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>,||)2 π?<()f x =_____(答:15()2sin()23 f x x π =+); 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法:①“五点法”――设X x ω?=+,令X =0,3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系:①函数sin y x =的图象纵坐标不变,横坐标向左(?>0)或向右(?<0)平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象;②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的 1 ω ,得到函数 ()sin y x ω?=+的图象;③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ω?=+的图象;④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变,纵坐标向上(0k >)或向下(0k <),得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意,若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象,则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位,如 (1)函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象? 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化: ,23600π= ,1800 π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式:r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: 记忆口诀:一全正,二正弦,三两切,四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1 (2)商数关系:ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式: 记忆口诀:把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. x y O — + + — + y O — + + — 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角:顺时针防线旋转正角:逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合:{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:Z k k ∈-=,βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则α与角β的关系:Z k k ∈-+=,βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则α与角β的关系:Z k k ∈+=,βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则α与角β的关系:Z k k ∈++=, 90180βα 4. 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ,则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式: 1rad =(π 180)°≈57.30° 1°=180 π 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角:? ?? ? ??∈+< 第 1 页 共 1 页 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+,211 22 S lr r α= =. 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是 () 220r r x y =+>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正, 第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:sin α =MP ,cos α=OM ,tan α=AT . 三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1.最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先,T =2π是函数的周期(事实上,因为co s(-x )=co s x ,所以cos |x |=co s x );其次,当且仅当x =k π+ 2 π 时,y =0(因为|2co s x |≤2<π), 所以若最小正周期为T 0,则T 0=mπ, m∈N +,又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co sπ),所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中,周期为 2π 的是 ( ) A .sin 2x y = B .sin 2y x = C .cos 4 x y = D .cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ,其中0ω>,则ω= 3.(04全国)函数|2 sin |x y =的最小正周期是( ). 4.(1)(04北京)函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . (2)(04江苏)函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为( ). 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A .最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.(浙江卷2)函数的最小正周期是 . 2.三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+,求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤,所以ππ θπ≤+≤4 2, 所以)4 sin(0π θ+≤≤1, 所以当πθ43=,即x =2k π-2 π (k ∈Z )时,y m in =0, 当4 π θ= ,即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时,y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++ 2 三角函数知识点 1)巧变角 (已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角 的变 换、两角与其和差角的变换 . 如 ( ) 2 ( ) ( ) , (1) 平方关 系: 2 sin cos 2 1,1 tan 2 2 sec ,1 cot 22 csc (2) 倒数关系: sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1, ( 3) 商数关 系: tan sin ,cot cos cos sin 两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式及倍角公式 : sin sin cos cos sin 令 sin2 2sin cos cos cos cos m sin sin 令 cos2 2 cos 2 1 1 2sin 2 tan 1mtan tan 2 sin = 1 cos2 tan2 2tan 1 tan 2 (2) 三角函数次数的降升 (降幂公式: 2 1 cos2 2 cos , sin 1 cos2 2 与升幂 2 2 等), 3 、 2 cos = 1+cos2 2 2cos tan tan sin 2 公式:1 cos2 2cos2,1 cos2 2sin 2 2 (3) 常值变换主要指“ 1”的变换 ( 1 sin 2 x cos 2 x tan 4 sin 2 L 等), 4)周期性 :① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ;② f ( x) A sin( x )和 f ( x) A cos( x )的最小正周期都是 T | 2 | 。如 5 )单 调 性 : y sin x 在 2k , 2k 2 kZ 2 上单 调递增, 在 2k ,2k 3 k Z 单调递减; y cos x 在 2k ,2 k kZ 上单调递减, 在 2 2 2k ,2k 2 k Z 上单调递 特别提别忘了 k Z ! (6) 、形如 y A sin( x ) 的函数: 1 几个物理量 : A ―振幅;f 1 ―频率(周期的倒数); 相位; ―初相; 2 函数 y A sin( x ) 表达式的确定 :A 由最值确定; 期 确 定 ; 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如 f (x) Asin( x )(A 0, 0,| | ) 的图象如图所示, 2 3 函数 y Asin( x ) 图象的画法 :①“五点法”――设 X x ,令 X =0 , , , ,2 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法: 22 这是作函数简图常用方法。 4 函数 y A sin( x ) k 的图象与 y sin x 图象间的关系 :①函数 y sin x 的图象 纵 坐标不变,横坐标向左( >0 )或向右( <0 )平移 | | 个单位得 y sin x 的图 象; ②函数 y sin x 图 象的纵坐 标不 变, 横坐标变为原 来的 1 ,得到函 数 y sin x 的图象;③函数 y sin x 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍, 得到函数 y A sin( x ) 的图象;④函数 y Asin( x ) 图象的横坐标不变,纵坐 标向上( k 0 )或向下( k 0 ),得到 y Asin x k 的图象。要 特别注意 , 若由 y sin x 得到 y sin x 的图象,则向左或向右平移应平移 | | 个单位, 如 1 )函数 y 2sin( 2 x ) 1的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的图象? (; 22 sec x tan x tan x cot x 2sin(15x 2 由周 则 f ( x) f ( x)三角函数知识点归纳
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