《边界元法》

《边界元法》课程教学大纲

课程名称：边界元法

英文名称：boundary element method

课程编码：51416018

学时/学分：36/2

课程性质：必修

适用专业：工程力学

先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等

一、课程的目的与任务

本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。

二、教学内容及基本要求

第一章引言

教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法

的基础条件。

教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。难点怎么利用积分法解微

分方程的基本解。

教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法

相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为

边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的

分片插值求解的数值方法。

课时安排：1学时

教学内容：

第一节边界元法的数学基础

第二节边界元法的发展历史

第三节我国边界元法研究概况

第四节边界元法研究的最新进展

第五节边界元法的应用举例

第六节边界元法的优缺点

第七节本书的内容安排

复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。

考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。

第二章位势问题的边界积分方程与边界元法

教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中

的边界条件，了解珀松方程的基本概念。要求学生能够利用微

积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林

(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方

程。能够熟练的采用最简单的常用单元说明边界积分方程的离

散化方法。能够熟练的简述珀松(Poisson)方程和多连域问题的

边界元法。

教学重点和难点：重点讲解求解多连域珀松方程问题的计算程序和数值计算，以

及数值积分所使用的一维、二维高斯方程积分公式。难点求解

方程的方法和计算程序的确定。

教学方法与手段：采用多媒体教学，结合实例。

课时安排：4学时

教学内容：

第一节调和方程的基本定解问题

第二节Green等式、基本解及解的积分表达式

第三节边界积分方程的建立

第四节对于一般问题的推广

第五节位势问题的边界元法简介

复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布

置作业1～2题。

考核知识点：拉普拉斯(Laplace)方程的求解方法、格林(Green)定理和珀松(Poisson)方程。

第三章线弹性静力学问题的边界积分方程

教学目的和要求：掌握静力学线弹性问题的边界元方法，理解和掌握根据基本解的物理意义，能够利用弹性力学方法求出平面弹性问题的基本解。能够

由按位移求解平面弹性问题的基本方程和基本解出发，应用积分定

理，求解积分方程和边界积分方程，并用常用单位进行离散化求解。

了解具有体积力的弹性问题解法，以及对无限域问题进行讨论。

教学重点和难点：重点掌握线弹性问题的边界元的解法，能够利用弹性力学知识求平面弹性问题。难点弹性问题中的应力、应变和位移等矢量场的确定，

以及积分和微分方程的求解方法。

教学方法与手段：采用多媒体教学。

课时安排：6学时

教学内容：

第一节线弹性静力学定解问题的微分提法

第二节Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式

第三节线弹性静力学的边界积分方程

第四节建立基本解的一种一般方法

复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。

考核知识点：Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式，线弹性静力学的边界积分方程。

第四章几种常见的直接法和间接法边界积分方程

教学目的和要求：掌握核函数的扩充，变截面轴的扭转问题，弹性薄板弯曲问题，半空间、半平面问题，位势问题的间接法边界积分方程，位移间断法

建立的边界积分方程等知识。要求学生能熟练的求解弹性薄板弯曲

问题的基本边界积分方程和弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方

程。

教学重点和难点：本章重点掌握弹性裂纹问题的对偶边界积分方程和位势问题的间接

法边界积分方程。重点域外回线虚载荷法建立的回线积分方程和域

外奇点法建立的边界积分方程求解方法。

教学方法与手段：采用多媒体教学。

课时安排：4学时

教学内容：

第一节核函数的扩充

第二节回转体问题

4.2.1 变截面轴的扭转问题

4.2.2 轴对称问题

4.2.3 回转体的弯曲问题

第三节弹性薄板弯曲问题

4.3.1 弹性薄板弯曲问题的微分提法

4.3.2 弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程

4.3.3 弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程

第四节弹性裂纹问题的对偶边界积分方程

4.4.1 位移边界积分方程

4.4.2 面力边界积分方程

第五节半空间、半平面问题

4.5.1 半空间问题

4.5.2 半平面问题

第六节位势问题的间接法边界积分方程

第七节虚应力法建立的边界积分方程

第八节位移间断法建立的边界积分方程

第九节域外回线虚载荷法建立的回线积分方程

第十节域外奇点法建立的边界积分方程

第十一节边界积分方程的正则化和基本解的恒等式

复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。

考核知识点：弹性薄板弯曲问题、半空间、半平面问题。

第五章二维问题的边界元数值方法与程序实现