指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

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一、幂函数

1、幂的有关概念

正整数指数幂:

零指数幂:...()n n

a a a a n N =∈A

1(0)

a a =≠负整数指数幂:

1

(0,)p p

a a p N a -=

≠∈分数指数幂:正分数指数幂的意义是:

0,,,1)

m

n

a a m n N n =>∈>且负分数指数幂的意义是:

1

0,,,1)

m n

m n

a

a m n N n a

-

=

=

>∈>且2、幂函数的定义

一般地,函数叫做幂函数,其中x 是自变量,a 是常数(我们只讨论a 是有理数

a

y x =的情况).

3、幂函数的图象

幂函数a

y x =当时的图象见左图;当

时的图象见上图:11,,1,2,332a =12,1,2a =---

由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:

有下列性质:a y x =(1)时:

0a >①图象都通过点,;

(0,0)(1,1)②在第一象限内,函数值随的增大而增大,即在上是增函数.x (0,)+∞(2)时:

0a <①图象都通过点;

(1,1)②在第一象限内,函数值随的增大而减小,即在上是减函数;

x (0,)+∞③在第一象限内,图象向上与轴无限地接近,向右与轴无限地接近.

y x (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点;

(4)任何幂函数图象都不经过第四象限;(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.

二、指数函数

①定义:函数称指数函数,

)1,0(≠>=a a a y x

且1)函数的定义域为R ;2)函数的值域为;

),0(+∞3)当时函数为减函数,当时函数为增函数.10<a 4)有两个特殊点:零点,不变点.

(0,1)(1,)a 5)抽象性质: ()()(),()()/()

f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数

如果(,),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作b a N =0a >1a ≠log a N b

=(,,).

log b a a N N b =⇔=0a >1a ≠0N >1.对数的性质

()log log log a a a MN M N

=+log log log a

a a M

M N N =-.(,,)

b m n

b a n a m log log =

( a, b >

log log n a a M n M =00M N >>,0a >1a ≠0且均不为1)

2.换底公式: ( a > 0 , a ≠ 1 ;)

log log log m a m N N a

=

0,1m m >≠常用的推论:

(1) ;

1log log log =⋅⋅a c b c b a .

log log 1a b b a ⨯=(2) (、且均不为1).

log log m n a a n

b b m =

a 0b >1

log log 1N N

a a m

n n m ==(3)

01log =a ,1log =a a (4)对数恒等式N a N a =log .

一、对数函数的图像及性质

①函数(,)叫做对数函数

log a y x =0a >1a ≠②对数函数的性质:定义域:; 值域:R ; 过点,即当时,

(0,)+∞(1,0)1x =.

0y =当时,在(0,)上是增函数;当时,在(0,)上是减函0a >+∞01a <<+∞数.

二、对数函数与指数函数的关系

对数函数与指数函数图像关于直线对称.log a y x =x y a =y x =指数方程和对数方程主要有以下几种类型:

(定义法)

()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=(转化法)

()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>

(取对数法)

()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔=

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