指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

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一、幂函数
1、幂的有关概念
正整数指数幂：
零指数幂：...()n n
a a a a n N =∈A
1(0)
a a =≠负整数指数幂：
1
(0,)p p
a a p N a -=
≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：
0,,,1)
m
n
a a m n N n =>∈>且负分数指数幂的意义是：
1
0,,,1)
m n
m n
a
a m n N n a
-
=
=
>∈>且2、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数(我们只讨论a 是有理数
a
y x =的情况)．
3、幂函数的图象
幂函数a
y x =当时的图象见左图；当
时的图象见上图：11,,1,2,332a =12,1,2a =---
由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：
有下列性质：a y x =(1)时：
0a >①图象都通过点，；
(0,0)(1,1)②在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在上是增函数．x (0,)+∞(2)时：
0a <①图象都通过点；
(1,1)②在第一象限内，函数值随的增大而减小，即在上是减函数；
x (0,)+∞③在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
y x (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
二、指数函数
①定义：函数称指数函数，
)1,0(≠>=a a a y x
且1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为；
),0(+∞3）当时函数为减函数，当时函数为增函数.10<<a 1>a 4）有两个特殊点：零点，不变点.
(0,1)(1,)a 5）抽象性质： ()()(),()()/()
f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数
如果（，），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b a N =0a >1a ≠log a N b
=（，，）．
log b a a N N b =⇔=0a >1a ≠0N >1．对数的性质
．
．
()log log log a a a MN M N
=+log log log a
a a M
M N N =-．（，，）
b m n
b a n a m log log =
（ a, b >
log log n a a M n M =00M N >>，0a >1a ≠0且均不为1）
2．换底公式： ( a > 0 , a ≠ 1 ；)
log log log m a m N N a
=
0,1m m >≠常用的推论：
（1） ；
1log log log =⋅⋅a c b c b a ．
log log 1a b b a ⨯=（2） （、且均不为1）．
．
log log m n a a n
b b m =
a 0b >1
log log 1N N
a a m
n n m ==（3）
01log =a ，1log =a a （4）对数恒等式N a N a =log ．
一、对数函数的图像及性质
①函数（，）叫做对数函数
log a y x =0a >1a ≠②对数函数的性质：定义域：； 值域：R ； 过点，即当时，
(0,)+∞(1,0)1x =．
0y =当时，在（0，）上是增函数；当时，在（0，）上是减函0a >+∞01a <<+∞数．
二、对数函数与指数函数的关系
对数函数与指数函数图像关于直线对称．log a y x =x y a =y x =指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（转化法）
()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>
(取对数法)
()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔=。