中考数学类比探究型几何综合题专题训练(含答案与解析)

中考数学类比探究型几何综合题专题训练

【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究

〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．

（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．

（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．

①求证：AC＝BD；

②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；

③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．

〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：

（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．

（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．

〖尝试练习〗

1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．

（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；

（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；

（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．

2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）探究猜想

如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：；

②BC、CD、CF之间的数量关系为：；

（2）深入思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD ＝1

4

BC，请求出OC的长．

3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．

（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．

求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；

（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．

【类型2】通过形状变化进行类比探究

〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．

（1）求证：CE＝BD；

（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．

〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC ＝PE，PF交CD于点F．

（1）求证：∠PCD＝∠PED；

（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；

（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．

〖尝试练习〗

4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．

（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；

（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．

（1）如图1，求证：AC∥DE；

（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；

（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．

6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作平行四边形ECFG．

（1）求证：四边形ECFG是菱形；

（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？

（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．

【自主反馈】

7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．

（1）求∠DFC的度数；

（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．

①补全图形（图2中完成）；

②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．

8．已知△ABC是等腰三角形．

（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD ≌△ACE；

（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．

①求∠AED的度数；

②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．

（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；

（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；

（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M 是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．

（1）如图①，连接CD，则CD的长为；

（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．

①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；

（3）如图③，则△CEF的周长为．