“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷(小高组)

2010年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）
一、填空题（共15小题，每小题0分，满分0分）
1．2010+2.6×26﹣×14＝．
2．下表是人民币存款基准利率表．小明现在有10000元人民币，如果他按照三年期整存整取的方式存款，三年后他连本带利一共能从银行拿到元人民币．
三个月半年一年三年五年
整存整取时
间
年利率（%）1.71 1.98 2.25 3.33 3.60
3．如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的倍．
4．有一块用于实验新品种水稻的试验田形状如图，面积共40亩，一部分种植新品种，另一部分种植旧品种（种植面积不一定相等），以方便比较成果．旧品种每亩产500千克；新的品种中有75%都没有成功，每亩只产400千克，但是另外25%试验成功，每亩产800千克．那么，这块试验田共产水稻千克．
5．在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数的差是
．
6．直角边长分别为18厘米，10厘米的直角△ABC和直角边长分别为14厘米，4厘米的直角△ADE如图摆放．M为AE的中点，则△ACM的面积为平方厘米．
7．黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5，每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上第5种数字（例如，擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各1个，写上1个1…）．如果经过若干次有限的操作后，黑板上恰好有两个数字，则这两个数字的乘积是多少？
8．蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下．每个正六边形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2．春节到来之时，群蜂将在巢上跳起舞步，舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个2出发最后走完四步后又回到2，如图中箭头所示为一个舞步），且蜜
蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上．蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为2010，共有种方法．
9．在反恐游戏中，一名“恐怖分子”隐藏在10个排成一行的窗户后面，一位百发百中的“反恐精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子”．“反恐精英”
只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子”．每次射击完成后，如果“恐怖分子”没有被射中，他就会向右移动一个窗户．一旦他到了最右边的窗户，就停止移动．为了确保射中这名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射击次．
10．如图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于多少平方厘米？
11．用1﹣9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数，那么，其中四位完全平方数最小是．12．现有一块L形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成三部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切．要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为平方厘米．
13．小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚了1.5小时．那么，甲、乙两地全程千米．
14．9000名同学参加一次数学竞赛．他们的考号分别是1000，1001，1002，…
9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不样）差为2010的倍数，那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有对．15．小华编了一个计算机程序．程序运行后一分钟，电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡，接下来每到整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡，数量与第一分钟出现的相同．第11次出现肥皂泡后半分钟，有一个肥皂泡破裂．以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂，且数量比前一分钟多1个（即第12次出现肥皂泡后半分钟，有2个肥皂泡破裂…）．到某一时刻，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序运行的整个过程中，在电脑屏幕上最多同时有个肥皂泡出现．
2010年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）
参考答案与试题解析
一、填空题（共15小题，每小题0分，满分0分）
1．2010+2.6×26﹣×14＝2058 ．
【解答】解：2010+2.6×26﹣×14
＝2010+67.6﹣19.6
＝2077.6﹣19.6
＝2058
故答案为：2058．
2．下表是人民币存款基准利率表．小明现在有10000元人民币，如果他按照三年期整存整取的方式存款，三年后他连本带利一共能从银行拿到10999 元人民币．
整存整取时
三个月半年一年三年五年
间
年利率（%）1.71 1.98 2.25 3.33 3.60
【解答】解：10000+10000×3.33%×3
＝10000+999
＝10999（元）
答：三年后他连本带利一共能从银行拿到 10999元人民币．
故答案为：10999．
3．如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长
的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的43 倍．
【解答】解：假设小正方体棱长是1，大正方体棱长就是6，大正方体露在外面的表面积是6×6×6﹣1＝215，小正方体露在外面的表面积是5，所以有215÷5＝43倍．
故答案为43．
4．有一块用于实验新品种水稻的试验田形状如图，面积共40亩，一部分种植新品种，另一部分种植旧品种（种植面积不一定相等），以方便比较成果．旧品种每亩产500千克；新的品种中有75%都没有成功，每亩只产400千克，但是另外25%试验成功，每亩产800千克．那么，这块试验田共产水稻20000 千克．
【解答】解：根据分析，设新品种有X亩，产量为75%×400X+25%×800千克，则旧品种有40﹣X亩，产量为（40﹣X）×500千克，
试验田共产水稻总量＝新品种产量+旧品种产量＝75%×400X+25%×800+（40﹣X）×500＝20000（千克）．
故答案是：20000．
5．在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同
的得数，那么这两个得数的差是1080
．
【解答】解：依题意可知：
首先根据乘积的四位数的结果的个位数字是0可知第一个乘数的个位可能是5或者0．
第一个乘数的首位数字是大于4的数字．所以第二个乘数的十位只能是1才能满足乘积的结果是三位数．
所以第一个乘数的十位数字是1．
根据第一个四位数乘积的百位数字是0，那么第一个乘数的首位数字只能是5．
那么满足条件的有510×216＝110160．
515×216＝111240．
111240﹣110160＝1080．
（或者直接用个位数字差是5×216＝1080）
故答案为：1080
6．直角边长分别为18厘米，10厘米的直角△ABC和直角边长分别为14厘米，4厘米的直角△ADE如图摆放．M为AE的中点，则△ACM的面积为53 平方厘米．
【解答】解：S△ABC+S△ADE＝（18×10+14×4）÷2＝（180+56）÷2＝118（平方厘米）
根据△DEF∽△BCF得：
BF：DF＝BC：DE＝10：4＝2.5
BF+DF＝4，
解得DF＝，BF＝，
∵AM＝ME，
∴S阴＝（S△ABC+S△ADE+S△DEF﹣S△BCF）÷2＝（118+0.5××4﹣0.5××10）÷2＝53 （平方厘米）
故答案为53．
7．黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5，每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上第5种数字（例如，擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各1个，写上1个1…）．如果经过若干次有限的操作后，黑板上恰好有两个数字，则这两个数字的乘积是多少？
【解答】解：由于每一次操作后，每一种数字个数的奇偶性改变，
原来有奇数个的变成了偶数个，原来有偶数个的变成了奇数个．
即无论如何操作，原来2个奇数个数的奇偶性相同，原来3个偶数个数的奇偶性也相同．
最后剩下2个数（1、1），说明剩下的是原来数字个数奇偶性相同的数，那么只能是原来的2个奇数（2007、2009），2和4．
2×4＝8，结果就是8．
8．蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下．每个正六边形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2．春节到来之时，群蜂将在巢上跳起舞步，舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个2出发最后走完四步后又回到2，如图中箭头所示为一个舞步），且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上．蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为2010，共有30 种方法．
【解答】解：图中标2的六边形分两类，第一类如左图所示，第二类如右图所示．
从第一类六边形出发，每个六边形都只有1种走法，因此共有6种走法．从第二类六边形出发，每个六边形有4种不同的走法，其中两种是环形回路（细线表示），两种是原路返回（粗线表示），因此共有4×6＝24种走法．综上所述，共有24+6＝30种不同的走法．
故答案为30．
9．在反恐游戏中，一名“恐怖分子”隐藏在10个排成一行的窗户后面，一位百发百中的“反恐精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子”．“反恐精英”
只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子”．每次射击完成后，如果“恐怖分子”没有被射中，他就会向右移动一个窗户．一旦他到了最右边的窗户，就停止移动．为了确保射中这名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射击 6 次．
【解答】解：
第一次射击1号窗口，恐怖分子不可能在2号窗口出现；第二次射击3号窗口，恐怖分子不可能在4号窗口出现；第三次射击5号窗口，恐怖分子不可能在6号窗口出现；第四次射击7号窗口，恐怖分子不可能在8号窗口出现；第五次射击9号窗口，恐怖分子有可能早在10号窗口，所以还要射第6次．
根据上面的分析，至少要射6次．
10．如图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于多少平方厘米？
【解答】解：如图，，
A、B、C分别是3个圆的圆心，
设大圆的半径是R厘米，小圆的半径是r厘米，
则AC＝R+r（厘米），CD＝R﹣r（厘米）；
因为AD2+CD2＝AC2，
所以R2+（R﹣r）2＝（R+r）2，
整理，可得R＝4r，
所以R2＝16r2，
所以πR2＝16πr2，
所以πr2
＝πR2÷16
＝1680÷16
＝105（平方厘米）
答：这个圆的面积等于105平方厘米．
11．用1﹣9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数，那么，其中四位完全平方数最小是
1369 ．
【解答】解：
32×32＝1024，含有0，不合要求
33×33＝1089，含有0，不合要求
34×34＝1156，含有两个1，不合要求
35×35＝1225，含有两个2，不合要求
36×36＝1296，剩下数字3、4、5、7、8没有哪两个数字可以组成两位完全平方数，不合要求
37×37＝1369，剩下数字2、4、5、7、8，其中25＝5×5，784＝28×28符合要求
故填1369
12．现有一块L形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成三部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切．要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为80 平方厘米．
【解答】解：如图，
因为在图中两个三角形相似，大三角形是小三角形对应边的2倍，
2x×（30﹣10）÷2＝10×10﹣10x÷2
解此方程得 x＝4，
2×4×（30﹣20）
＝8×10
＝80（平方厘米）
或（10﹣4+10）×10÷2
＝16÷10÷2
＝80（平方厘米）
故答案为：80．
13．小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚了1.5小时．那么，甲、乙两地全程288 千米．
【解答】解：丙、丁两地以两个不同速度走，用时为3：4，
这段路原用时0.5×3＝1.5小时，车原速为72÷1.5＝48千米/小时，现速为48×＝36千米，
丙到乙以不同速度走，用时比为：3：4，
从丙到乙原计划用时：
（2﹣）×3
＝×3
＝4（小时）
（4+2）×48
＝6×48
＝288（千米）
答：甲、乙两地全程288千米．
故答案为：288．
14．9000名同学参加一次数学竞赛．他们的考号分别是1000，1001，1002，…
9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不样）差为2010的倍数，那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有50 对．
【解答】解：设与由相同的数字组成，且2010|（﹣）
由于与的数字和相同，它们除以9的余数相同，即9|（﹣），从而6030|（﹣）．
考虑到0＜﹣＜9000，于是﹣＝6030，＝+6030．从末位数字可知d＝h，﹣603＝．
若c≥3，﹣603＝，但（a﹣6）+b+（c﹣3）＝a+b+c﹣9≠a+b+c，≠，﹣603＝，不成立．
若c≤2，b＝0，﹣603＝﹣603＝，同上知这种情况也不成立．
因此，b≥1．
﹣603＝．c+7在这里可能等于a或者b．如果a＝c+7，则b＝c+1，此时（a，b，c）可以等于（7，1，0）、（8，2，1）以及（9，3，2）；如果b＝c+7，则a＝c+6，此时（a，b，c）可以等于（7，8，1）和（8，9，2）．（a，b，c）确定之后，再考虑d，d可以等于0，1，2，…9中的任何一个数字．这样，可以得到50个不同的abcd，继而可得到相应的efgh．于是，一共有50对这样的考号，由相同的数字组成，并且差为2010的倍数．
故答案为50．
15．小华编了一个计算机程序．程序运行后一分钟，电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡，接下来每到整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡，数量与第一分钟出现的相同．第11次出现肥皂泡后半分钟，有一个肥皂泡破裂．以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂，且数量比前一分钟多1个（即第12次出现肥皂泡后半分钟，有2个肥皂泡破裂…）．到某一时刻，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序运行的整个过程中，在电脑屏幕上最多同时有1026 个肥皂泡出现．
【解答】解：设每次出现的肥皂泡数是k个，第m次肥皂泡破裂之后，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，在此之前，已经出现了m+10次肥皂泡，依据已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，可得：
（10+m）k＝
化简得：2（10+m）k＝m（m+1），因为m，k都是正整数，所以
得：
所以m+10＝15，18，30，45，90
所以m＝5，8，20，35，80，相应的，k＝1，2，7，14，36
当破裂的肥皂破数量小于新出现的肥皂泡数量时，电脑屏幕上的肥皂泡总数增加，当破裂的肥皂泡数量大于新出现肥皂泡数量时，电脑屏幕上的肥皂泡总数在减少，只有当破裂的肥皂破数量等于新出现的肥皂泡数量时，
电脑屏幕上的肥皂泡总数才最多于是，当破裂的肥皂泡为k个的前半分钟电脑屏幕同时出现的肥皂最多，此时电脑上显示的（10+k）k﹣＝，k 越大，显示的肥皂泡个数越多，当 k＝36 时，易验证满足条件，此时显示的肥皂泡个数是 1026 个．
故答案为：1026．
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日期：2019/5/5 18:00:18；用户：小学奥数；邮箱：****************；学号：20913800。