曾谨言量子力学第10章

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曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-微扰论(圣才出品)

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其中与ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合项表示耦合的强度，设比较小，把 H 中的
看成微扰，而取为
它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为
令
则能量表示式可改为
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二、散射态微扰论 1．散射态的描述（1）散射（微分）截面、散射总截面和散射振幅的定义
图 10.1 设一束粒子以稳定的入射流密度（单位时间穿过单位截面的粒子数）入射．由于靶粒子的作用，设在单位时间内有个粒子沿方‘向的立体角中出射．显然，
即
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（3）必然有个实根，记为
.这一系列值即一级修正能量，它相应的
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准确到一级微扰修正的能量为
.
（根代人方程（36），即可求得相应的解，记为
于
是得出新的零级波函数
如个根无重根，则原来的重简并能级将完全解除简并，分裂为条．但如有部分重根．则能级简尚未完全解除．凡未完全解除简并的能量本征值，相应的零级波函数仍是不确定的．
由式（6）可以看出，对于情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?）以 N=1 为例，能级为二重简并，能量本征值为
相应的本征函数为记
与
（或者它们的线性叠加）．为表示方便，
并选与为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰 W= 元如下：
的矩阵
可得出能量的一级修正为

附量子力学答案曾谨言

目录退出 16
二．普朗克量子论的提出
Planck量子论:
对于一定频率的辐射，物体只
能以能量单位h 不连续地发射或吸
收辐射能量。h 为Planck常数,能量单
位h 称为能量子。
Planck于1900年12月14日在德
国物理学会上报告了这个理论的推导，
以及根据辐射实验定出了Planck常
数。这日被定为量子理论的诞生日。
1 uv2 2
hv w0
阿尔伯特-爱因斯坦(1879-1955）因发现光电效应定律，荣获了1921年诺贝尔物理学奖目录退出 20
0.1.3 原子问题——Bohr(玻尔)的原子理论
一、原子模型问题
1、汤姆逊（J. J. Thomson）的原子模型：
正电荷均匀分布在原子中，而电子则以某种规律镶嵌其中。 ——局限在于无法解释原子散射实险中的大角度偏转现象。
该公式在低频段部分与实验曲线相符合，而在高频段有明显偏离（当 v 时，
Ev 成为发散的，即紫外发散困难）。
目录退出 14
（三）普朗克（Planck）公式普朗克分别从瑞利公式和维恩公式求出其能量的涨落，并将二者
相加作为插值公式的能量涨落，从而得出插值公式，即普朗克公式：
Evdv
c1v3dv exp(c2vT )
2、卢瑟福（E. Rutherford）的有核原子模型：
卢瑟福于1911年用粒子对原子的散射，提出了有核原子模型：
原子的正电荷及大部分质量都集中在很小的原子中心，形成原子核，而电
子则围绕原子核旋转，该模型能很好地解释粒子的大角度偏转问题，但
不能解释原子的稳定性问题和原子的大小问题。
目录退出 21
量子力学 (Quantum Mechanics)

《曾谨言量子力学教程第3版笔记和课后习题含考研真题》读书笔记思维导图

02
第2章一维势场中的粒子
03
第3章力学量用算符表达
04
第4章力学量随时间的演化与对称性
05 第5章中心力场
06
第6章电磁场中粒子的运动
目录
07 第7章量子力学的矩阵形式与表象变换
08 第8章自旋
09
第9章力学量本征值问题的代数解法
010 第10章微扰论
011 第11章量子跃迁
7.2 课后习题详解
7.1 复习笔记
7.3 名校考研真题详解
第8章自旋
8.2 课后习题详解
8.1 复习笔记
8.3 名校考研真题详解
第9章力学习题详解
9.1 复习笔记
9.3 名校考研真题详解
第10章微扰论
10.2 课后习题详解
10.1 复习笔记
第1章波函数与Schrödinger 方...
1.2 课后习题详解
1.1 复习笔记
1.3 名校考研真题详解
第2章一维势场中的粒子
2.2 课后习题详解
2.1 复习笔记
2.3 名校考研真题详解
第3章力学量用算符表达
3.2 课后习题详解
3.1 复习笔记
3.3 名校考研真题详解
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量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲

薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程，不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子）在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性，要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】

第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。

曾谨言--量子力学习题及解答

dv ， 1
（1）（2）（3）
v c ， v dv v d ，
dv d c d v ( ) d ( ) v c

8hc 5
1 e
hc kT
, 1
1
这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作 m 。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就是要求的，具体如下：
2

k
2 E
2

k
cos 2d (2 ) cos d ,
2 E

k

这里 =2θ，这样，就有
2
A B E

k
d sin 0
（2）
根据式（1）和（2），便有
A E
这样，便有

k n h 2
E

k

E
n h 2 k
nh
其中 h

k
,
h 2
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有

R p qBR

2
qB
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为

又因为动能耐 E

p2 ，所以，有 2
2
2 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ E 动 e c ），那么

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-微扰论】

第10章微扰论10.1 设非简谐振子的Hamilton量表示为为实数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）．解：能量的本征值和归一化本征态（无简并）为利用Hermite多项式的递推关系得对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为能量的二级修正值为由式（6）可知，只当m取（n－3），（n－1），（n＋1），（n＋3）四个值时才有贡献，即由此可得在准确到二级近似下体系能量值为在准确到一级近似下，能量本征函数为10.2 考虑耦合谐振子（λ为实常数，刻画耦合强度）．（a）求出的本征值及能级简并度；（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）；（c）严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论，提示作坐标变换，令称为简正坐标，则H可化为两个独立的谐振子。

【详细分析和解答见《量子力学》卷Ⅰ，518～521页】答：Hamilton量为其中与ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合项表示耦合的强度，设比较小，把H中的看成微扰，而取为它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为令则能量表示式可改为由式（6）可以看出，对于情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?）以N=1为例，能级为二重简并，能量本征值为相应的本征函数为与（或者它们的线性叠加）．为表示方便，记并选与为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰W=的矩阵元如下：可得出能量的一级修正为因此，原来二重简并的能级变成两条，能量分别为能级简并被解除，类似还可以求其他能级的分裂，如下图所示．本题还可以严格求解，作坐标变换，令其逆变换为容易证明因此，Schrodinger方程化为令即于是方程（13）变为是两个彼此独立的谐振子，其解可取为相应的能量为当时，由式（14），得此时例如，N=1的情况，（n1，n2）=（1，O）与（0，1），相应的能量分别为能级分裂这与微扰论计算结果式（8）一致．10.3 一维无限深势阱（0<x<a）中的粒子，受到微扰作用求基态能量的一级修正。

量子力学(曾谨言)

d nx nx h e e dx n 0 n 0 d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx h (e h kT 1)
17
n 0
e
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
2 2 E ( , T ) kT （Rayleigh–Jeans） 2 c
13
能量量子化概念对难题的解释
黑体辐射从能量量子化假设出发，可以推导出同实验观测极为吻合的黑体辐射公式，即Planck公式
E ( )
e
c2 / T
c1
3
1
2 3
E ( ) c1 e
3 c2 / T
E ( ) 8kT / c
14
普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量 nh 显示，即能量模式是不连续的。
23
光的波粒二象性
波粒二象性，又称为波动粒子两重性，是指物体，小到光子、电子、原子，大到子弹、足球、地球，都既有波动性，又有粒子性。频率为υ的单色光波是由能量为E =hυ 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称为光子，或光量子。光子的粒子性－光电效应；光子的波动性－光的衍射和干涉。
24
光的波粒二象性
33
《量子力学》的作用
一般工科：建立概念与启迪思维，重点在了解。材料学：重点是建立正确的、系统的、完整的概念，为后续课程以及将来从事材料学领域的研究奠定基础。理科：四大力学之一，应该精通，并作为日后从事研究的工具。
34
学习《量子力学》时应注意的问题
概念是灵魂－建立起清晰的概念数学是桥梁－不必过分拘泥于数学推导结论是收获－铭记结论在材料学中的作用

量子力学课件曾谨言第十章

x ( k , x k )
k x k
2q
(
x
2 k
1,k
x2k1,k )
2q 2
k+ 2
1
xk
,k 1
k 2
xk ,k1
q 2
即平衡位置偏离了 q 2 。正离子沿电场方向
挪了 q 2 ，而负离子则沿电场反方向挪动了q 2 。因此，由于外电场而产生的电偶
极矩为 q D 2 2
在一级近似下,能量本征值和本征函数分别为
Ek
E (0) k
E(1)
E (0) k
H kk
(14a)
k
(0) k
(1)
(0) k
n
H nk
E (0) k
E(0) n
(0) n
(14b)
应当注意，这里是讨论非简并能级 Ek(0)及相应
波函数
(0) k
如何受到微扰的影响。
Hnk
(0) n
虑进去，以得出方程(1)的尽可能接近于精确解的近似解。
微扰论的具体形式是多种多样的，但基本精神相同，即逐级近似。
假设 Hˆ 0 的本征方程
Hˆ 0
(0) n
E (0) (0)
n
n
1,2, , fn
其本征值
E (0) n
和正交归一化本征态
(0 n
)已解出
En(0)可能是不简并的（ fn 1），也可能是简并的（ fn 2 ）。
E(0) n
Hˆ Hˆ )
因此，在准确到二级近似下，能量本征值为：
Ek
E(0) k
E (1)
E(2)
E(0) k
Hkk
n
| Hnk |2

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-波函数与Schr

第1章波函数与Schrödinger方程1.1 设质量为m的粒子在势场V（r）中运动。

（a）证明粒子的能量平均值为，式中（能量密度）（b）证明能量守恒公式（能流密度）证明：（a）粒子能量平均值为（设ψ已归一化）（势能平均值）（动能平均值）其中第一项可化为面积分，对于归一化的波函数，可以证明此面积分为零（见《量子力学教程》，18页脚注），所以（b）按能量密度W和能流密度s的定义因此1.2 考虑单粒子的Schrodinger方程V1与V2为实函数．（a）证明粒子的概率（粒子数）不守恒；（b）证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为证明：由Schrodinger方程取复共轭得积分，利用Stokes定理对于可归一化波函数，当，上式第一项（面积分）为0，而，所以不为0，即粒子数不守恒．1.3 对于一维自由粒子（a）设波函数为，试用Hamilton算符对运算，验证；说明动量本征态是Hamilton量（能量）本征态，能量本征值为（b）设粒子在初始（t=0）时刻，求（c）设波函数为，可以看成无穷多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加，试问是否是能量本征态?（d）设粒子在t=0时刻，求．解：（a）容易计算出所以动量本征态量（能量）的本征态，能量本征值为．（b）其Fourier变换为由于ψ（x，0）是能量本征态，按《量子力学教程》1.2节，（37）式，（c）对于自由粒子，动量本征态，亦即能量本征态，由于是无穷多个动量本征态的叠加，所以不是能量本征态．（d）因为，按《量子力学教程》1.2节，（5）式所以计算中利用了积分公式或，所以1.4 设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包（1）证明初始时刻，（2）计算t时刻的波函数解：（1）初始时刻按《量子力学教程》1.2节，（18）式之逆变换所以（2）按《量子力学教程》1.2节的讨论（见1.2节，（5）式，（18）式）可知，在t>0时的波函数可见随时间的增加，波包逐渐扩散，振幅逐渐减小，而其宽度△x逐渐增大．1.5 设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，式中是ψ（x，0）的Fourier变换提示：利用证明：根据自由粒子的动量（能量）本征态随时间变化的规律，式中所以时刻t的波函数为当时间足够长后（t→∞），利用积分公式上式被积函数中指数函数具有δ函数的性质，即1.6 按照粒子密度分布ρ和粒子流密度分布j的表示式（1.2节式（13），（14））定义粒子的速度分布v证明设想v描述一个速度场，则v为一个无旋场．证明：按照上述v的定义，可知。

量子力学教学大纲

量子力学教学大纲云南师范大学物理与电子信息学院物理/应用物理专业《量子力学》课程教学大纲【课程名称】量子力学（Quantum Mechanics）【课程编码】09B005050【课程类别】专业基础课/必修课【课时】72【学分】 4.0【课程性质、目标和要求】（课程性质）本课程为物理类本科生的专业基础课和必修课。

（教学目标）1、使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的原理和基本方法;2、本课程的内容与前沿课题有广泛的联系，可以培养学生的研究兴趣和能力，为今后深入学习打下基础;3、使学生了解量子力学在近代物理中的广泛应用，深入和扩大在普通物理中学到的有关内容，以适应今后中学物理教学的需要;4、通过学习培养学生辩论唯物注意世界观及独立分析问题解决问题的能力。

（教学要求）1、教师在教学中可选择教材，但教材及教学内容必须覆盖本大纲要求及安排;2、教学中应抓住本课程基本概念，规律，基本方法，突出重点及难点，讲清逻辑关系并形成系统的知识体系;3、应积极探索启发式，讨论式等多种授课模式;4、根据需要使用现代教学手段，但应考虑实际效果。

【教学时间安排】本课程计 4.0学分，72学时, 学时分配如下：章次课程内容课时备注（教学形式）1 绪论 4 课堂教学2 波函数和Schr?dinger方程12 课堂教学3 一维势场中的粒子14 课堂教学4 力学量用算符表达12 课堂教学5 力学量随时间的演化与对称性10 课堂教学6 中心力场8 课堂教学7 自旋 4 课堂教学8 微扰论 4 课堂教学9 学期复习 4 课堂教学合计72【教学内容要点】第一章绪论一、学习目的要求1、使学生了解量子物理发展简史，量子力学的研究对象及特点；2、掌握微观粒子的波粒二象性的实验事实及解释二、主要教学内容1、黑体辐射与普郎克的量子假说2、光电效应与爱因斯坦的光量子假说3、原子光谱与玻尔的量子论4、德布罗意物质波假说三、课堂讨论选题1、从黑体辐射的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点）2、从光电效应的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点）3、从玻尔量子论的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点）四、课外作业选题1、曾谨言《量子力学（卷I）》（第二版）第一章习题1、2、3、4第二章波函数和Schr?dinger方程一、学习目的要求通过本章的学习使学生掌握波函数的物理意义，薛定愕方程的建立过程及简单的运用。

曾谨言量子力学课后答案

h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
第一章、量子力学的诞生
1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
V
( x)
=
∞,
0,
x < 0, x > a 0< x<a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有
a = n⋅λ 2
∴λ = 2a / n
(n = 1, 2, 3,L)
又据 de Broglie 关系
动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y, z 轴方向，把粒子沿 x, y, z 轴三个方向的运动
分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有
∫ px ⋅ dx = nx h , (nx = 1, 2 ,3,L)
即
px ⋅ 2a = nx h （ 2a ：一来一回为一个周期）
∫∫∫d 3rψ *ψ τ
证：（a）式（1）取复共轭，得
− ih
∂ ∂t
ψ
*
=
−

【资料】量子力学课件曾谨言第十章汇编

当m ≠ k 时,得
a(1) m
Ek(0H ) m kEm (0)
,(mk)
(1) nEk(0)H nkEn(0)
(0) n
一级近似波函数
上式中表示对n 求和时, n = k 项必须摒弃. n
在一级近似下,能量本征值和本征函数分别为
E kE k (0 ) E ( 1 )E k (0 ) H k k
(0) n
把上式代入(7b) ，得
E 2
(0) k
H ˆ (1)
' n
k0
HˆHnk
(0) n
E(0) k
En(0)
| Hnk |2
n
E(0) k
E(0) n
' n
HknHnk
E(0) k
E(0) n
Hˆ Hˆ )
因此，在准确到二级近似下，能量本征值为：
E k E k (0 ) E (1 ) E (2 ) E k (0 ) H k k n E k |(0 H ) n kE |2 n (0 )
(1) k
n'Ek(0)HnkEn(0)
(0) n
将波函数的一级近似代入(7d)
E k (3)
(1) k
H ˆE (1)
(1) k
n ' m '(E k (0 ) H E k n n (0 H ))n ( m E H k (0 m )k E m (0 )) H k k n '(E k ( H 0 )k n H E n n ( k 0 ))2
n ( 0 ) E 1 H ˆ k ( 0 )
n
用
(0) m
| 左乘，利用 Hˆ
0
本征态的正交归一性，得

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第十章定态问题的常用近似方法10－1) 设非简谐振子的Hamilton 量表为'0H H H +=222220212x u dx d u H ω+-= 3'x H β=（β为实常数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。

解：已知)0()0(0n n n E H ψψ=，()x H e N n x n n αψα2)0(22-=，()ω 21)0(+=n E n ，ωαu =()[]11121+-++=n n n n n x x ψψαψ ()()()()()[]22222112121+-++++++=n n n n n n n n n x x ψψψαψ()()()()()()()[]311333321113321221++--++++++++--=n n n n n n n n n n n n n n n x x ψψψψαψ计算一级微扰：n n n H E ψψ')1(=03==n n x ψψβ。

（也可由()⎰+∞∞-⋅==dx x x H En nn n32')1(βψ0＝（奇）直接得出）计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为0：()()',33332122n n n n H n n n x --=--=αβψβψ',1331322n n n n H n n x --=⋅=αβψβψ ()',133111322n n n n H n n x ++=++⋅=αβψβψ ()()()',333332122n n n n H n n n x ++=+++⋅=αβψβψ计算2'knH：()()622',3821αβ--=-n n n Hnn6232',19αβn H n n =- 6232',189αβn H nn =+()()()622',38321αβ+++=+n n n Hnn又ω 3)0(3)0(=--n n E E ，ω =--)0(1)0(n n E E ， ω -=-+)0(1)0(n n E E ，ω 3)0(3)0(-=-+n n E E ，∑-++=++=∴kk n knnnnnnnn E E HHEEEEE )0()0(2''')0()2()1()0(43222811303021ωβωu n n n ⋅++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)0()0()0('')0()1()0(k kkn knnnnn E E H ψψψψψ∑-+=+=()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+--+---=++--)0(3)0(1)0(1)0(33)0(321311133213122n n n n n n n n n n n n n n n ψψψψωαβψ10－2) 考虑耦合振子，'0H H H += 参书.下册§9.2()2221222221220212x x u x x u H ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=ω 21'x x H λ-=（λ为实常数，刻画耦合强度）（a ）求出0H 的本征值及能级简并度。

量子力学第四版卷一 (曾谨言著) 答案----第11章

1s 态
ψ
100
=
1
π a3
e
−
r a
（1）
2s 态
ψ
200
=
r − ( 2 − )e 2 a a 32π a 3 r − ( )e 2 a sin θ ⋅ e iϕ 8 π a3 a 1
r
1
r
（2）
2p 态
ψ
211
=
1
r
（3a）
ψ
21, − 1
r − = ( )e 2 a sin θ ⋅ e − iϕ 8 π a3 a = r − ( )e 2 a cos θ 32π a 3 a 1
=
r − 2a − a 3 ( 2 − )e r d r ⋅ ∫ cos θ sin θ dθ ∫ a 32π a 3 r = 0 0
∞
π
2π
∫ dϕ
0
= 0
（8）
1s向2 s 的跃迁不存在。再考察 (1s → 2 p ) 的跃迁，代入（4）中知道 C 200,100 = 0, W200,100 = 0即自
1
r
=
r= ∞
r= 0
∫
r e
4
dr ⋅
π
θ =0
∫
cos θ sin θ dθ ⋅
2
2π
ϕ =0
∫ dϕ
=
⋅ 4!⋅ (
π − 2a 5 1 ) ⋅ (− cos 3 θ ) 2π 0 3 3
（11）
=
将三种值分别代入（7），得 C 211,100 = 0, C 21− 1,100 = 0
C 210,100 =
t
−
t τ
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用 t → ∞

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(3)
E
(1)
0 是二重根，这两条能级的简并未消除，仍取
原来的零级波函数
3 211 ; 4 211
E2
e2 1 2 2a 2
3ea
E1 无外场有外场
简并部分消除的能级图
讨论：
(a) 新的零级波函数的正交归一性
(1) ( H E k )a 0
利用公式
x nn
n 1 n δ nn 1 δ nn 1 2 2 μω
利用微扰论公式可求出二级微扰近似下的能量为
Ek Ek( 0 ) H kk
nk 2
H nk
2
2
(0) Ek( 0 ) En 2
xnk 1 q k 2 n k ( k n ) 2 1 q 2 2 k xk 1,k xk 1,k 2
ψ (r1 , r2 )χ 00 ( s1z , s2 z )
能量的一级修正为
1 2 2 3 3 d r1d r2 ψ100 ( r1 ) ψ100 ( r2 ) / r12 r12
式中
ψ100 ( r )
Z 3/ 2
π
e
Zr
利用积分公式
2 Z ( r1 r2 ) 2 e 5 π 3 3 d r d 1 r2 r12 8Z 5
电偶极矩为极化率为
D2
qε
μω
2
q
2 q 2ε
μω 2
k D / ε 2q2 / μω 2
练习：试用严格求解的方法求解上述问题
10.1.2 简并态微扰论
假设不考虑微扰时，体系处于某简并能级，即
E
零级波函数的一般形式为 (34), (35)代入(6b)得
(0)
E
fk
(0) k
(34)
2
(46)
E
(1)
3e a
可得归一化的新的零级波函数和能量为
1 200 210 1 2 e2 1 2 3ea 2a 2
(2)
E (1) 3e 2a 可得归一化的新的零级波函数和能量为
1 200 210 2 2 e2 1 2 3ea 2a 2

2

1 q 2 2 k 2 2 2
注：该能量也可精确求解
一级近似波函数是
ψk ( x) ψ
(0) k
H nk (0) ( x ) (0) ψ n (0) n k ( Ek En )
k 1 (0) qε k (0) ψ (x) ψ k 1 ( x ) ψ k 1 ( x ) 2 ω μω 2 离子位臵的平均值

(50) a 求和 (51) a 对求和对
ˆ e r cos H l 2 m2 cos Ylm Yl 1,m Yl 1,m (2l 1)( 2l 3) (2l 1)( 2l 1)
可以计算出不为零的矩阵元为
ˆ 2 2 H ˆ 1 3e2 a 1H
(4)代入(1) ,并比较两边的同级项得到
ˆ E (0) ) (0) ( H 0 ˆ E (0) ) (1) ( H 0 (0) (2) ˆ ( H E ) 0 (0) (3) ˆ ( H E ) 0
0 ˆ ) (0) ( E (1) H ˆ ) (1) E (2) (0) ( E (1) H ˆ ) (2) E (2) (1) E (3) (0) ( E (1) H
将每一个 E k 代入(36)式就得到一组则相应的零级波函数是
fk
a， 1,2，，f
k
0) 0) k(α aαμ ψ k(μ , α 1,2,, f k
μ
例题3 氢原子的Stark效应把原子臵于外电场中，则它发射的光谱线会发生分裂，此就是 Stark效应。下面考虑氢原子光谱的Lyman线系的第一条谱线 (n=2→n=1)的Stark分裂。
ˆ E (1) ) (1) E (3) (1) ( H
(7 d )
即可以用微扰一级近似波函数计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并微扰论若在不考虑微扰时，体系处在非简并能级，即
(0) E ( 0 ) Ek
(8) ( 9)
ψ ( 0 ) ψ k( 0 )
1. 一级近似设一级微扰近似波函数为将(8), (9), (10)代入(6b)得
ψ
(1)
a ψ
(1) n n
(0) n
(10)
ˆ E (0) ) a(1) (0) ( E (1) H ˆ ) (0) (H 0 k n n k
n
两边左乘
(0) ψm
(E
式中
(0) m
E )a
(0) k
(1) m
E δ mk Hmk
(1)
(11)
(0) ˆ (0) m H mk H k
(50)

H 两边取复共轭，并利用H´的厄米性 H
得指标转换
(1) ( H E ) a k 0

，
(1) ( H E ) a k 0
(51)
ψ (0)
(6a) (6b) (6c) (6d )
(6b), (6c), (6d) 两边左乘
，并利用(5)得到
ˆ (0) E (1) (0) H ˆ (1) E (2) (0) H ˆ (2) E (3) (0) H
(7a) (7b) (7c)
(6c)两边左乘
(36)
方程(36) 有非平庸解得充要条件是
μ
μ E (1)δ μ μ 0 det H μ
(37 )
解上述方程就得到fk个实数解
相应准确到一级修正的能量为
E ， 1,2， ,，f k
(1) k
E
(0) k
E
(1) kα
如果没有重根，能级简并完全消除；若有重根则部分消除
(1)
(0) k
无外场有外场
(0) ˆ x ( , x k ) 0 (0) k
2 qε k 1 k qε x (ψ k , xψ k ) x k ,k 1 x k ,k 1 2 2 μω 2 2 μω
即正离子将沿电场方向右移，负离子沿电场方向左移，从而诱导产生电偶极矩。
并假设 H0的本征值和本征函数已知，或可解出。令H的本征值和本征函数分别为
( 0) (1) ( 2 )
EE
( 0)
E
(1)
E
( 2)

( 4)
约定：波函数各级近似解与零级近似解都正交，即
ψ ( 0 ) ψ ( s ) 0, s 1,2,3, (5)
ψ (1 )
ˆ E (0) ) (2) (1) ( E (1) H ˆ ) (1) (1) ( H 0
(2) ψ (6b)两边左乘
ˆ E (0) ) (1) 0 (2) H ˆ (0) E (3) (2) ( H 0
利用H0的厄米性，上述两式的左边应相等，得
对式(11)，当m=k时，有
ˆ (0) k(0) H E (1) Ek(1) H kk k
当m≠k时，有
(12)
a
(1) m
H mk (0) , (m k ) (0) Ek Em
(13)
因此，一级近似下的能量本征值与本征函数是
(0) Ek Ek H kk
ˆ E H
(1)
设哈密顿可分为两部分，其中H0可精确求解，H´比H0小得多
ˆ H ˆ H ˆ H 0
(2)
设H0的本征方程为
(0) (0) (0) ˆ H 0 n En n , 1, 2,, f n (0) (0) n m mn
(3)
则氦原子（类氦离子）的基态能量为
5 E Z Z 8
2
例题 2 电解质的极化率
解：各向同性电介质在外电场作用下的极化现象。设在x方向加上外电场，设离子电荷为q, 则离子的哈密顿为
ˆ H ˆ H ˆ H 0
2 2 d 1 2 2 ˆ ˆ q x ˆ ˆ H0 x , H 2 2 dx 2
(14a)
(1) k
ψk ψ
2. 二级近似
(0) k
ψ
ψ
(0) k
H nk (0) (0) ψ n (0) n k Ek En
(14b)
将(9), (10), (13)代入(7b)得
E
(2)
E
(2) k

(0) k
ˆ (1) H k
nk
H nk (0) Ek(0) En
(35)
0) ψ ( 0 ) aμ ψ k(μ
μ 1
ˆ E (0) ) (1) ( E (1) H ˆ ) (0) (H 0 k ˆ ) a (0) ( E (1) H k

0) 上式左乘 k(
(1) ( H E δ μ μ )aμ 0 μμ
第10 章微扰论
§10.1 束缚态微扰论 §10.2 散射态微扰论
§10.1 束缚态微扰论
微扰论方法的宗旨是从一般难以精确求解的Hamilton量H中，划分出其中数值较小而又妨碍对H精确求解的部分H´,即H=H0+ H´. 划分出H´后剩下的H0应能精确求解。然后，以H0的本征态和本征值为基础和出发点，以逐级近似的方法考虑H´的影响，给出H的本征态和本征值的逐阶近似解。设体系的哈密顿为H，能量本征方程为