向量值函数的极限值

空間曲線以及向量值函數
確定你能夠辨別向量值函數 r 與實數值函數 f、 g、h 之間的差異。
r(t)是向量，而 f(t) 、g(t) 、h(t)是實數(分別為 t 所帶
入時產生的特定值) 。
空間曲線以及向量值函數
向量值函數在曲線中扮演兩種角色。
其一是藉由參數 t 來表示時間，這樣可以藉由向量值
函數來呈現出曲線的移動(motion) 。
或者是在許多更一般情況，你可以使用向量值函數去
追蹤曲線的圖形。
空間曲線以及向量值函數
無論哪種情況，向量r(t) 是由點(x, y)或 (x, y, z)所構成， 如下圖:
空間曲線以及向量值函數
曲線的箭頭表示曲線的指向: 當 t 增加時，曲 線上點移動的方向。
除非例子有另外說明，不然向量值函數r 的定 義域(domain)
得到在 t =0 時 r 是連續的。
藉由相似的理由，你可以得到向量值函數 r 在 任何實數 t 都是連續的。
序三元組的集合來定義。其中包含參數方程式 x = f(t) 、y = g(t) 、z = h(t) ，
變數 t 在區間 I 內 f 、 g、h 是連續函數。
這種新型態的函數叫作向量值函數(vector-valued
function )，將實數映射至向量。
空間曲線以及向量值函數
定義: 向量值函r(t數) f (t)i g(t)j 或 r(t) f (t)i g(t)j h(t)k 一個函數具備有
Limits and Continuity
極限以及連續性
定義: 向量值函數的極限值
r(t) f (t)i g(t)j
1. 令r是一個二維向量值函
數
。如果當 t 趨。 近於a時，f
和 g 都有極限值，則
r(t) f (t)i g(t)j h(t)k
。
2. 令r是一個三維向量值函
數
。如果當 t 趨近於
空間曲線以及向量值函數
說例: 一平面曲線(plane curve)是由(f(t), g(t)) 的有序對的集
合來定義。其中包含參數方程式 x = f(t) 、 y = g(t) ，
變數 t 在區間 I 內 f 和 g 是連續函數。
空間曲線以及向量值函數
這個定義可以被推廣到三度空間 假設一空間曲線(space curve) C 是由(f(t), g(t), h(t))的有
的型式是向量值函數，而分量函數 f、g、h是依
賴參數 t 的實數函數。
r(t) f (t), g(t) 或 r(t) f (t), g(t), h(t) 。
向量值函數也可以表示成
空間曲線以及向量值函數
技術上來說，平面上或空間上的曲線是由點集 合與參數方程式組成。
兩個不同的曲線可以擁有相同的圖形，譬如 r(t) = sin t i + cos t j 與 r(t) = sin t2 i + cos t2 j 它們擁有相同的單位圓圖形；因為這是兩個不 同的行徑的圓，這兩個函數並不表示相同的曲 線。
a時，f 、g、h都有極限值，則
極限以及連續性
如果當 t 趨近於a時，向量值函數r(t)逼近於向 量L，則向量r(t) – L 的長度逼近於 0。 換言之，當t → a時， ||r(t) – L|| → 0。
如下圖所表示:
極限以及連續性
定義: 向量值函數的連續性
如lim果r(t)當 r(ta)趨近於a時，向量值函數 r 的極限 值ta存在且
，則 r 在 t=a 時連續。
如果 r 在此區間 I 的任何一點都連續，則 它在區間 I 連續。
例題五-向量值函數的連續性
討論向量值函數 r(t) = t i + aj + (a2 – t2)k 在 t=0 時的連續性。 解: 當 t 趨近於0，它的極限值是
例題五-解 cont’d
因為 r(0) = (0)i + (a)j + (a2)k = aj + a2k
始用三角等式cos2 t + sin2 t = 1 解出以下直角座 標方程式:
equation
Rectangular
例題一:解 cont’d
如右圖是直角座標方程式所描繪出的圖 。
它是一個逆時針方向的橢圓。
如果 t 從0增加至2 時，這個位置向量
r(t)會逆時針方向移動，最後會形成橢 圓形。
極限以及連續性
12.1
向量值函數
Vector-Valued Functions
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目的
分析以及繪出向量值函數 將極限以及連續性推廣至向量值函數
空間曲線以及向量值函數
Space Curves and Vector-Valued Functions
通常都是考慮成它的分量函數 f、 g、 h 定義 域的交集。
如 是區間(0, 1] 。
，它的定義域
例題1-繪出平面曲線
繪出 r(t) = 2cos t i – 3sin t j, 0 ≤ t ≤ 2 的平面
曲線。
解:Biblioteka Baidu
從位置向量r(t)，寫出它的參數式 x = 2cos t 、y = –3sin t。