数值微分 计算方法讲解

（1）称为x0点的向前差商公式， (2) 称为x1点的向后差商公式。
i 0,1
(1) (2)
数值分析
数值分析
例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f’(x0)。
解：计算f '( x0 )的误差为
hf "( ) h 2 2 2 ,
这里 1.8 1.8 h 或 1.8 h 1.8
k0
lk
(x)
(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=1时,有
f R1 ( xi ) f ( xi ) L'1( xi )
f (n1)
注意到在插值节点处
n1
(
xi
)
d dx
( x ) 0,此时的余项为
(n 1)!
(n1)
(n1)
f f Rn( xi ) f ( xi ) L'n( xi )
(
n
(i
1)!
)
n 1
(
xi
)
(n
(i
1)!
)
n k0
( xi
xk
)
ki
因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值
n
f ( xi ) L'n( xi ) f ( xk )l 'k ( xi ) i 0,1, ..., n
f
'( xi )h
1 2
f
''( xi )h2
1 3!
f（3）( xi )h3
O(h4 )
f ( xi
h)
f (xi )
f
1 '( xi )h 2
f
''(
xi
)h2
1 3!
f（3）( xi )h3 O(h4 )
两 式相 加 除以h2得 ：f ''( xi )
fi1 2 fi h2
(2)
(
2!
i
)
2
(
xi
)
f ( xi ) L'1( xi )
f ( x1) f ( x0 ) x1 x0
i 0,1
令h x1 x0 0
f ( x0 )
f ( x 0 h) h
f ( x0 ) h 2
f "(1 )
f ( x1 )
f (x1)
f ( x1
h)
h
h
2
f "(2 )
f ( xi ) h 2
f ''( )
数值分析
数值分析
一阶导数的三点公式：
f
' i
1 2h (3 fi
4 fi1
fi2 ) O(h2 )
证明:将f ( x)在点xi处分别以增量h和2h作Taylor展开，有
fi1
fi
hf
' i
h2 2
fi" O(h3 )
(1)
fi2
fi
2hf
' i
4h2 2
f
" i
O(h3
)
(2)
由4
（1）（2）可消去f
"可得到三点公式
i
同样的方法可以得到其它的三点公式是：
f' i 1
1 2h ( fi2
fi ) O(h2 )
f' i2
1( 2h
fi

4
f i 1
3
fi2 )
O(h2 )
数值分析
数值分析
二阶中心差商公式
f
'' ( xi
)
2 fi
h2
O(h2 )
最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商.
根 据 导 数 定 义, 在 点xi处
f '(xi )
lim
h0
f ( xi
h) h
f ( xi )
lim f ( xi ) f ( xi h)
h0
h
lim
f ( xi
h) 2
f ( xi
h) 2
h0
h
当h充分小时, 可用差商来逼近导数
数值分析
fi fi1 O(h) h
一阶中心差商公式
f
'( xi )
fi
h
O(h2 )
fi1 fi1
2
2
h
O(h2 )
证明:对f ( x)在点xi以h为增量作Taylor展开有
f ( xi h)
f ( xi )
f
'( xi )h
h2 2
f ''( )
得一阶向前差商公式
f '( xi )
f ( xi h) h
数值分析
第五节 数值微分
在实际问题中，往往会遇到某函数f(x) 是用表格
表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有:
一. 运用差商求数值微分 二. 运用插值函数求数值微分 三. 运用样条插值函数求数值微分 四. 运用数值积分求数值微分
数值分析
数值分析
一. 运用差商求数值微分
fi1 O(h2 )
数值分析
数值分析
二、运用插值函数求数值微分
设Ln(x)是f(x)的过点{x0 ，x1 ，x2 ，…xn } [a，b]的 n 次插值多项式，由Lagrange插值余项,有对任意给
定的x[a，b]，总存在如下关系式:
f (x)
Ln(x)
( x) f (n1) (x ) (n1)! n1
列表计算如下：
f (1.8 h) f (1.8) h
h
h
2(1.8)2
0.1
0.5406722 0.0154321
0.01
0.5540180
0.0015432
0.001 0.5554013 0.0001543
数值分析
一阶向前差商公式 :
f '( xi )
f ( xi h) h
f
(
xi
)
fi
h
fi fi1 fi称为f 在xi点的一阶向前差分.
一阶向后差商公式 :
f '( xi )
f
( xi )
f
( xi
h)
f
i
h
h
fi fi fi1称为f 在xi点的一阶向后差分.
一阶中心差商公式 :
f '( xi )
f
( xi
h) 2
h
f ( xi
h 2
)
fi
h
fi fi 1 fi 1 称为f 在xi的一阶中心差分.
2
2
数值分析
数值分析
利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差.
一阶向前差商公式
f
'( xi )
fi h
O(h)
fi1 h
fi
O(h)
一阶向后差商公式
f
'( xi
)
fi h
O(h)
fi1 2 fi h2
fi1 O(h2 )
证明 : (1)验证 :
2 fi ( fi ) ( fi 1 fi1 )
2
2
( fi1 fi ) ( fi fi1 ) fi1 2 fi fi1
(2)对f ( x)在点xi以h为增量作Taylor展开有
f ( xi
h)
f (xi )
a b
若取数值微分公式
f (x) L' (x) n
误差为:
f f (n1)
(n1)
Rn( x)
f (x) L' ( x) n
(n
( x 1)!
)
n 1
(
x
)
n1
(
x
)
d dx
( x ) (n 1)!
数值分析
数值分析
f (n1)
n1
(
x
)
d dx
( x )
(n 1)!
中 x是未知的,其误差不能估计,