计算机图形学课件——fifth1PPT

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例如，如果要对下图中的四边形ABCD进行平移变换， 只需要对四个顶点A、B、C、D做平移变换，连接平 移后的四个顶点即可得到四边形平移变换的结果。
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对二维图形进行几何变换有五种基本变换形式， 它们是：平移、旋转、比例、对称和错切，这些图形 变换的规则可以用函数来表示。有两种不同的变换形 式：一种是图形不动，而坐标系变动，即变换前与变 换后的图形是针对不同坐标而言的，称之为坐标模式 变换；另一种是坐标系不动，而图形改变，即变换前 与变换后的坐标值是针对同一坐标系而言的，称之为 图形模式变换。实际应用中，后一种图形变换更有实 际意义，下面讨论的图形变换是属于后一种变换。
其中变换矩阵： 1 0 0
T
0
1
0
0 0 1
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对称Y轴变换的几何表示见下图
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3. 对称于原点 当图形对X轴和Y轴都进行对称变换时，即得相
对于坐标原点的对称变换。这一变换前后点坐标之 间的关系为：
x' x
y'
y
写成齐次坐标矩阵形式为：
1 0 0
因此其变换公式是两者的综合：
x' y'
x 2xc y 2yc
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
1 0 0
x' y' 1x y 1 0 1 0
2xc 2yc 1
其中变换矩阵：T
1 0
0 0 1 0
2xc 2 yc 1
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7．对称于任一轴的变换 关于XY平面内任一直线y﹦mx﹢b为对称轴的变换，
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1 0 0
T1
0
1
0
0 b 1
cos sin 0
T2 sin cos 0
0Baidu Nhomakorabea
0 1
1 0 0
做对称于Y轴的对称变换，其变换矩阵为：T3
0
1
0
0 0 1
最后反向旋转和反向平移将直线置回原处，其变换矩阵分别
为：
cos)( sin )( 0 co ssin0
1 0 0
T
0
sy
0
0 0 1
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比例变换系数sx和sy可赋予任何正数值。当值 小于1时缩小图形，值大于1则放大图形。当sx和 sy被赋予相同值时，就产生保持图形相对比例一 致的变换, sx和sy值不等时产生X轴方向和Y轴方 向大小不等的比例变换。sx和sy都指定为1时，图 形大小不改变。
cos sin 0
x' y' 1x y 1sin cos 0
0 0 1
其中变换矩阵
cos sin 0
T sin cos 0
0
0 1
上面是点P(x,y)以坐标原点为中心的旋转变换，还可以 任意点Pc(xc,yc）为中心做旋转变换。其变换公式为：
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x'(xxc)co s(yyc)sinxc y'(xxc)sin(yyc)co syc
可以分解为平移、旋转、对称于坐标轴等变换的组合。 首先平移直线经过坐标原点，而后将直线绕坐标原点 旋转至同某一坐标轴重合，做对称于坐标轴的变换， 最后反向旋转和反向平移将直线置回原处。
如下图所示，平移直线经过坐标原点需要在Y轴方 向上移动距离b，然后将直线绕坐标原点旋转至同Y轴
重合，设旋转角度为 ，两步的变换矩阵分别为：
该图形的平移变换。实际上，线段是通过对其两端点进 行平移变换，多边形的平移是平移每个顶点的坐标位置， 曲线可以通过平移定义曲线的坐标点位置，用平移过的 坐标点重构曲线路径来实现。
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平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和 形状。下图是一平移变换的例子。
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5.1.6 错切变换 错切（shear）变换是轴上点不动，其它点沿平行于
此轴方向移动变形的变换。错切变换也称为剪切、错位 或错移变换。常用的错切变换有两种：改变x坐标值和 改变y坐标值。
第五章 图形变换
在计算机绘图应用中，经常要进行从一个几何 图形到另一个几何图形的变换，例如，将图形向某 一方向平移一段距离；将图形旋转一定的角度；或 将图形放大或缩小等等，这种变换过程称为几何变 换。图形的几何变换是计算机绘图中极为重要的一 个组成部分，利用图形变换还可以实现二维图形和 三维图形之间转换，甚至还可以把静态图形变为动 态图形，从而实现景物画面的动态显示。
可以用矩阵形式来表示二维平移变换方程。图形变
换通常使用齐次坐标矩阵来表示。平移变换方程的齐次 坐标矩阵表示式为：
1 0 0
x' y' 1x y 10 1 0
tx ty 1
其中
1 0 0
T
0
1
0
t x t y 1
称为变换矩阵。
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有了上面的矩阵表示，连续的平移变换可以通过连
1 0 0
T 0
1
0
0 0 1
对称X轴变换的几何表示见下图
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2. 对称于Y轴 当变换对称于Y轴时，则坐标点P(x,y)经对称变换
后，新坐标点P’(x’,y’）的表达式为：
x' x
y
'
y
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
1 0 0
x' y' 1x y 10 1 0
0 0 1
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其中变换矩阵：
T
sx 0
0 0
sy
0
xc(1sx) yc(1sy) 1
计算公式的推导可以这样考虑，先平移坐标原点 （0,0）到（xc,yc），然后进行比例变换，变换后再将 坐标原点移回到（0,0）。三个过程的结果就是相对于 点（xc,yc）的比例变换。三个过程的变换矩阵分别是：
多边形每个顶点相对于固定点缩放。对于坐标为P(x,y)的
顶点，相对于固定点Pc(xc,yc)变换后的坐标P(x,y)可计算 为：
x'(xxc)sxxcxsxxc(1sx) y'(yyc)syycysyyc(1sy)
写成齐次坐标矩阵形式为：
x' y' 1x y 1
sx 0
0 0
sy
0
xc(1sx) yc(1sy) 1
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
1 0 0
x' y' 1x y 10 1 0
0 2yc 1
其中变换矩阵：
T
1
0
0 1
0
0
0 2 yc 1
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5. 对称平行于Y轴的直线
当对称轴是平行于Y轴的直线x﹦xc时，变换前后 点的坐标之间的关系为：
xy'' y(xxc)xcx2xc
或反射变换。将图形绕对称轴旋转就可以生成镜象图形。
1. 对称于X轴 当变换对称于X轴时，则坐标点P(x,y)经对称变换后，
新坐标点P’(x’,y’）的表达式为：
x' x
y'
y
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
1 0 0
x' y' 1x y 10 1 0
0 0 1
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其中变换矩阵：
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5.1 二维图形变换
5.1.1二维图形几何变换的基本原理 二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连线
次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。实 际上，由于一个二维图形可以分解成点、直线、曲线。 把曲线离散化，它可以用一串短直线段来逼近，而每 一条直线段均由两点所决定，这样，二维平面图形不 论是由直线段组成，还是由曲线段组成，都可以用它 的轮廓线上顺序排列的平面点集来描述。因此可以说， 对图形作几何变换，其实质是对点的几何变换，通过 讨论点的几何变换，就可以理解图形几何变换的原理。
y
'
y
sy
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这一变换称为相对于坐标原点的比例变换, sx 和 sy分别表示点P(x,y）沿X轴方向和Y轴方向相对坐标 原点的比例变换系数。比例变换改变图形的大小。
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
sx 0 0
x' y' 1x y 10 sy 0
0 0 1
其中变换矩阵：
sx 0 0
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替换变换矩阵中的和得：
1-m2
1
m
2
T
2m
1 m2 2bm
1 m 2
2m
1 m2 m2 1
1 m2
b(1 m 2 ) 1 m2
b
0
0
1
上述变换用代数方程表示为：
x'1 1 m m2 2x2(yb)1m m2
y'1 2m m2x(yb)1 m 2m 2 1b
实际上，相对于坐标原点图形的比例变换，
相当于每一点相对于坐标原点的变换，因此，它
不但改变图形的大小，而且改变图形的位置。
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下图是一图形比例变换的例子：
中心在原点的放大变换
中心不在原点的放大变换
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可以通过选择一个在变换后不改变位置的固定点
Pc(xc,yc),来控制图形变换的位置。例对于多边形图形， 固定点的坐标(xc,yc)可以选择图形的某个顶点、图形几何 中心点或任何其它位置，这样变换后固定点坐标不改变，
此公式的推导过程可以这样考虑，先平移坐标原点 （0,0）到（xc,yc），然后进行旋转变换，变换后再将坐 标原点移回到（0,0）。三个过程的结果就是以点（xc,yc） 为中心的旋转变换。
写成齐次坐标矩阵形式为：
c os
s in 0
x ' y ' 1 xy1 s in
c os 0
x c(1 co ) s y csin y c(1 co ) s x csin 1
x' y' 1x y 10 1 0
0 0 1
1 0 0
其中变换矩阵：T
0
1 0
0 0 1
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对称原点变换的几何表示见下图
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4. 对称平行于X轴的直线
当对称轴是平行于X轴的直线y﹦yc时，变换前后 点的坐标之间的关系为：
x'x y'(yyc)ycy2yc
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1 0 0
T1
0
1 0
xc yc 1
sx 0 0
T2
0
sy
0
0 0 1
1 0 0
T3
0
1 0
xc yc 1
1 0 0 sx 0 0 1 0 0 TT 1T2T 3 0 1 0 0 sy 0 0 1 0
xc yc 1 0 0 1 xc yc 1
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其中变换矩阵:
co s
sin
0
T
sin
co s
0
xc(1co )sycsinyc(1co )sxcsin1
旋转变换只能改变图形的方位，而图形的大小和形 状不变。旋转变换的几何表示见下图。
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5.1.5 对称变换 对称变换是产生图形镜象的一种变换，也称镜象变换
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5.1.2平移变换
平移变换是指将图形从一个坐标位置移到另一个
坐标位置的重定位变换。已知一点的原始坐标是
P(x,y），加上一个沿X，Y方向的平移量tx 和ty ，平 移此点到新坐标（x﹢tx,y﹢ty）,则新坐标的表达式为：
x' x tx
y'
y
ty
如果对一图形的每个点都进行上述变换，即可得到
续的矩阵乘法来实现。例如, 点经平移变换T1（tx1,ty1） 后，再经平移变换T2（tx2,ty2），那么，最终的平移变 换矩阵。
5.1.3 比例变换 一个图形中的坐标点P(x,y）若在X轴方向变化一个
比例系数sx，在Y轴方向变化一个比例系数sy，则新坐标 点P(x,y）的表达式为：
x' x sx
变换矩阵中的和需要用已知量表示出来。当m为直线斜 率，b为截距时有：
co 9 s 0)( 1 c9 o c 0 so s s9 i n s 0i n sin 1 m 2
si9n 0( )m s9 i n c 0o c s9 o s 0 si n cos 1 m 2
所以 co2ssin21m2m 21 sincos1mm2
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
1 0 0
x' y' 1x y 1 0 1 0
2xc 0 1
1 0 0
其中变换矩阵：T
0
1 0
2 xc 0 1
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6. 对称于任一点(xc,yc)的变换 对称于任一点(xc,yc)的变换，实际上可以看做分别
相对于直线轴x﹦xc和直线轴 y﹦yc的两次对称变换，
sx 0
0 0
sy
0
xc(1sx) yc(1sy) 1
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5.1.4 旋转变换 若图形中的坐标点P(x,y)绕坐标原点逆时针旋转一
个角度θ, 则新坐标点P(x’,y’）的表达式为：
x'xcosysin y'xsinycos
公式的推导可参考右图
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变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
T4sin )( cos)(0sin co s0
T5
0
1
0
0
0 1 0 0 1
0 b 1
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所以，对称于任一轴y﹦mx﹢b的变换矩阵为：
si2n co 2s 2sinco s 0
TT 1T2T3T4T5 2sinco s co 2ssi2n
0
2bsinc o sb(c2 ossi2n )b 1