辽宁省盘锦市大洼区高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
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12．已知函数 存在零点 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模为______
14．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，则BC和平面ACD所成角的正弦值为．
15．直线 与曲线 相切于点 ，则 _________.
16．已知函数 ，若函数 在 上为单调函数，则实数 的取值范围是_____.
则 ，所以 对应点 在第三象限，故选C．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．D
【解析】
试题分析： ，令 得 或 ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的极小值点为2，即 ，故选D.
【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点 是方程 的解，但 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在 附近，如果 时， ， 时 ，则 是极小值点，如果 时， ， 时， ，则 是极大值点.
5．B
【分析】
建立 空间直角坐标系，分别写出 、 向量，利用cos〈 〉＝ 即可求出答案.
（1）求抛物线 的方程；
（2）试问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
22．已知函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个不同极值点，求实数 的取值范围；
（3）当 时，求证：对任意 ， 恒成立.
参考答案
1．B
【分析】
根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果.
∴MN⊥CC1，故A正确； ∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；
∵
∴MN和AB不平行，故C错误；
平面ABCD的法向量
又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．
故选C．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
6．A
【分析】
双曲线与抛物线焦点相同，得出 ，利用离心率公式以及 、 、 关系可求得 、 ，进一步得到双曲线的渐近线方程
【详解】
双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点相同，
焦点为
又 ，
由 得，
因此，渐近线方程为 ，故选A
【点睛】
本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得 是关键
7．C
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
辽宁省盘锦市大洼区高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 （ 为虚数单位）的虚部是（）
A．-1B．1C． D．
2．已知函数 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1B． C．-1D．0
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．位置关系不确定
10．若函数 （ 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．如图，直三棱柱 中，侧棱长为 ， ， ，点 是 的中点， 是 侧面 （含边界）上的动点.要使 平面 ， 则线段 的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
7．如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． B． 平面
C． D． 平面
8．已知函数 ，则曲线 在 处切线方程为（）
A． B． C． D．
9．如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )
三、解答题
17．设 ，函数 .
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）求函数 单调区间.
18．如图，在长方体 中， ， ，点 、 分别为 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
19．已知椭圆 ．
（1）求椭圆 的离心率；
（2）设 为原点，若点 在直线 上，点 在椭圆 上，且 ，求线段 长度的最小值．
20．如下图所示，在四棱锥 中， 底面四边形 ，四边形 是直角梯形，且 ， ，点 是棱 的中点， 是 上的点，且 .
(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值．
21．已知抛物线 与椭圆 有一个相同的焦点，过点 且与 轴不垂直的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为 .
3．复数 的共轭复数 在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=
A．–4B．–2C．4D．2
5．长方体 中 ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的离心率为2，一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）
【详解】
因为 ，
所以虚部是1，故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.
2．A
【解析】
由题意得，函数 的导数为 ，因为 ，
即 ，所以 ，故选A．
3．C
【解析】
【分析】
根据复数的运算求得 ，得到 ，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据复数的运算可得复数 ，
【详解】
建立坐标系如图所示．
则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)， ＝(－1，0，2)， ＝(－1，2，1)．
cos〈 〉＝ ＝ .
故选：B.
所以异面直线BC1Biblioteka BaiduAE所成角的余弦值为 .
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值.属于基础题.求异面直线所成角的两种思路：一、将异面直线平移到同一个平面，在同一个平面内求出线线角即为异面直线所成角.二、建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，利用 即可解出异面直线所成角.
【详解】
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，
则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模为______
14．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，则BC和平面ACD所成角的正弦值为．
15．直线 与曲线 相切于点 ，则 _________.
16．已知函数 ，若函数 在 上为单调函数，则实数 的取值范围是_____.
则 ，所以 对应点 在第三象限，故选C．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．D
【解析】
试题分析： ，令 得 或 ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的极小值点为2，即 ，故选D.
【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点 是方程 的解，但 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在 附近，如果 时， ， 时 ，则 是极小值点，如果 时， ， 时， ，则 是极大值点.
5．B
【分析】
建立 空间直角坐标系，分别写出 、 向量，利用cos〈 〉＝ 即可求出答案.
（1）求抛物线 的方程；
（2）试问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
22．已知函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个不同极值点，求实数 的取值范围；
（3）当 时，求证：对任意 ， 恒成立.
参考答案
1．B
【分析】
根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果.
∴MN⊥CC1，故A正确； ∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；
∵
∴MN和AB不平行，故C错误；
平面ABCD的法向量
又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．
故选C．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
6．A
【分析】
双曲线与抛物线焦点相同，得出 ，利用离心率公式以及 、 、 关系可求得 、 ，进一步得到双曲线的渐近线方程
【详解】
双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点相同，
焦点为
又 ，
由 得，
因此，渐近线方程为 ，故选A
【点睛】
本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得 是关键
7．C
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
辽宁省盘锦市大洼区高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 （ 为虚数单位）的虚部是（）
A．-1B．1C． D．
2．已知函数 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1B． C．-1D．0
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．位置关系不确定
10．若函数 （ 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．如图，直三棱柱 中，侧棱长为 ， ， ，点 是 的中点， 是 侧面 （含边界）上的动点.要使 平面 ， 则线段 的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
7．如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． B． 平面
C． D． 平面
8．已知函数 ，则曲线 在 处切线方程为（）
A． B． C． D．
9．如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )
三、解答题
17．设 ，函数 .
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）求函数 单调区间.
18．如图，在长方体 中， ， ，点 、 分别为 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
19．已知椭圆 ．
（1）求椭圆 的离心率；
（2）设 为原点，若点 在直线 上，点 在椭圆 上，且 ，求线段 长度的最小值．
20．如下图所示，在四棱锥 中， 底面四边形 ，四边形 是直角梯形，且 ， ，点 是棱 的中点， 是 上的点，且 .
(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值．
21．已知抛物线 与椭圆 有一个相同的焦点，过点 且与 轴不垂直的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为 .
3．复数 的共轭复数 在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=
A．–4B．–2C．4D．2
5．长方体 中 ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的离心率为2，一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）
【详解】
因为 ，
所以虚部是1，故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.
2．A
【解析】
由题意得，函数 的导数为 ，因为 ，
即 ，所以 ，故选A．
3．C
【解析】
【分析】
根据复数的运算求得 ，得到 ，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据复数的运算可得复数 ，
【详解】
建立坐标系如图所示．
则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)， ＝(－1，0，2)， ＝(－1，2，1)．
cos〈 〉＝ ＝ .
故选：B.
所以异面直线BC1Biblioteka BaiduAE所成角的余弦值为 .
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值.属于基础题.求异面直线所成角的两种思路：一、将异面直线平移到同一个平面，在同一个平面内求出线线角即为异面直线所成角.二、建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，利用 即可解出异面直线所成角.
【详解】
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，
则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），