最小二乘参数辨识方法及原理共103页
各类最小二乘算法
β N −1 H* = N 0
β N −2
β 2( N −1) WN = 0
β 2( N −2)
0 ⋱ 1
三、递推算法 ∵
k θ(k ) = ∑ β i =1
∧
2(k −i) h (i )h T (i )
2随着采样次数的增多数据量不断增加ls估计有可能出现所谓的数据饱和现象导致递推算法不能接近参数真二关于数据饱和现象的分析所谓数据饱和现象就是随着时间的推移采集到的数据越来越多新数据所提供的信息被淹没在老数据的海洋之中
Ⅴ 各种最小二乘类参数辨识算法 §1 概 述
最小二乘类参数辨识算法（一次完成算法、递推算法） 最小二乘类参数辨识算法 （一次完成算法 、 递推算法 ） 是一种 最基本和常用的参数估计方法。但研究和应用表明， 最基本和常用的参数估计方法。 但研究和应用表明， 这一算 法仍存在明显的不足。 法仍存在明显的不足。 一、LS 算法的主要不足之处 1、当模型噪声为有色噪声时，LS 估计不再是无偏估计、一致 、当模型噪声为有色噪声时， 估计不再是无偏估计、 估计。 估计。 2、随着采样次数的增多，数据量不断增加，LS估计有可能出 、随着采样次数的增多，数据量不断增加， 估计有可能出 现所谓的“数据饱和”现象， 现所谓的“数据饱和”现象，导致递推算法不能接近参数真 值。
于是有： 于是有：
α P ( k ) P − 1 ( k − 1) = I − P ( k ) h ( k ) h T ( k )
则：
ˆ θ ( k ) = P ( k ) H * T Z * = P ( k ) α H * −1T Z * −1 + h ( k ) z ( k ) k k k k
最小二乘辨识
[a1 a2 an b1 b2 bn ]T
则应有
（10）
y(k ) ai y(k i) bi u (k i) e(k , )
i 1 i 1
n
n
（11）
并定义其中e (k,θ）为方程误差.在这种情况下,方程的误差 项除了噪声v(k)误差外,还应包括由于模型参数θ不等于真实参 数θ0而引起的误差.显然有 e(k , 0 ) v(k ) （12）
Y T Y T T Y Y T T T
2014/12/28 第4章 最小二乘辨识方法
（23）
16
将式(23)代入式(20),可得
2 Y 2 ls 0
T T
LS T Y
T
（24）
通常把式(24)称为最小二乘法的法方程(或称正则方程)
2014/12/28 第4章 最小二乘辨识方法 4
本章的主要内容有：
•基本最小二乘法 •加权最小二乘法 •递推最小二乘法 以最小二乘法为基础，并作了某些改进 的一些辨识方法，如： •辅助变量法 •广义最小二乘法 •相关函数——最小二乘相结合的辨识方法 •增广矩阵法 •限定记忆的最小二乘法等。
2014/12/28 第4章 最小二乘辨识方法 5
T (n i ) T (n i 1) ( N ) T (N I )
2014/12/28 第4章 最小二乘辨识方法
（ 8）
10
它们的维数分别为:
(k )
:2n×1;
:2n×1;
Y：(N-n+1)×1;
0
0
def J ( ) T ( N , ) ( N , ) T e 2 (k , )
第4章最小二乘类辨识算法 2 优质课件
4.0 引言
m次独立试验的数据
(t1, y1) (t2 , y2 )
t (tm , ym )
f (t) a a h (t) a h (t) a h (t)
0
11
22
nn
• 1801年初，天文学家皮亚齐发现了谷神星。 •1801年末，天文爱好者奥博斯，在高斯预
言的时间里，再次发现谷神星。 •1802年又成功地预测了智神星的轨道。
因 L 0
所以 J ( ) WLS min , ˆWLS 是唯一的 30
通过极小化（4.3.2）式
计算 ˆWLS 称为加权最小二乘法
取 L I
（4.3.9）
则（4.3.7）式变化成
ˆLS
(
H
T L
H
L
)1
H
T L
ห้องสมุดไป่ตู้ZL
L k 1
h(k
)hT
(k
)
（4.3.1）
(k) - 加权因子，对 k, (k) 0
如 (k) Lk 0 1
K=1 时 (1) L1 1 ，K=L时 (L) 1
体现对不同时刻的数据给予不同程度的信任
27
准则函数 J ( ) 可写成二次型形式
J ( ) (z L H L )T L (z L H L )
确定多项式 A(z 1 ) 和 B(z 1 ) 的系数
20
在最小二乘问题中，一般对模型作以下假设
首先，模型的阶次 na ， nb 已定
且一般 na nb
其次，将（4.1.4）模型写成最小二乘格式
z(k) hT (k) n(k)
系统辨识之最小二乘法
系统辨识之最小二乘法方法一、最小二乘一次性算法：首先对最小二乘法的一次性辨识算法做简要介绍如下：过程的黑箱模型如图所示：其中u(k)和z(k)分别是过程的输入输出，)(1-z G 描述输入输出关系的模型，成为过程模型。
过程的输入输出关系可以描述成以下最小二乘格式：)()()(k n k h k z T +=θ （1）其中z(k)为系统输出，θ是待辨识的参数，h(k)是观测数据向量，n(k)是均值为0的随机噪声。
利用数据序列{z （k ）}和{h （k ）}极小化下列准则函数：∑=-=Lk T k h k z J 12])()([)(θθ （2）使J 最小的θ的估计值^θ，成为最小二乘估计值。
具体的对于时不变SISO 动态过程的数学模型为 )()()()()(11k n k u z B k z z A +=-- （3）应该利用过程的输入、输出数据确定)(1-z A 和)(1-Z B 的系数。
对于求解θ的估计值^θ，一般对模型的阶次a n ，b n 已定，且b a n n >；其次将（3）模型写成最小二乘格式)()()(k n k h k z T +=θ （4）式中=------=T n n T b a b a b b b a a a n k u k u n k z k z k h ],,,,,,,[)](,),1(),(,),1([)(2121 θ （5）L k ,,2,1 =因此结合式（4）（5）可以得到一个线性方程组L L L n H Z +=θ （6）其中==T L TL L n n n n L z z z z )](),2(),1([)](),2(),1([ （7）对此可以分析得出，L H 矩阵的行数为),max(b a n n L -，列数b a n n +。
在过程的输入为2n 阶次，噪声为方差为1，均值为0的随机序列，数据长度)(b a n n L +>的情况下，取加权矩阵L Λ为正定的单位矩阵I ，可以得出：L T L L T L z H H H 1^)(-=θ （8）其次，利用在Matlab 中编写M 文件，实现上述算法。
第五章 最小二乘法辨识
服从正态分
❖ 4）有效性
❖ 定理4：假设 (k) 是均值为零，方差为 2I 的正态
白噪声，则最小二乘参数估计量
^
是有效估计
量，即参数估计误差的协方差达到Cramer-Rao不
等式的下界
E (^
^
)(
)T
2E
(
T N
N
) 1
M 1
❖ 其中M为Fisher信息矩阵。
4、适应算法
❖ 随着更多观测数据的处理，递推最小二乘法对线性 定常系统的参数估计并非越来越精确，有时会发现
❖ 现举例说明最小二乘法的估计精度 ❖ 例5.1：设单输入－单输出系统的差分方程为
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) b1u(k 1) b2u(k 2) (k)
❖ 设 u(k)是幅值为1的伪随机二位式序列，噪声 (k)是 一个方差 2可调的正态分布 N(0, 2 )随机序列。
❖ 为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的 办法来修正算法。而对于时变系统，估计k时刻的 参数最好用k时刻附近的数据估计较准确。否则新 数据所带来的信息将被就数据所淹没。
❖ 几种算法：渐消记忆法，限定记忆法与振荡记忆法
❖ 矩阵求逆引理：设A为 n n 矩阵，B和C为 n m 矩阵，
并且A， A和 BCT I CT都A是1B 非奇异矩阵，则有矩
阵恒等式
A BCT 1 A1 A1B(I CT A1B)1CT A1
❖
令
A
PN1
，B
N 1
，C
T N 1
，根据引理有
PN1
T N 1 N 1
1
❖ 算法中，^ N 为2n+1个存贮单元（ai ,bi ,i 1,2, , n）， 而 PN 是 (2n 1) (2n 1)维矩阵，显然，将 N 换成 PN 后，存贮量大为减少（因为n为模型的阶数，一般 远远小于N）
最小二乘类辨识算法
L
1 n
，则模型
计值为
zL H L nL 的参数估
ˆMV
(H
T L
1 n
H
L
)1
H
T L
Z 1
nL
相应的参数估计偏差的协方差为
cov{~MV
}
E{(H
T L
1 n
H
L
)1}
40
推论 2
若模型 zL H L nL 中的 nL 是零均值的白噪
声向量，且加权矩阵取 L I ，则参数估计偏
开始
产生输入信号 M 序列
一
产生输出信号 z（k）
般
最
小
给出样本矩阵 H m 和 Z m
二
乘
估计参数
参
数
辨
分离估计参数 a1 、 a2 、 b1 和 b2
识
流
画图：输入/输出信号和估计参数
程
图
结束
４.5 最小二乘参数估计值的统计性质
最小二乘参数估计值具有随机性，因此需要研究 它们的统计性质
1. 无偏性 2. 参数估计偏差的协方差性质 3．一致性 4. 有效性 5. 渐近正态性
第４ 章 最小二乘类参数辨识方法
1
主要内容
引言 最小二乘辨识算法 自适应辨识算法 偏差补偿最小二乘法 增广最小二乘算法 广义最小二乘法 辅助变量法 系统的结构辨识
2
４.1 引言
如果
仅仅关心所要辨识的过程输入输出特性 可以将所过程视为“黑箱” 而不考虑过程的内部机理
3
过程的“黑箱”结构
u(k) 和 z(k) 分别是过程的输入和输出 G(z 1 ) - 描述输入输出关系的模型，称为过程模型
最小二乘法辨识参数
姓名：廖伟学号：201221014368 专业：控制工程增广型递推最小二乘法仿真第一种模型的仿真程序：%选择的模型结构（递推最小二乘法）：Y=Fai*theta+E%输入u为一个伪随机序列L=10;y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;for i=1:L;x1=xor(y3,y4);x2=y1;x3=y2;x4=y3;y(i)=y4;if y(i)>0.5,u(i)=-0.1;else u(i)=0.1;endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;endv=randn(1,10);y(1)=0;y(2)=0;%设定输出的初始值y(0),y(1)theta0=[0.01;0;0.01;0;0.01];%给出待辨识参数的初始值P0=10^6*eye(5);%生成初始矩阵7x7的单位阵E=0.00005;%E为递推结束的条件%下面进行递推运算for k=3:10y(k)=1.5*y(k-1)-0.7*y(k-2)+1.0*u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k);%产生输出y Fai1=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2) v(k)]';%生成实测数据组Fai1K1=P0*Fai1/(1+Fai1'*P0*Fai1);theta1=theta0+K1*(y(k)-Fai1'*theta0);e1=theta1-theta0;%e2=e1/theta1;P1=P0-K1*Fai1'*P0;theta0=theta1;%供下次递推使用P0=P1;%供下次递推使用if abs(e1)<E,break;%循环结束条件endendtheta1辨识的参数的最后结果为：theta1 =-1.50000.70001.00000.50001.0000可以从结果看出，辨识的效果很好，基本没有误差。
第二种模型的仿真程序：%选择的模型结构（增广最小二乘法）：Y=Fai*theta+E %输入u为一个伪随机序列L=10;y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;for i=1:L;x1=xor(y3,y4);x2=y1;x3=y2;x4=y3;y(i)=y4;if y(i)>0.5,u(i)=-0.1;else u(i)=0.1;endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;endv=randn(1,10);%噪声干扰随机数序列y(1)=0;y(2)=0;%设定输出的初始值y(0),y(1)theta0=[0.01;0;0.01;0;0.01;0;0];%给出待辨识参数的初始值P0=10^6*eye(7);%生成初始矩阵7x7的单位阵E=0.00005;%E为递推结束的条件%下面进行递推运算for k=3:10y(k)=1.5*y(k-1)-0.7*y(k-2)+1.0*u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k)-v(k-1)+0.2*v(k-2);%产生输出y Fai1=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2) v(k) v(k-1) v(k-2)]';%生成实测数据组Fai1K1=P0*Fai1/(1+Fai1'*P0*Fai1);theta1=theta0+K1*(y(k)-Fai1'*theta0);e1=theta1-theta0;%e2=e1/theta1;P1=P0-K1*Fai1'*P0;theta0=theta1;%供下次递推使用P0=P1;%供下次递推使用if abs(e1)<E,break;%循环结束条件endendtheta1辨识的参数最后结果为：-1.50.699990.998890.500191.0001-10.19991从辨识的结果看出，所得结果与真实的模型参数很接近，辨识效果也很好。
第四章最小二乘参数辨识方法及原理
yi Ri vi 或 yi a bt vi
vi yi Ri或vi＝yi a bti
第十四页，编辑于星期五：十九点 二十六分。
3利用最小二乘法求模型参数
根据最小二乘的准则有
N
N
J min vi2 [Ri (a bti )]2
i 1
i 1
根据求极值的方法，对上式求导
m
使 w(k) | z(k) y(k) |2 最小 k 1
第十三页，编辑于星期五：十九点 二十六分。
3、最小二乘辨识方法的基本概念
通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C)
t1
R ()
R1
t2
t N 1
tN
R2
RN 1
RN
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。
• 每次测量总是存在随机误差。
k v k aiv k i
i0
(4-5)
n
n
y k ai y k i biu k i (k )
i1
i0
(4-6)
如果u k 也有测量误差，则在 k 中应包含这一测量误差。
第二十三页，编辑于星期五：十九点 二十六分。
现在分别测出个 n N 输出值和输入值：y 1，y 2， ，y n N 及 u 1，u 2， ，u n N 。则可写出N个方程：
4.7 增广矩阵法（ELS/RELS）（增广最小二乘法）
4.8 多阶段最小二乘法（MSLS） 4.9 几种最小二乘类辨识算法的比较
第二页，编辑于星期五：十九点 二十六分。
本章的学习目的
1、掌握最小二乘参数辨识方法的基本原理 2、掌握常用的最小二乘辨识方法 3、熟练应用最小二乘参数辨识方法进行模型参数辨识
第七章—最小二乘参数辨识(II)
h ( k ) = [ − z ( k − 1),
aБайду номын сангаас
1、一次完成算法 ⎧ A( z
, − z ( k − na ), u ( k − 1),
b
A( z −1 ) z (k ) = B( z −1 )u (k ) + v(k )
−1
, u ( k − nb )]
T
θ = [a1 , , an , b1 , , bn ]T
限定记忆法的递推算法（RFM）
ˆ ˆ θ (k + 1, k + L) = θ (k , k + L) − K (k + 1, k + L)[ z (k ) − hT (k )θˆ(k , k + L)] K (k + 1, k + L) = P(k , k + L)h(k )[1 − hT (k ) P(k , k + L)h(k )]−1 P(k + 1, k + L) = ⎡ I + K (k + 1, k + L)hT (k ) ⎤ P(k , k + L) ⎣ ⎦ ˆ ˆ ˆ θ (k , k + L) = θ (k , k + L − 1) + K (k , k + L)[ z (k + L) − hT (k + L)θ (k , k + L − 1)] K (k , k + L) = P(k , k + L − 1)h(k + L)[1 + hT (k + L) P(k , k + L − 1)h(k + L)]−1 P(k , k + L) = ⎡ I − K (k , k + L)hT (k + L) ⎤ P(k , k + L − 1) ⎣ ⎦
过程辨识-最小二乘类参数
( (
)
)
得 当
(
ˆ = HTΛ z H Λ L H L θWLS L L L
T L
)
正定方程
T H L Λ L H L 是正则矩阵时，有
θˆ
WLS
= H ΛLHL
T L
(
)
−1
T H L Λ L zL
又
∂ J (θ ) ∂θ 2 θˆ
2
T = 2H L Λ L H L
WLS
因为
ΛL
是正定矩阵，故
2
T H L Λ L H L 也是正定矩阵，即
∂ J (θ ) ∂θ 2 θˆ
>0
WLS
ˆ 所以，解 θWLS 使得 J (θ ) θˆWLS = min 并且是唯一的。
称之为加权最小二乘法
若加权矩阵取 则
ΛL = I
T θˆLS = H L H L
(
)
−1
T H L zL
称为最小二乘估计，对应的方法称为最小二乘法。 例 假定模型的形式为 y 据,
过程辨识
-最小二乘类参数辨识方法
引
言
“黑箱”结构
v(k )
N z
( )
−1
n(k )
+
u (k )
G z −1
( )
+
z (k )
图5.1 SISO过程的“黑箱”结构
过程模型：
Gz
( )
−1
Bz = = −1 Az 1 + a1 z −1 + a2 z − 2 + ⋯ + ana z − na
( ) ( )
根据输入输出数据，极小化J，求参数a,b，使得J=min。 这就是所谓的最小二乘问题。
递推最小二乘法
2
1
Φ
T N
ΦN
1
1 1 1 T T T T N 1 1 N 1 2 Φ N Φ N N 1 N 1 2 Φ N Φ N 1
Φ ΦN 2
T N
Φ Φ N N 1 2
T N 1 2
最小二乘估计法的缺陷
系统 B(z-1)/A(z-1)
+
x(k ) a1 x(k 1) b0 u (k )
an x(k n)
bn u (k n), k 1, 2,3
y(k ) x(k ) (k )
y (k ) a1 y (k 1) b0 u (k )
YN YN 1 y ( n N 1)
10
YN YN 1 y ( n N 1)
此时，由n+N+1个观测数据获得 的最小二乘估计为
1 T N 1 (T ) N 1YN 1 N 1 N 1
N T N 1
1
T T N 1 Φ N Φ N
1 T ) NYN ，则上式变为 又因为 N (T N N
N 1 N Φ Φ N N 1
T N 1 2
Φ
T N
Φ N N 1
1 2 T N 1
T N 1 1
T 1 T
J为极小值的充分条件是
2 J T 2 0 2
4
即矩阵 T 为正定矩阵。
递推最小二乘 参数辨识算法 u(k) y(k)
动态系统模型
小二乘参数辨识方法及原理
目录
• 引言 • 小二乘参数辨识方法 • 小二乘参数辨识原理 • 小二乘参数辨识的应用 • 小二乘参数辨识的优缺点 • 小二乘参数辨识的未来发展
01
引言
目的和背景
目的
小二乘参数辨识方法是一种数学优化技术，旨在通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差和，来估计模 型参数。这种方法广泛应用于各种领域，如系统辨识、回归分析、机器学习等。
易于理解和实现
最小二乘法的原理直观易懂，且易于通过编程实现。
缺点
对异常值敏感
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感，异常值可能会对参数估计 产生显著影响。
假设限制
最小二乘法要求误差项是随机的且服从正态分布，这在某些情况下 可能无法满足。
无法处理非线性问题
最小二乘法主要用于线性回归问题，对于非线性问题，可能需要其他 方法。
将小二乘参数辨识方法应用于机器学习中，提高模型 的训练效率和精度。
控制系统
将小二乘参数辨识方法应用于控制系统中，实现系统 的优化和自适应控制。
生物医学工程
将小二乘参数辨识方法应用于生物医学工程中，实现 对生理信号的准确分析和处理。
感谢您的观看
THANKS
背景
随着现代科技和工程领域的快速发展，越来越多的复杂系统需要建立数学模型进行描述和预测。小二乘参数辨 识方法作为一种有效的参数估计方法，能够为这些复杂系统的建模提供重要的技术支持。
小二乘参数辨识的定义
定义
小二乘参数辨识，也称为最小二乘法，是一种通过最小化观测数据与模型预测数据之间的平方误差和来估计模型 参数的方法。这种方法的基本思想是通过最小化误差的平方和来找到最佳的参数值，使得模型的预测结果与实际 观测结果之间的差异最小。
最小二乘参数辨识方法
《系统辨识基础》第17讲要点第5章 最小二乘参数辨识方法5.9 最小二乘递推算法的逆问题辨识是在状态可测的情况下讨论模型的参数估计问题，滤波是在模型参数已知的情况下讨论状态估计问题，两者互为逆问题。
5.10 最小二乘递推算法的几种变形最小二乘递推算法有多种不同的变形，常用的有七种情况：① 基于数据所含的信息内容不同，对数据进行有选择性的加权；② 在认为新近的数据更有价值的假设下，逐步丢弃过去的数据；③ 只用有限长度的数据；④ 加权方式既考虑平均特性又考虑跟综能力；⑤ 在不同的时刻，重调协方差阵P (k )；⑥ 设法防止协方差阵P (k )趋于零；5.10.1 选择性加权最小二乘法把加权最小二乘递推算法改写成[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=--+-=-)1()]()([)(1)()1()()()()1()()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI ΛΛ 算法中引进加权因子，其目的是便于考虑观测数据的可信度．选择不同的加权方式对算法的性质会有影响，下面是几种特殊的选择：① 一种有趣的情况是Λ()k 取得很大，在极限情况下，算法就退化成正交投影算法。
也就是说，当选择⎩⎨⎧=-≠-∞=0)()1()(,00)()1()(,)(k k k k k k k h P h h P h ττΛ 构成了正交投影算法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=--+-=)1()]()([)()()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆk k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI 算法初始值取P ()0=I 及∃()θε0=(任定值)，且当0)()1()(=-k k k h P h τ时，令K ()k =0。
参数的最小二乘法估计
最小二乘法的应用领域
回归分析
在统计学中，最小二乘法被广泛应用 于线性回归分析，用于估计回归模型 的参数。
01
工程领域
最小二乘法在工程领域也有广泛应用， 例如用于参数估计、系统辨识、控制 设计等任务。
05
02
曲线拟合
最小二乘法可用于拟合曲线，例如多 项式曲线、指数曲线等，以描述数据 之间的关系。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量具有最小的方差，因此是有效的。
有效性意味着在同样的样本量下，最小二乘法估计量能够提供更精确的参数估计，减少估计误差。
05
最小二乘法估计的优缺点
优点
无偏性
一致性
在满足一定的假设条件下，最小二乘法估 计量是参数的真实值的无偏估计，即估计 量的期望值等于参数的真实值。
最小二乘法估计量是样本数据的线性 组合，其期望值等于总体参数的真实 值，因此具有无偏性。
无偏性意味着在多次重复抽样和估计 过程中，估计量的平均值将接近参数 的真实值。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计 量的值将逐渐接近参数的真实值，具 有一致性。
VS
一致性保证了在大样本情况下，最小 二乘法估计量能够给出相对准确的参 数估计。
对于非线性模型，可以通过变量变换 或引入非线性项，将其转化为线性模 型，再利用最小二乘法进行参数估计 。
在时间序列分析中的应用
趋势分析
通过最小二乘法拟合时间序列的趋势项，揭示时间序列的长期趋势和变化规律。
季节调整
对于具有季节性特征的时间序列，可以利用最小二乘法估计季节因子，进而对 原始序列进行季节调整。
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。
例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。
预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。
最小二乘参数辨识方法及原理概况
• 高斯自己独创了一套行星轨道计算 理论。 • 高斯仅用1小时就算出了谷神星的 轨道形状，并进行了预测 •1794年，高斯提出了最小二乘的思想。
1794年，高斯提出的最小二乘的基本原理是 未知量的最可能值是使各项实际观测值和计算
值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和为最
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
R a bt
N ˆ N N 2 N a 702 Ri t i.762 Ri t i t i i 1 i 1 a ˆ i 1 i 1 2 N N ˆ 2 N t t b 3. 4344 i i i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b ˆ i 1 R 943 N .168 N 2 N t i2 t i i 1 i 1
2.1 利用最小二乘法求模型参数
例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型， 并求出当温度在 70 C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
5、增广最小二乘辨识方法 6、多变量最小二乘辨识方法